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苏教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案

2.2.2 直线与圆的位置关系
教学目标: 1.在学生能够应用平面几何知识判断直线与圆的位置关系的基础上,转化为
应用坐标方法判断直线与圆的位置关系。进一步理解坐标思想研究几何问题的方 法。认识方程组解的意义。
2.理解直线与圆的位置的种类;能通过方程组的解和点到直线的距离公式判 断直线与圆的位置关系。能够解决直线和圆相关的问题。
3.通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的思 想。 教材分析及教材内容的定位:
本节内容是在学习了直线方程、圆的方程等一系列基础知识之后来研究直线与 圆之间的位置关系。涉及到两大数学思想:数形结合、方程思想,这是培养学生 数学思想的良好题材。另外为学生后续学习直线与圆锥曲线的位置关系提供了方 法和基础。 教学重点:
直线与圆的位置关系的判断方法,直线与圆相关问题。 教学难点:
用坐标法判定直线与圆的位置关系。 教学过程:
一、问题情境 1.复习与基础练习: (1)直线 kx-y+1+2k=0 过定点? (2)圆心为点(2,3),半径为 3 的圆的标准方程?一般方程? (3)点(-2,1)与此圆的位置关系? 学生自主思考,踊跃回答,教师参与分析,点明方法:解方程组、坐标法。 2.问题: 问题 1 初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种? 教师通过幻灯片展示直线与圆的位置关系,学生回答。 问题 2 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?

通过图形展示,教师引导学生总结出方法:判断交点个数,联系到方程的公共

解,从而总结出解方程组的方法判定直线与圆之间的位置关系。

二、学生活动

1.思考画图并讨论,说出自己的看法;

2.在教师的引导下,观察图形,利用类比的方法,归纳出直线与圆的位置关

系的种类;

3.在教师的引导下动手做题。

三、建构数学

方法 1:直线与圆的位置关系的判定方法:几何法。

直线 l:Ax+By+C=0;圆(x-a)2+(y-b)=r2。

利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系判断:

d>r——相离

d=r——相切

d<r——相交

注:师生互动,共同总结判定方法,体会逻辑思维的严密性。

方法 2:利用直线与圆的公共点的个数进行判断:代数法。

设方程组

?Ax ? By ? C ??(x ? a)2 ? ( y

?0 ? b)2

?

r2

的解的个数为

n,则有

△>0 ? n=2 ? 相交;△=0 ? n=1 ? 相切;△<0 ? n=0 ? 相离。

四、数学运用

1.例题

例 1 求直线 4x+3y=40 和圆 x2+y2=100 的公共点坐标,并判断它们的位置

关系。

变式:求直线 4x+3y=50 和圆 x2+y2=100 的公共点坐标,并判断它们的位置

关系。

例 2 自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=2 的切线 l,求切线 l 的方程。

变式 自点 B(1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=2 的切线 l,求切线 l 的方程。

例 3 求直线 x- 3 y+2 3 =0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长。

例题补充(让学生讲出解题思路,教师点评)

已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x2 ? y2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,
求直线 l 的方程。 2.练习 (1)直线 x-y-2=0 被圆 x2+y2=4 所截得的弦长为 。 (2)若过点(-2,1)作圆(x-3) 2+(y-1) 2=r2 的切线有且只有一条,则 r= 。 (3)若直线(m+1)x+y+1=0 与圆(x-1) 2+y2=1 相切,则实数的 m 值为 。 (4)已知直线 x-y+b=0 与圆 x2+y2=25 相离,求 b 的取值范围。 (5)求以 C(1、3)为圆心,并和直线 3x-4y-6=0 相切的圆的方程。 (6)已知⊙C:(x-1)2+(y-2)2=25,与直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4
=0(m∈R)。 ①证明:不论 m 取何实数,直线 l 与⊙C 恒有两个交点; ②求直线被⊙C 所截弦长最小时,l 的方程。 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容: 1.直线与圆位置关系。 2.判断直线与圆的位置关系的方法: (1)代数法; (2)几何法。 3.数学思想:数形结合和分类讨论的思想。


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