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福建省南平市光泽二中高一数学《两条直线的位置关系》课件 新人教A版必修2


§9.2
要点梳理

两条直线的位置关系 基础知识 自主学习

1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别 为 k1、k2,则有 l1∥l2? k1 ? k 2 .特别地,当 直线 l1、l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 平行 .

(2)两条直线垂直 如果两条直线 l1,l2 斜率存在,设为 k1,k2,则 l1⊥l2? k1?k 2 ? ?1 ,当一条直线斜率为零,另一 条直线斜率不存在时,两直线 垂直 .

2.两直线相交 交点:直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x + B2y + C2 = 0 的公共点的坐标与方程组 ? ?A1x+B1y+C1=0 ? 的解一一对应. ? ?A2x+B2y+C2=0 相交?方程组有 唯一解 ,交点坐标就是方 程组的解; 平行?方程组 无解 ; 重合?方程组有 无数个解 .

3.三种距离公式 (1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离: |AB|= (2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的 距离: |Ax0+By0+C| d= A2+B2 . (3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离为 d=

?x2-x1?2+?y2-y1?2

|C2-C1| A2+B2.

[难点正本 疑点清源] 1.两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的,就是两条 直线都有斜率.当直线无斜率时,要单独考虑. 2.在判断两直线的位置关系时,也可利用直线方程的一般式, 由系数间的关系直接做出结论: 设l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0.

? ?A 1B 2=A 2B 1, (1)l = ≠ ?? 1∥l 2? A 2 B 2 C 2 ?A 1C 2≠A 2C 1. ?
A1 B1 C1 A1 B1 (2)l ≠ ?A 1B 2≠A 2B 1. 1与 l 2 相交? A2 B2

? ?A 1B 2=A 2B 1, (3)l = = ?? 1与 l 2 重合? A 2 B 2 C 2 ?A 1C 2≠A 2C 1. ?
A1 B1 C1 (4)l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0.

基础自测 1. 过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线 方程是( A ) D.x+2y-1=0 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0
解析

∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行 1 ∴所求直线斜率 k=2,排除 C、D.又直线 过点(1,0),排除 B,故选 A.

2.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( D ) A.1 B. 3 C.2 D. 5

解析

d=

|-5| 1+2

2

= 5.

3.若经过点(3,a)、(-2,0)的直线与经过点(3, 1 - 4) 且斜率为 的直线垂直,则 a 的值为 2 (D ) 5 2 A. B. C.10 2 5
解析

D.-10

a-0 ∵ =-2,∴a=-10. 3-?-2?

4.已知 l1 的倾斜角为 45° ,l2 经过点 P(-2, - 1) , Q(3 , m) ,若 l1⊥l2 ,则实数 m = ________. -6
解析 由已知得 l1 的斜率 k1=1,l2 的斜率 m+1 k2 = 5 . m+1 ∵l1⊥l2,∴k1· k2=-1.∴1· 5 =-1, ∴m=-6.

5.(2009·全国Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1:x -y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段 的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是 ①⑤ ________.(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
解析 两直线 x-y+1=0 与 x-y+3=0 之

|3-1| 间的距离为 = 2,又动直线 l 1与 l 2所 2 截的线段长为 2 2,故动直线与两直线的夹 角应为 30°,因此只有①⑤适合.

题型分类
题型一 例1

深度剖析

两条直线的平行与垂直

(1)已知两直线 l1:x+m2y+6=0,l2:

(m-2)x+3my+2m=0,若 l1∥l2,求实数 m 的值; (2)已知两直线 l1:ax+2y+6=0 和 l2:x +(a-1)y+(a2-1)=0.若 l1⊥l2,求实数 a 的值.

思维启迪: 运用两直线平行、 垂直的条件求解, 并注意斜率为 0 或斜率不存在的情况.
解 (1)方法一 ①当 m =0 时,l 1:x+6=0, 1 m 2- m 2 l x- , 2:y= 3 3m 2- m 6 2 由- = 且- ≠- 2 2 3 m 3m m 1 ∴m =-1. 故所求实数 m 的值为 0 或-1.
2

l 2:x =0,l 1∥l 2; ②当 m ≠0 时,l 1:y=- x- 6 m
2



方法二

直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x

+ B2y + C2 = 0 平行的等价条件是: A1B2 - A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0 或 A1C2-A2C1≠0. 由所给直线方程可得: 1· 3m-m2· (m-2)=0 且 1· 2m-6· (m-2)≠0 ?m(m2-2m-3)=0 且 m≠3?m=0 或-1. 故所求实数 m 的值为 0 或-1.

