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【新】内蒙古包头市第四中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文

小中高 精品 教案 试卷

内蒙古包头市第四中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 文
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点位于 ( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

2.复数的 Z ? ( A. )

1 模为 i ?1

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2 ( D.3 )

3.设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为 3?i
C.1

B.-1

4.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是 A. ? 2,

?

?

? ?

??
? 3?

B. ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 2,?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

x ? 5 cos? ? 5.曲线 ? ( 为参数)的焦距是 ? ? y ? 4 sin ?

A.3

B.6

C. 8

D. 10

6.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0= A.e2 B.ln2 C. D.e

7.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若 学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比

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学生乙成绩好”.如果一组学 生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩 相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人
2

)

8.用 反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的 假设是 A. 方程 x +ax+b=0 没有实根 B. 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根
2 2 2 2

C. 方 程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D. 方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 9.设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

10.设 f (x)为可导函数,且满足 lim
x ?0

f (1) ? f (1 ? x) =-1,则曲线 y=f (x)在点(1, f(1)) 2x 1 2

处的切线的斜率是 A.2
3

B.-1

C.

D.-2

11.函数 f(x)=x +ax-2 在区间(1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是 A.[3,+∞) C.(-3,+∞) B.[-3,+∞) D.(-∞,-3)

2 12.点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2

距离的最小值是 A .1 B.2 C . 2 D.

2 2
( )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 一、 填空题 (本 大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则 x=________. 14. 若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= .

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1 15.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1)+f′(1) 2 =_____ 16.观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸 多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 3 2 17. (本题满分 10 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=- 与 x=1 时都取得极值. 3 (1)求 a,b 的值 (2)函数 f(x)的单调区间; 的直径, C, D 是圆 O

18. (本题满分 12 分)如图所示,AB 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点. 证明:∠OCB=∠D.

2 ? ?x=1- 2 t, 19.(本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 2 ? ?y=2+ 2 t 为参数),直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 20.(本题满分 12 分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了 抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100
2

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习
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惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名 学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. 附:χ =
2

n(n11n22-n12n21)2 , n1+n2+n+1n+2 P(χ 2≥k) k
0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635

21













12















线

l:

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(1)求圆 C 的普通方程.若以原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出圆 C 的极坐标方程. (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并说明理由;若相交,请求出弦长

3 2 3 22. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax - x +1(x∈R),其中 a>0. 2 (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 1 (2)若在区间[- , ]上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. 2 2

高二年级文科数学答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1) A (2) B (3) D (4) C (5) B (6) D

(7) B (8) A

(9) D (10) D (11) B (12) C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) 2 (14)﹣1 (15) 3 (16)

F+V-E=2

三、解答题(共 70 分,按步骤得分) 17. (1)f(x)=x +ax +bx+c,
3 2

f′(x)=3x2+2ax+b,

? 2? 12 4 由 f′?- ?= - a+b=0, ? 3? 9 3
f′(1)=3+2a+b=0 得 a=- ,b=-2. f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),-----------------5
2 (2)令 f′(x)>0,得 x<- 或 x>1, 3 2 令 f′(x)<0,得- <x<1.---------------------10 3
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1 2

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2? ? ? 2 ? 所以函数 f(x)的递增区间是?-∞,- ?和(1,+∞),递减区间是?- ,1?. 3 ? ? ? 3 ?

18. 证明:因为 B,C 是圆 O 上的两点,所以 OB=OC, 所以∠OCB=∠B. 又因为 C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 所以∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D,因此∠OCB=∠D.------------12

2 ? ?x=1- 2 t, 19.将直线 l 的参数方程? 代入抛物线方程 y =4x, 2 ? ?y=2+ 2 t
2

得?2+

? ?

2 ?2 ? 2 ? t? =4?1- t?, 2 ? 2 ? ? 2, 2.-------------------12

解得 t1=0,t2=-8 所以 AB=|t1-t2|=8

20.解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 χ =
2

n(n11n22-n12n21)2 100×(60×10-20×10)2 100 = = ≈4.762. n1+n2+n+1n+2 70×30×80×20 21

由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习 惯方面有差异”.--------6 (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω ={(a1,a2,

b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2, b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)},
其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3. Ω 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3), (a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}.

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7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= .------------12 10 .

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弦长为 4---------12 分 解 法 二 : -----------6 分

圆心到直线的距离,所以直线与圆相交-------------8 分







线

l







,所以弦长为 4 ---------12

3 2 3 2 22. (1)当 a=1 时,f(x)=x - x +1,f(2)=3.f′(x)=3x -3x,f′(2)=6,所以曲线 y 2 =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-3=6(x-2), 即 y=6x-9.------------4 (2)f′(x)=3ax -3x=3x(ax-1). 1 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= .
2

a

以下分两种情况讨论:
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1 1 ①若 0<a≤2,则 ≥ .当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: a 2

x

1 (- ,0) 2

0

1 (0, ) 2 极 大 值 ( 0 当 - ( 0 , 1 1 ( 1 + 0 - 0

a

f


x

1 ∈ 2 [ ,

a

, ( 1 2 )

a
)

x
)

- 0 1 2 , 1 2 ] 时 , )

f
+ 0 -

′(x)

f(x)

(

x
) > 0 等 价 于 错误! 即 错误! 解 不 等 式

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组 得 - 5 <

a
< 5 . 因 此 0 <

a
≤ 2 . 8 ② 若
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a
> 2 , 则 0 < 1

a
< 1 2 . 当

x
变 化 时 ,

f
′ (

x
) ,

f
(

x
) 的 变 化 情 况 如
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下 表 :

x

f(x)

极大值

极小值

1 1 当 x∈[- , ]时, 2 2 1 ? ?f(-2)>0 f(x)>0 等价于? 1 ?f(a)>0 ? 解不等式组得 因此 2<a<5. 综合①②,可知 a 的取值范围为 0<a<5.-------------12 5-a ? ? 8 >0, 即? 1 ?1-2a >0. ?
2

2 2 <a<5 或 a<- . 2 2

.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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