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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象1学案苏教版必修120171016396全

2.1.1 函数的概念和图象
第 1 课时 函数的概念

1.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,理解函数的概念. 2.了解构成函数的三要素:定义域、对应法则、值域,会求一些简单函数的定义域和 值域.

函数的概念 一般地,设 A,B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则 f,对于集合 A 中的每一个 元素 x,在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数, 通常记为 y=f(x),x∈A. 其中,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域. 若 A 是函数 y=f(x)的定义域,则对于 A 中的每一个 x,都有一个输出值 y 与之对应.我 们将所有输出值 y 组成的集合称为函数的值域.
符号 y=f(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示,应理解为 x 是自变量,它是法则所施加 的对象;f 是对应法则,它可以是一个或几个解析式,也可以是图象、表格或文字描述;y 是自变量的函数,当 x 允许取某一个具体数值时,相应的 y 值与之对应.“y=f(x)”仅仅 是函数符号,还可用“y=g(x)”“y=F(x)”“y=G(x)”等来表示函数关系.
【做一做 1-1】已知 f(x)= x-3+ x+2,则 f(7)=__________. 答案:5 【做一做 1-2】求下列函数的定义域和值域. (1)y=2x;(2)y= x-1+3. 解:(1)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞), 值域:(-∞,0)∪(0,+∞); (2)定义域:[1,+∞),值域:[3,+∞).

1.三种基本初等函数的定义域和值域 剖析:(1)一次函数 f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是 R,值域是 R. (2)反比例函数 f(x)=kx(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),值域是(-∞,0)∪(0,
+∞). (3) 二 次 函 数 f(x) = ax2 + bx + c(a≠0) 的 定 义 域 是 R . 当 a > 0 时 , 值 域 是

? ? ?

4ac ? 4a

b2

,?

?

? ? ?

;当

a<0

时,值域是

? ? ?

??,4ac ? 4a

b2

? ? ?



2.如何判断两个函数是同一函数

剖析:只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,

这就是说:(1)定义域不同,两个函数不同;(2)对应法则不同,两个函数也是不同的;(3)

即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和

值域不能惟一地确定函数的对应法则.例如,函数 y=x+1 与 y=x-1,它们的定义域都是 R,值域都是 R,也就是说,这两个函数的定义域和值域都分别相同,但它们的对应法则是 不同的,因此不能说这两个函数是同一函数.由于值域可以由定义域和对应法则惟一确定, 所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数.

题型一 函数的概念 【例 1】下列四组函数中,f(x)与 g(x)表示同一函数的有__________.

①f(x)=4 x4,g(x)=(4 x)4

②f(x)=x,g(x)=3 x3 ③f(x)=1,g(x)=1(x≠0) ④f(x)=x-1,g(x)=|x-1| 解析:若两个函数能表示同一个函数,则必须满足:①定义域相同;②对应法则相同. 对于①,两函数的定义域不同,其中 f(x)的定义域为{x|x∈R},g(x)的定义域为 {x|x≥0};对于②,定义域、值域和对应法则都相同,所以 f(x)与 g(x)表示同一函数;对 于③,定义域不同,其中 f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≠0};④的对应法则不同. 答案:② 反思:一般地,函数的定义域和对应法则确定,值域就随之确定,因此判断两个函数是 否为同一函数,只需判断它们的定义域和对应法则是否分别相同即可. 题型二 求函数的定义域 【例 2】求下列函数的定义域: (1)y=2+x-3 2;

(2)y= 3-x· x-1;

(3)y= x+2 1.

分析:给定函数时,要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数,如果没有给出定 义域,那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.
解:(1)要使函数有意义,必须满足 x-2≠0 成立,即 x≠2,所以这个函数的定义域为 {x|x∈R,且 x≠2}.

(2)要使函数有意义,必须满足???x3--1x≥≥00, 成立,解得 1≤x≤3, 所以这个函数的定义域为{x|x∈R,且 1≤x≤3}.