(2)方法一 直;

a 由直线 l1 的方程知其斜率为- , 2

当 a=1 时,直线 l2 的斜率不存在,l1 与 l2 不垂 当 a≠1 时,直线 l2 的斜率为- 1 ? a? 2 ?- ? 由- · ?=-1?a=3. 2? a - 1 ? ? 2 故所求实数 a 的值为 . 3 方法二 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y +C2=0 垂直的等价条件是 A1A2+B1B2=0. 2 由所给直线方程可得:a· 1+2· (a-1)=0?a= . 3 2 故所求实数 a 的值为 . 3 1

. a -1

探究提高

(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件

是解决本题的关键, 对于斜率都存在且不重合的两 条直线 l 1和 l 2, l 1∥l 2?k1=k2,l 1⊥l 2?k1·k2=-1. 若有一条直线的斜率不存在, 那么另一条直线的斜 率是多少一定要特别注意. (2)①若直线 l 1和 l 2 有斜截式方程 l 1:y=k1x+b1, l 2:y=k2x+b2,则:直线 l 1⊥l 2 的充要条件是 k1·k2 =-1. ②设 l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0. 则:l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0. (3)注意转化与化归思想的应用.

变式训练 1 已知直线 l1:(a-2)x+3y+a=0, l2:ax+(a-2)y-1=0.当 l1⊥l2 时,求 a 的 值及垂足的坐标.



2 1 当 a=2 时,l1:y=-3,l2:x=2.
? ? ? ?

1 2? 此时,l1⊥l2 且垂足坐标为 2,-3? ?, ? a-2 a 当 a≠2 时,k1=- 3 ,k2=- . a-2 a 由 l1⊥l2 知:k1· k2=3=-1,∴a=-3. ∴l1:-5x+3y-3=0,l2:-3x-5y-1=0.

?x=- 9 ? ?5x-3y+3=0 17 由? ,解得? 2 ?3x+5y+1=0 ?y=17 ?
9 2? ∴l1 与 l2 的垂足坐标为 -17,17? ?. ?
? ? ? ? ? ? ? ?

.

1 2? 综上所述:a 的值为 2,垂足坐标为 2,-3? ?或 a 的 ? ? 9 2? ? 值为-3,垂足坐标为?-17,17? ?. ? ?

题型二

两直线的交点

例 2 求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+ 2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x-5y +6=0 的直线 l 的方程.
思维启迪:可先求出 l 1与 l 2 的交点,再用点 斜式;也可利用直线系方程求解.



方法一

? ?3x+2y-1=0 先解方程组? ? ?5x+2y+1=0



得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率5求出 l 的斜率为-3, 于是由直线的点斜式方程求出 l: 5 y-2=-3(x+1),即 5x+3y-1=0. 方法二 由于 l⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C =0 中的一条,而 l 过 l1、l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0.

方法三

由于 l 过 l1、l2 的交点,故 l 是直线

系 3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得 (3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 3+5λ 5 1 其斜率- =-3,解得 λ=5, 2+2λ 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1 =0.

探究提高

运用直线系方程, 有时会给解题带来

方便,常见的直线系方程有: (1)与直线 A x+B y+C =0 平行的直线系方程是: A x+B y+m =0 (m ∈R 且 m ≠C ); (2)与直线 A x+B y+C =0 垂直的直线系方程是 B x-A y+m =0 (m ∈R); (3)过直线 l 1:A 1x+B 1y+C 1=0 与 l 2:A 2x+B 2y +C 2=0 的交点的直线系方程为 A 1x+B 1y+C 1+ λ (A 2x+B 2y+C 2)=0 (λ ∈R),但不包括 l 2.

变式训练 2 直线 l 被两条直线 l1: 4x+y+3=0 和 l2 :3x-5y-5=0 截得的线段的中点为 P(-1,2),求直线 l 的方程.
解 方法一 设直线 l 与 l 1 的交点为 A (x0,y0),由 已知条件,得直线 l与 l 2 的交点为 B (-2-x0,4-y0),
? ?4x0+y0+3=0, 并且满足? ? ?3?-2-x0?-5?4-y0?-5=0,

? ?4x0+y0+3=0, 即? ? ?3x0-5y0+31=0,
y-2

? ?x0=-2, 解得? ? ?y0=5,

x-?-1? 因此直线 l 的方程为 = , 5-2 -2-?-1? 即 3x+y+1=0.

方法二

设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),

即 kx-y+k+2=0. ? -k-5 ?kx-y+k+2=0, 由? 得 x= . k+4 ? ?4x+y+3=0, ? -5k-15 ?kx-y+k+2=0, 由? 得 x= . 5k-3 ? ?3x-5y-5=0, -k-5 -5k-15 则 + =-2,解得 k=-3. k+4 5k-3 因此所求直线方程为 y-2=-3(x+1), 即 3x+y+1=0.

方法三 两直线 l1 和 l2 的方程为(4x+y+ 3)(3x-5y-5)=0① 将上述方程中(x,y)换成(-2-x,4-y) 整理可得 l1 与 l2 关于(-1,2)对称图形的方 程: (4x+y+1)(3x-5y+31)=0.② ①-②整理得 3x+y+1=0.

题型三 距离公式的应用 例 3 (2011·荆州期末)已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方 程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方 程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直 线?若存在,求出方程;若不存在,请说明 理由. 思维启迪:设出直线方程→ 由点到直线距离求参数
→ 判断何时取得最大值并求之



(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,

而 P 点坐标为(2,-1),可见,过 P(2, -1)且垂直于 x 轴的直线满足条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在, 设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知,得 =2,解得 k= . 2 4 k +1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上, 可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y -10=0.

