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高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《1.3 简单的逻辑联结词》课件


1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且( and) 1.3.2 或(or)

1.3.3 非(not)

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【课标要求】 1.通过数学实例,了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含 义. 2.会判断“p∧q”,“p∨q”,“綈p”命题的真假.

【核心扫描】 1.判断“p∧q”,“p∨q”,“綈p”的真假.(重点)

2.逻辑联结词“或”的含义.(难点)
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自学导引 1.用逻辑联结词构成新命题 (1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新 命题,记作

p∧q ,读作 “p且q” . p∨q
,读作 “p或q” .

(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新 命题,记作

(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 綈p ,读 作 “非p” 或 “p的否定” .

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2.含有逻辑联结词的命题的真假判断 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q p∧q 綈p

真 真 真 假













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想一想:如果“p∧q”为真命题,那么“p∨q”一定是真命题 吗?反之,如果“p∨q”为真命题,那么“p∧q”一定是真命 题吗? 提示 如果“p∧q”为真命题,那么p和q都是真命题,所以 “p∨q”一定是真命题;反之,如果“p∨q”为真命题,那么 p和q可能都是真命题,也有可能一真一假,所以“p∧q”不一 定是真命题.

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名师点睛 1.对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解 联结词“且”与日常用语中的“且”含义一致,表示“并 且”“同时”的意思,联结词“或”与日常用语中的“或”不 完全一致,日常用语中的“或”往往表示二者取其一,带有 “不可兼有”的意思;而逻辑用语中的“或”含有“同时兼 有”的意思,如“p或q为真”包含三层意思:①p真而q假; ②p假而q真;③p真且q真,即两者中至少要有一个成立.联结 词“非”与日常用语中的“非”含义一致,表示“否定”“不 是”“问题的反面”等.
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对联结词“且”“或”“非”含义的理解也可类比集合中 “交”“并”“补”的含义理解:设A={x|x满足命题p},B= {x|x满足命题q},U为全集,则p∧q对应于A∩B,p∨q对应于 A∪B,綈p对应于?UA.

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2.命题的否定与否命题的区别 命题的否定与否命题是两个不同的概念,区别是: ①概念:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题是 对原命题的条件和结论分别否定后组成的新命题. ②构成:对于“若p,则q”形式的命题,其否定一般为“若p, 则綈q”,也就是不改变条件,只否定结论;而其否命题则为

“若綈p,则綈q”,即否定命题的条件,又否定命题的结论. ③真假:命题的否定的真假与原命题的真假相反;而否命题的真 假与原命题的真假无关.
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题型一

含逻辑联结词的命题的构成

【例1】 指出下列命题的形式及构成它的简单命题: (1)24既是8的倍数,也是6的倍数; (2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形; (3)矩形不是平行四边形. [思路探索] 单命题. 解答本题应先进行命题结构分析,再写出每个简

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解 (1)这个命题是“p∧q”的形式,其中p:24是8的倍数, q:24是6的倍数. (2)这个命题是“p∨q”的形式,其中p:菱形是圆的内接四边 形,q:菱形是圆的外切四边形. (3)这个命题是“綈p”的形式,其中p:矩形是平行四边形.

规律方法 (1)正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”是解 题的关键. (2)有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结 词,要结合命题的具体含义进行正确的命题构成的判定.
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【变式1】 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈

p”形式的命题. (1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等; (2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3 =0的解.

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解 (1)p∧q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等. p∨q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等. 綈p:梯形没有一组对边平行.

(2)p∧q:-1与-3是方程x2+4x+3=0的解. p∨q:-1或-3是方程x2+4x+3=0的解. 綈p:-1不是方程x2+4x+3=0的解.

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题型二 判断含逻辑联结词命题的真假 【例2】 指出下列命题的构成形式并判断命题的真假: (1)等腰三角形底边上的中线既垂直于底边,又平分顶角; (2)(A∩B) A;

(3)1是素数或是方程x2+3x-4=0的根; (4)1既不是素数,又不是方程x2+3x-4=0的根. [思路探索] 分解命题p∨q,p∧q或綈p形式中的p,q,先判断

p、q的真假,再判断新命题的真假.
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解 (1)是p∧q形式,其中p:等腰三角形底边上的中线垂直于 底边; q:等腰三角形底边上的中线平分顶角.因为p真、q真,所以 p∧q真.所以该命题是真命题. (2)这是綈p形式,其中p:(A∩B)?A是真命题,所以綈p假,

故该命题是假命题.

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(3)这是p∨q形式命题.其中p:1是素数;q:1是方程x2+3x- 4=0的根,因为p假q真,所以p∨q真,故该命题是真命题. (4)这是綈p∧綈q形式.其中p:1是素数,q:1是方程x2+3x-

4=0的根,∵p假q真,∴綈p真,綈q假,∴綈p∧綈q假.故该

命题是假命题.

