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辽宁省本溪市第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题文

本溪市第一中学 2018 届高二期中考试数学(文科)试题
满分:150 分 时长:120 分钟

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
x 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 0 ? 2 ? 1 , B ? ? x log 3 x ? 0? ,则 A

?

?

?C B ? ? (
U



A. x x ? 0

?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x 0 ? x ? 1

?

?

D. ? x x ? 1? ) D. ?

2.已知向量 a ? (3,4),b ? (sin? , cos? ),且a ? b, 则tan? 为( A.

3 4

B.

4 3


C. ?

3 4

4 3

3.已知 a, b ? R ,下列命题正确的是( A.若 a ? b , 则

1 1 ? a b

B.若 a ? b ,则

1 1 ? a b

2 2 C.若 a ? b ,则 a ? b

2 2 D.若 a ? b ,则 a ? b

4. 在△ ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c , 若 c ? 1 ,?B ? 45? ,cos A ? 则b ? ( A. ) B.

3 , 5

5 3

10 7

C.

5 7

D.

5 2 14


5.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1共焦点且过点 P ? 2,1? 的双曲线方程是( 4
B.

A.

x2 ? y2 ? 1 4

x2 ? y2 ? 1 2

C.

x2 y 2 ? ?1 3 3

D.

x2 ? 3 y 2 ? 1

? x ? y ? 2 ? 0, y 6.已知变量 x、y 满足约束条件 ? 则 的取值范围是 ( ? x ? 1, ? x ? y ? 7 ? 0, x ?
A. [ ,6]



9 5

9? B. ? ?? ?4 ? ? ?6,??? ,3 ? ? ?, ? ? ?6,??? 第 C 1. 页,共 页 ? 5?

D.[3,6] )

7.几何体的三视图(单位:cm)如右上图所示,则此几何体的表面积是(

4

4 3
正视图

3

3
A.90 cm 左视图
2

B.129 cm

2

3

C.132 cm

2

D.138 cm

2

开始
s ? 1, i ? 3

s ? s ?i

i ?i?2

s ? 100
是 输出 i 结束 第 8 题图



8. 如图的程序框图表示的算法的功能是 A.计算小于 100 的连续奇数的乘积 B.计算从 1 开始的连续奇数的乘积 C.从 1 开始的连续奇数的乘积,当乘积大于 100 时, 计算奇 数的个数 D.计算 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? n ? 100 时的最小的 n 值

9.在 ?ABC 中,若 A.直角三角形

tan A a 2 ? ,则 ?ABC 的形状是( tan B b 2

) D.等腰三角形

B.等腰或直角三角形

C.等腰直角三角形

10. 已知数列 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? A. 16(1 ? 4 )
?n

1 则 a1a2 ? a2 a3 ? 4
D.

? an an?1 ? (
32 (1 ? 2? n ) 3



B. 16(1 ? 2 )

?n

C.

32 (1 ? 4? n ) 3

11. 已知在 ?ABC 中,?ACB ? 90 ,BC ? 3 ,AC ? 4 ,P 是 AB 上的点, 则 P 到 AC , BC 的距离的乘积的最大值为( A.2 B. 3 ) C.9 D. 3

第 2 页,共 4 页

12. 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F .短轴的一个端点为 M ,直线 a 2 b2
4 , 5

l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于
则椭圆 E 的离心率的取值范围是( A. [ ,1) )

3 4

B. (0, ]

3 4

C. (0,

3 ] 2

D. [

3 ,1) 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。 13.在等比数列 ?an ? 中,若 a4 , a8 是方程 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,则 a6 =
2

.

14. 椭圆

x x2 y 2 ? y 2 ? 1的公共点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点, 那么 ? ? 1 和双曲线 2 6 3

cos?F1 PF2 的值是________________.
15.对于抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点 Q ,点 P ( a, 0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围 是 16. 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 2c cos B ? 2a ? b ,若 ?ABC 的面积 S ?

3 c ,则 ab 的最小值为 12

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

?ABC ? 90? , AB ? 4, BC ? 3 , 17. (本小题 10 分) 如图, 在 ?ABC 中,
点 D 在直线 AC 上,且 AD ? 4 DC . (1)求 BD 的长; (2)求 sin ?CBD 的值

18.(本小题 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和 S n ? n 2 ? 4n ,求数列 an 的前 n 项和 Tn .

? ?