(3)要使函数有意义,必须满足?????xx+ +2 11≥≠00,

成立,解得 x>-1,所以这个函数的定

义域为{x|x>-1}. 反思:一般地,求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合: (1)解析式是整式的函数,其定义域为 R; (2)解析式是分式的函数,其定义域为使分母不为零的实数的集合; (3)解析式是偶次根式的函数,其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合; (4)如果解析式是由实际问题得出的,则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的
实数的集合; (5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组),再解不等式(组),而后得
出结论. 题型三 求函数的值域 【例 3】求下列函数的值域:

(1)y=2xx-+31;(2)y=xx22- +21.

分析:求函数的值域没有统一的方法.如果函数的定义域是有限个值,那么就可将函数

值都求出得到值域;如果函数的定义域是无数个值时,则可根据函数表达式的特点采取相应

的方法来求其值域,如观察法、配方法、换元法等. 解:(1)(观察法)y=2xx-+31=2+x-7 3.

因为 x≠3,x-7 3≠0,

所以 y≠2.故所求函数的值域为{y|y≠2}. (2)(逐步求解法)先分离常数,y=xx22-+21=x2x+2+1-1 3=1-x2+3 1.∵x2+1≥1,∴0<x2+1 1

≤1.

3 ∴-2≤1-x2+1<1.∴y∈[-2,1).

题型四 求已知函数的函数值

【例 4】已知 f(x)=x2+1,g(x)=2x1+1,

(1)求 f(2)和 g(a); (2)求 f[g(1)]和 g[f(x)].

分析:求某个函数的某个函数值,就是将自变量用相应的代数式或数替换,然后化简即 可;求 f[g(a)]时,一般遵循先里后外的原则,先求 g(a),然后将 f(x)解析式中的 x 代 换为 g(a),同时要注意函数的定义域.

解:(1)f(2)=22+1=5,g(a)=2a1+1.

(2)f[g(1)]=

f

(

1 3

)=(

1 3

)2

10
?1+1= 9 ;

g[f(x)]=g(x2+1)=2(x2+11)+1=2x21+3.

反思:要正确理解 f(a)的含义.如果自变量取 a,则由对应法则 f 确定的 y 的值称为函 数在 a 处的函数值,记作 f(a);求某个函数的函数值时,还要正确理解对应法则“f”和“g”

的含义.

1 已知函数 f(x)=x+1 1,则函数 f[f(x)]的定义域是__________. 解析:由条件得:f[f(x)]=x+1 11+1,

从而由?????xx++1 11≠+01,≠0,

得之.

答案:{x|x≠-1,且 x≠-2} 2 设 f(x)=11+ -xx,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,则 f2010(x)等于

__________.

解析:因 f1(x)=f(x)=11+ -xx,

1+x f2(x)=f(f1(x))=1+11-+xx=-1x,
1-1-x

1 f3(x)=f(f2(x))=1-x1=x1- +1x,
1+x

x-1 1+1+x f4(x)=f(f3(x))= x-1=x, 1-1+x

所以它的规律是以 4 为周期,从而由 2 010=4×502+2,得 f2 010(x)=f2(x).

答案:-1x

x2 3 函数 y=x2+1(x∈R)的值域是______.

解析:(方法一)由 y=x2x+2 1,得 x2=1-y y.

y ∴1-y≥0.解之,得

0≤y<1.

(方法二)y=x2x+2 1=1-x2+1 1,

∵x2+1≥1,∴-1≤-x2+1 1<0.∴0≤y<1.

答案:[0,1) 已知 P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列对应不表示从 P 到 Q 的函数的有 __________. (1)f:x→y=12x

(2)f:x→y=13x

(3)f:x→y=32x

(4)f:x→y= x 解析:因为当 x=4 时,y=6 不在集合 Q 中,(3)不符合函数的定义,其他均符合.