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规律方法 判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤: (1)逐一判断命题p,q的真假; (2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”, “p∨q”,“綈p”的真假.

p∧q为真?p和q同时为真, p∨q为真?p和q中至少一个为真, 綈p为真?p为假.

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【变式2】 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q” “綈p”形式的命题的真假.

(1)p:6<6,q:6=6; (2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分; (3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点; q:不等式x2+x+2<0无解; (4)p:函数y=cos x是周期函数. q:函数y=cos x是奇函数.
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解 (1)∵p为假命题,q为真命题. ∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为真命题.

(2)∵p为假命题,q为假命题, ∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,綈p为真命题.

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(3)∵p为真命题,q为真命题, ∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,綈p为假命题.

(4)∵p为真命题,q为假命题, ∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为假命题.

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题型三 逻辑联结词的应用 【例3】 (12分)设有两个命题.命题p:不等式x2-(a+1)x+

1≤0的解集是?;命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函 数.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围. 审题指导 p真,求a q真,求a p、q一真一假, → → → 结果 的范围 的范围 求a的范围

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[规范解答] 对于p:因为不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是?, 所以Δ=[-(a+1)]2-4<0. 解这个不等式得: -3<a<1.(2分) 对于q:f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数, 则有a+1>1,所以a>0.(4分) 又p∧q为假命题,p∨q为真命题, 所以p、q必是一真一假.(7分) 当p真q假时,有-3<a≤0;当p假q真时,有a≥1.(10分) 综上所述,a的取值范围是(-3,0]∪[1,+∞).(12分)
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【题后反思】 (1)正确理解“且”“或”“非”的含义是解此 类题的关键,由p∧q为假知p,q中至少一假,由p∨q为真知 p,q至少一真. (2)充分利用集合的“交,并,补”与“且,或,非”的对应 关系理解题意,特别注意“p假”时,可从綈p为真求a的范

围,或利用补集思想,求“p真”时a的集合的补集.

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【变式3】 已知命题p:方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的 实数根,命题q:关于x的不等式ax2-ax+1>0的解集为R,若 “p或q”与“綈q”同时为真命题,求实数a的取值范围.

解 命题p:方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,等 价于 ?Δ =4a2-4≥0 ?a2-1≥0, ? ? ?x1+x2>-2 ??-2a>-2 ,解得a≤-1. ?(x +1)(x +1)>0 ?2-2a>0, ? 1 ? 2
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命题q:关于x的不等式ax2-ax+1>0的解集为R,等价于a=0
? ? ? ?a>0, ?a>0, ?a>0 或? 由于? ?? 2 ? ? ?Δ<0. ?Δ <0 ? ?a -4a<0,

解得0<a<4,∴0≤a<4. 因为“p或q”与“綈q”同时为真命题,即p真且q假,

? ?a≤-1, 所以? 解得a≤-1. ? ?a<0或a≥4,

故实数a的取值范围是(-∞,-1].

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方法技巧 补集思想的应用 对于逻辑联结词“非”有:若p是真命题,则綈p是假命题;若

p是假命题,则綈p是真命题.

设U为全集,P?U,若a∈P,则a??UP;若a?P,则a∈?UP, 所以命题的“非”恰好与集合中的“补”对应,因此在解决正 面较难解决的问题时,常将命题间的关系转化为集合间的关 系,利用补集的思想解决.
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【示例】 下列三个不等式: ①|x-1|+|x+4|<a;②(a-3)x2+(a-2)x-1>0; 1 ③a>x + 2 .若其中至多有两个不等式的解集为空集,求实数a x
2

的取值范围. [思路分析]“至多两个”的否定是“至少三个”,故可以先求 三个不等式的解集都是空集时,实数a的取值范围,然后再求 其补集.

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解 对于①,因为|x-1|+|x+4|≥|(x-1)-(x+4)|=5, 所以,不等式|x-1|+|x+4|<a的解集为空集时,实数a的取值 范围是a≤5. 对于②,当a=3时,不等式的解集{x|x>1},不是空集; 当a≠3时,要使不等式(a-3)x2+(a-2)x-1>0的解集为空
? ?a-3<0, 集,则? 2 ? ( a - 2 ) +4(a-3)≤0, ?

解得-2 2≤a≤2 2.

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1 对于③,因为x +x2≥2
2

1 x ·x2=2,
2

当且仅当x2=1,即x=± 1时取等号. 1 所以,不等式a>x +x2的解集为空集时,a≤2.
2

因此,当三个不等式的解集都为空集时,-2 2≤a≤2. 所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集,则实数 a的取值范围是{a|a<-2 2,或a>2}.

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方法点评 逻辑联结词中的“或”“且”“非”分别相当于集 合中的“并集”“交集”和集合在全集中的“补集”,用集合 的方法解决数学问题,有时能够达到简化解题的目的.

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