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集合的基本运算知识点

集合的基本运算
1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集(Union)记作:A∪B,读作: “A 并 B” ,即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B}, Venn 图表示:

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成 的集合(重复元素只看成一个元素) 。连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数 轴上的一段封闭曲线来表示。 2.交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集(intersection) 。记作:A∩B,读作: “A 交 B” ,即: A∩B={x|∈A,且 x ∈B},交集的 Venn 图表示:

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成 的集合。 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集
B A A(B) A B A B A B

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,不能说两个集合 没有交集 3.全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就 称这个集合为全集(Universe) ,通常记作 U。 补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x∈A} 补集的 Venn 图表示:

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制

4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与 并集的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼 出发去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结 合的思想方法。 5.并集、交集与补集的常用性质 并集的性质: (1)A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A (2)若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 交集的性质: (1)A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A (2)若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 补集的性质: (1) (CUA)∪A=U, (CUA)∩A= ? (2) Cu (Cu A) =A, Cu (? ) ? U 混合运算性质: (1) Cu ( A ? B) ? (Cu A) ? (Cu B) (2) Cu ( A ? B) ? (Cu A) ? (Cu B) 6.若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B;若 x∈(A∪B) ,则 x∈A,或 x∈B


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