只要我们坚持了,就没有克服不了的困难。或许,为了将来,为了自己的发展,我们会把一件事情想得非常透彻,对自己越来越严,要求越来越高,对任何机会都不曾错过,其目的也只不过 是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时,“千里之行,始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情,让自己其中那小小的浅浅的进步,来击破打破 突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域,强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走,向前看,向前进。所有的未来,都是靠脚步去丈量。没有走,怎么知道,不可能;没有去 努力,又怎么知道不能实现?幸福都是奋斗出来的。那不如,生活中、工作中,就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵,着心、心平气和的去体验、去察觉这一 种灵魂深处的安详,侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但,这种聆听,它绝不是仅限于、执着于“我”,而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度,也就是那“幸 福都是奋斗出来的”深处又会是如何?生命不止,奋斗不息!又或者,对于很多优秀的人来说,我们奋斗了一辈子,拼搏了一辈子,也只是人家的起点。可是,这微不足道的进步,对于我们 来说,却是幸福的,也是知足的,因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么,隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中,并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力,去积极争取的! “宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局,或许,这无所皈依的心灵就有了归宿,这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。 一生有多少属于我们的时光?陌上的花,落了又开了,开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴,曾经的天真,只能在梦里回味,每回梦醒时分,总是多 了很多伤感。不知不觉中,走过了青春年少,走过了人世间风风雨雨。爱过了,恨过了,哭过了,笑过了,才渐渐明白,酸甜苦辣咸才是人生的真味!生老病死是自然规律。所以,面对生活 中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受,面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的,只要你有足够的坚强!这世上没有什么不能放下的,只要你有足够的胸

