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【新版】湘教版高中数学选修2-2《利用导数研究函数的单调性》教学教案【名校精品】


4.3.1 利用导数研究函数的单调性 教学目标: 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不 超过三次; 教学重难点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调 区间 教学过程: 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型, 研究函数时, 了解函数的赠与减、 增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的 这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数 研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. 二.新课讲授 1.问题:如图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变 化的函数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区 别? 通过观察图象,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点, 离 水面的高度 h 随时间 t 的增 加而增加,即 h(t ) 是增函 数. 相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . (2) 从最高点到入水, 运动员离 水面的高度 h 随时间 t 的增 加而减少,即 h(t ) 是减函 数. 相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . 2.函数的单调性与导数的关系 1/5 观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在 点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的, 这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增; 在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的, 这时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调 递增;如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. 说明: (1)特别的,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函 数. 3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ' ? f ' ( x) ; (3)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 三.典例分析 例 1.已知导函数 f ' ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 2/5 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 试画出函数 y ? f ( x) 图象的大致形状. 解:当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减; 当 x ? 4 ,或 x

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