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第1讲一元二次不等式与绝对值不等式的解法---教师版

第 1 讲一元二次不等式与绝对值不等式的解法---教师版 第 1 页 共 5 页

第 1 讲一元二次不等式与绝对值不等式的解法 1. 一元二次方程: ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(1) 解法: (根所在区间的讨论) (2) 判别式(指定区间内根情况的判定) (3) 根与系数的关系、根与函数的关系、根与不等式的关系 2. 二次函数: y ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(1) 开口方向 (2) 顶点与对称轴 (3) 图象与 x 轴交点 (4) y 的正负号 3. 一元二次不等式: (1) 一般式: ax ? bx ? c ? 0, ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2 2

(2) 解法: (函数法) 4. 分式不等式的解集: (1) 一般式:

f ( x) f ( x) ? 0, ?0 g ( x) g ( x)

(2) 商化积 ? 传根法 5. 无理不等式的解集: (1) 解题依据: n a ? n b ? 0 ? a ? b 化为有理不等式 (2) 常见题型及解法:

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? g 2 ( x) ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g 2 ( x) ?
说明: “式”化“组”是为了等价转化。 6. 含绝对值的不等式解法 (1) 定义法:

x ? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a
(2) 公式法:

x ? a(a ? 0) ? x ? ?a或x ? a f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x )

例题分析: 例1. 解不等式: (1) 2 x ? 3x ? 2 ? 0 (2) ?3x ? 6 x ? 2 (3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2 2 2

(4) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 (5) ( x ? 1)( x ? a) ? 0 (6) ( x ? 1)(ax ? 1) ? 0
2

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2 (7) (1 ? x )(1 ? x) ? 0 (8) ( x ? 6 x ? 9)( x ? 1) ? 0

例 2.解不等式: (1)

x ?3 1 ? 2x ? 0 (2) ? 0 (3) x 2 ? x ? 8 ? x x?7 x?4

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(4)

x ? 2 ? 3 ? 1 (5) x ? 7 ? 3 x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0
2

4 2 (6) x ? 2 x ? 8 ? 0 (7) x ? 5 x ? 6 ? 0 (8) x ? 500 ? 5

(9) 2 x ? 5 ? 7 (10) x ? a ? b (11) 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4

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例 3.(1)求集合 x 0 ? x ? 1 ? 3, x ? Z 的真子集个数

?

?

(2)求使

3? x 2x ?1 ? 4

有意义的 x 的集合

(3)已知 A ? x x ? a ? 2 , B ? x x ? 1 ? 3 且 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围 (4)若 a >0,使不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 的解集不是空集的 a 的范围

?

?

?

?

例 4.已知方程 (m ? 1) x ? 2(2 ? m) x ? 2 m ? 4 ? 0( m ? R), 求 m 为何值时, 一根大于 3, 一个小于 3.答案 (-5, -1)
2

练习(大连 2012 双基) .已知函数 f ( x) ? 4 ? a ? 2 ? a ? 3 ,则函数 f ( x) 有两个相异零点的充要条件是
x x 2

( D )
2

A. ?2 ? a ? 2
2

B. 3 ? a ? 2

C. 3 ? a ? 2 D. 3 ? a ? 2

例 5.解关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0

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