襟! 一生有多少属于我们的时光?当你为今天的落日而感伤流泪的时候,你也将错过了明日的旭日东升;当你为过去的遗憾郁郁寡欢,患得患失的时候,你也将忽略了沿途美丽的风景,淡 漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活,没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味,抑郁忧伤的人生少欢乐,风雨过后的彩虹最绚丽,历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了 各样的人生:有的轻浮,有的踏实;有的喧哗,有的落寞;有的激扬,有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦,大都是缘于生活里的际遇沉浮,走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺 得过物质生活的匮乏,却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度,一花一世界,一树一菩提,就是一粒小小的沙子,也有自己精彩的乾坤。如果 想到我们终有一天会灰飞烟灭,一切象风一样无影亦无踪,还去争个什么?还去抱怨什么?还要烦恼什么?未曾生我谁是我?生我之时我是谁?长大成人方是我,合眼朦胧又是谁?一生真的 没有多少时光,何必要和生活过不去,和自己过不去呢。你在与不在,太阳每天都会照常升起;你愁与不愁,生活都将要继续。时光不会因你而停留,你却会随着光阴而老去。 有些事情注定会发生,有的结局早已就预见,那么就改变你可以改变的,适应你必须去适应的。面对幸与不幸,换一个角度,改变一种思维,也许心空就不再布满阴霾,头上就是一片蔚蓝的 天。一生能有多少属于我们的时光,很多事情,很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来,在心中无法忘却的,一定是触动心灵,甚至是刻骨铭心的,无论是伤痛是欢愉。人生无论是得 意还是失意,都不要错过了清早的晨曦,正午的骄阳,夕阳的绚烂,暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后,你终于能懂得:谁会在乎你?你又何必要别人去在乎?生于斯世,赤条条的来, 也将身无长物的离开,你在世上得到的,失去的,最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么,所以也谈不到失去什么,因此,对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心,面对 人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受,知道人有旦夕祸福,这和命运没什么关系;有一颗平常心,面对台下的鲜花掌声和头上的光环,身上的浮名都能清醒看待。花不常开,人不常 在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候;再奢华的宴席,悠扬的乐曲,总有曲终人散的时刻。春去秋来,我们无法让季节停留;同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎 你?生养我们的父母。纵使我们有千般不是,纵使我们变成了穷光蛋,唯有父母会依然在乎!为你愁,为你笑,为你牵挂,为你满足。这风云变幻的世界,除了父母,不敢在断言还会有谁会 永远的在乎你!看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散;看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花;你落寞孤寂时,曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实, 谁会在乎你?除了父母,只有你自己。父母待你再好,总要有离开的时日;再恩爱夫妻,有时也会劳燕分飞,孩子之于你,就如同你和父母;管鲍贫交,俞伯牙和钟子期,这样的肝胆相照, 从古至今有几人?不是把世界想的太悲观,世事白云苍狗,要在纷纷扰扰的生活中,懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星,虽然灿烂,却是惊鸿一瞥;宁愿做一颗小小的暗淡的星子, 即使不能同日月争辉,也有自己无可取代的位置其实,也不该让每个人都来在乎自己,每个人的人生都是单行道,世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易,都有自己方向。相 识就是缘分吧,在一起的时候,要多想着能为身边的人做点什么,而不是想着去得到和索取。与人为善,以直报怨,我们就会内心多一份宁静,生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候,要学 会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间,已经走到了人生的分水岭,回望过去生活的点滴,路也茫茫,心也茫茫。少不更事的年龄,做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情:斜阳芳草里,故 作深沉地独对晚风夕照;风萧萧兮,渴望成为一代侠客;一遍遍地唱着罗大佑的《童年》,期待着做那个高年级的师兄;一天天地幻想,生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影,没有死去活来,青春 就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好,年华的可贵,已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此,青春就一去不回头。没有了幻想和冲动,日子就像白开水一样平淡,寂 寞地走过一天天,一年年。涉世之初,还有几分棱角,有几许豪情。在碰了壁,折了腰之后,终于明白,生活不是童话,世上本没有白雪公主和青蛙王子,原本是一张白纸似的人生,开始被 染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢,被情愿也罢,生存,就要适应身不由己,言不由衷的生活。人到中年,突然明白了许多:人生路漫漫,那是说给还不知道什么叫人生的人说的,人生其 实很短暂,百年一瞬间;世事难预料,是至理名言,这一辈子,你遇见了谁,擦肩而过了谁,谁会是你真心的良朋益友,谁会和你牵手相伴一生,都是最初估计不到的;没有跨不过去的坎, 只有走不出的心。人生天地间,渺小的如蝼蚁、草芥,即便是叱咤风云的伟人,安息之处亦不过是黄土一抔。纠结不清的是情感,放不下手的是名利,撒手西归,一切皆是过眼云烟。为情苦, 为名困,为物役,多少参不透生活的人为此劳碌一生,辛苦一世。走过了无数个平凡的日子,见惯了生离死别的怅惘,知道了“生亦何欢,死亦何惧”其实就是活着的一种最佳姿态。你无所 畏惧了,命运就该向你低头了,活着,就好好活。忧郁恼的时候听听歌,天空不会总布满阴霾,风雨之后的彩虹更美丽;心情不错的日子走一走,看看每一天的日升日落,那是自然给生命的 美好馈赠。花谢了,有再开的时候;草枯了,还有再荣的时候。青春呢?生命呢?是不是还可以再重新拥有一回?感谢爹娘,给了我生命,虽然历经了风雨,却依然能感觉到生命的厚重和珍 贵;感谢生活,尝尽了酸甜苦辣咸,仍然还会充满感动和感恩;感谢岁月,让我在红尘里褪尽铅华,返璞归真。爱惜自己,珍爱生活。对别人多一份理解和博爱,活着,就好好活。一生能有 多少属于我们的时光?在平凡的日子里,在安静的生活中,且行且珍惜吧。一个人的幸福感,不是来自丰衣足食,而是来自内心丰盈。丰衣足食,获得的是人生的踏实感;内心丰盈,获得的 是灵魂的归属感。前者让人从容赶路,后者给人在路的前方点灯。人的痛苦,有时候不是看不到,而是看到的太多了。每天挣 100 块钱的,其实并不羡慕挣 120 的。问题是,当突然看到有人 可以每天挣到上千块,便开始方寸大乱。不平衡,才是一个人内心宕动和迷乱的根本。无法安放的,永远不是身体,而是一颗野了的心大学谈恋爱,对未来的设想,不过是有一间屋子,只要 能盛得下两个人的欢愉就行。后来发现,我们需要的不只是一间屋子,而是好多房产。当我们把这些归结为生活所需的时候,其实已陷在世俗沉重的背影里了。然后,在虚荣的路上越走越远, 被虚荣长距离放逐,再被虚荣一步一个脚印地打这个世界,快乐最多的地方,不在富商大贾那里,也不在权倾一方的人那里。恰恰是这些人,阴沉着脸,个个蹙眉紧锁。他们的幸福。


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