(2)作图可得过 P 点与原点 O 距离最大的直线 是过 P 点且与 PO 垂直的直线, 1 由 l⊥OP,得 klkOP=-1,所以 kl=-k =
OP

2. 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0. 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距 |-5| 离最大的直线,最大距离为 = 5. 5

(3)由(2)可知, 过 P 点不存在到原点距离超过 5 的直线, 因此不存在过 P 点且到原点距离 6 的 直线.
探究提高 (1)注意讨论斜率不存在的情况.

(2)数形结合是解决解析几何问题特别要注意 的一种思想方法.

变式训练 3

若 O(0,0),A(4,-1)两点到直线

ax + a2y + 6 = 0 的 距 离 相 等 , 则 实 数 a = -2 或 4 或 6. |4a-a2+6| 6 解析 由题意得 2 4= 2 4 , a +a a +a

即 4a-a2+6=± 6,解之得 a=0 或-2 或 4 或 6. 检验得 a=0 不合题意,所以 a=-2 或 4 或 6. 故填-2 或 4 或 6.

题型四 对称问题 例 4 光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上 C 点, 又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程.
思维启迪:设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A ′, D 关于 y 轴的对称点为 D ′, 则直线 A ′D ′经过点 B 与 C.



作出草图, 如图所示. 设 A 关于直线 y=x

的对称点为 A′,D 关于 y 轴 的对称点为 D′,则易得 A′(-2,-4),D′(1,6). 由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C. y-6 x-1 故 BC 所在的直线方程为 = , 6+4 1+2 即 10x-3y+8=0.

探究提高

点关于直线的对称点的求法,除应

掌握一般方法外, 作为结论还要记住关于 x 轴、 y 轴、原点、直线 y=x、直线 x+y=0 对称的 点的求法.

变式训练 4 光线沿直线 l1: x-2y+5=0 射入, 遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射光 线所在的直线方程.



方法一

?x-2y+5=0, ?x=-1, 由? 得? ?3x-2y+7=0, ?y=2.

∴反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设 P 关于直线 l 的对 2 y0 称点 P′(x0,y0),由 PP′⊥l 可知,kPP′=-3= . x0+5 ?x0-5 y0? 而 PP′的中点 Q 的坐标为? , 2 ?, ? 2 ? x0-5 y0 Q 点在 l 上,∴3· 2 -2· 2 +7=0. ? y0 =-2, ?x0=-17, ?x0+5 ? 3 13 由? 得? 3 ?y0=-32 ? ?x0-5?-y0+7=0. 13. ? ?2 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x-2y+33=0.

方法二 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l y0-y 2 的对称点为 P′(x,y),则 =- , 3 x0-x ?x+x0 y+y0? 又 PP′的中点 Q? ?在 l 上, , 2 ? ? 2 x+x0 y+y0 ∴3× -2× +7=0, 2 2

?y0-y 2 =- , ?x0-x 3 由? ?3×x+x0-?y+y ?+7=0. 0 2 ?
可得 P 点的坐标为 -5x+12y-42 12x+5y+28 x0= ,y0= , 13 13 代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.

思想与方法 14.利用方程思想求解直线过定点问题 试题:(12 分)已知方程(m+2)x+(m-3)y+4 =0 (m∈R)所表示的直线恒过定点,试求该 定点的坐标.
审题视角 可以从两个角度考虑该问题.一是

因为直线恒过定点, 故该定点的坐标应与 m 的 取值无关,于是我们可令 m 取一些特定值,进 而求出两直线的公共点.二是将方程变形为 m (x+y)+2x-3y+4=0,依题意,定点的坐 标与 m 无关,于是令 m 的系数 x+y=0,进而 解 2x-3y+4=0.

规范解答 解将直线变形为 m(x+y)+2x-3y+4=0.[4 分] ? ?x+y=0, 依题意,得? [8 分] ? ?2x-3y+4=0, 4 ? ?x=-5, 解得? ?y=4. ? 5
? 4 4? ∴定点坐标为?-5,5?. ? ?

[11 分]

[12 分]

批阅笔记

(1) 本题考查了方程思想在解题中

的应用,构建方程组求解是本题的关键. (2)很多学生不理解直线恒过定点的含义,找不 到解决问题的切入点,从而无法入手.思想方 法感悟提高.

方法与技巧 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重 合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 、 l2 ,l1∥l2 ? k1 = k2 ; l1⊥l2 ? k1· k2 =- 1. 若有一条直线的斜率不存在,那么另一条 直线的斜率是什么一定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点 与点的对称.利用坐标转移法.

失误与防范 1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分 析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜 率,可根据判定定理判断,若直线无斜率 时,要单独考虑. 2.在运用两平行直线间的距离公式 d= |C1-C2| A +B
2

2

时,一定要注意将两方程中的 x,

y 系数化为分别相等
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