19. (本小题满分 12 分)已知 A、 B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运动,

2 3 页,共 4页 a 、b 、 在 ?ABC 中, 角 A 、第 C 所对的边分别是 B、 ?MCN ? ? , 3 c.
θ N B C

M A

(1)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 值; (2)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长, 并求周长的最大值. 20.已知点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 16 上的一个动点,过点 P 作 PD 垂直于 x 轴,垂足 为 D , Q 为 线段 PD 的中点。 (1) 求点 Q 的轨迹方程。 (2) 已知点 M ?1,1? 为上述所求方程的图形内一点, 过点 M 作弦 AB , 若点 M 恰为弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程。 21.(本小题 12 分)已知 a1 ? 9 ,点 (an , an ?1) 在函数 f ( x) ? x ? 2x 的图象上,其中 n ? N ? ,
2

设 bn ? lg(1 ? an ) . ⑴证明数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设 cn ? nbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n ; ⑶ 设 dn ?

1 1 ,求数列 ?dn ? 的前 n 项和 Dn . ? an an ? 2

22.已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,离心率 e ? ,过点 F 且斜率为 2 a b 2

1 的直线与椭圆交于 C, D ( D 在 x 轴上方)两点, (1)求

CD 的值; DF

(2)若 F

?1,0?,设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆恒过原
第 4 页,共 4 页

点 O ,求 ?OAB 面积最大值。

数学(文科)试题答案 一、选择题 1-5 ADDCB 二、填空题 13、 6-10 ADDBC 11、12 BC

3

14、

1 2

15、 ? -?, 2?

16、

1 3

三、解答题 17、 (I)解:因为∠ABC=90°,AB=4,BC=3, 所以 cos C ?

3 4 ,sin C ? ,AC=5,………………………………3 分 5 5

又因为 AD=4DC,所以 AD=4,DC=1.在△BCD 中,由余弦定理,
2 2 得 BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2BC ? CD cos C ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1?

3 32 ? ,所以 5 5

BD ?

4 10 .……6 分 5
CD BD ? , sin ?CBD sin C

(II)在△BCD 中,由正弦定理,得

1 所以 ? sin ?CBD

4 10 5 , 4 5

所以 sin ?CDB ?

10 .……………………10 分 10

n ? 1 时 a1 ? S1 ? ?3 ,符 合上式, 18、解: n ? 2 时 an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 5,
所以 an ? 2n ? 5 ……………………4 分 令 an ? 0 ,即 2n ? 5 ? 0 ,得 n ?

5 。…………………………6 分 2

? 当 n ? 2 时, Tn ? ?S n ? ?n 2 ? 4n ;
当n ? 2时

Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? ?2(a1 ? a2 ) ? Sn ? n 2 ? 4n ? 8
? ? n 2 ? 4n,n ? 2 ? Tn ? ? 2 ?n ? 4n ? 8,n ? 2 …………………………12 分
19. 解(Ⅰ)

a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,

? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 . ……………………………………2 分



2 a 2 ? b2 ? c2 1 ?c ? 4? ? ?c ? 2? ? c 1 1 2 ?? ? ?? , ?MCN ? ? , cos C ? ? ,? 2ab 2 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ? 2 2 3 2 2

恒等变形得 c 2 ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .又 (Ⅱ)在 ?ABC 中,

c ? 4 ,? c ? 7 .…………6 分

AC BC AB ? ? , sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB
……8 分

?

AC ? sin ?

BC 3 ?? ? ? ? 2 , AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . 2? ?? ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ,……………………10 分 2 3? ? ?2 ?


? ? ? 2? ? ? ? ?? , ? 当 ? ? ? 即 ? ? 时, ?? ? 0, ? ,? ? ? ? ? 6 3 3 3 3 2 ? 3?

f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 .……………………12 分
? x ? x0 ? x0 ? x ? 20、解: (1)设 Q( x, y), P( x0 , y0 ) ,则 D( x0 , 0) ,由 ? y0 得 , ? y? ? y0 ? 2 y ? ? 2
因为 P( x0 , y0 ) 在圆 x ? y ? 16 上,所以 x02 ? y02 ? 16 ,所以 x ? (2 y) ? 16
2 2 2 2

x y 即 ? ? 1 为所求。………………4 分 16 4
(2)法 1:依题意显然 AB 的斜率存在,设直线 AB 的斜率为 k ,则 AB 的方程可设为

2

2

? y ? k ( x ? 1) ? 1 ? y ? 1 ? k ( x ? 1) ,由 ? x 2 y 2 (kx ? k ? 1)2 ? 16 得 : x2 ? ? ?1 ? ? 16 4
即: ( 1+4k ) x ? 8k (1 ? k ) x ? 4(1 ? k ) ?16 ? 0 ………………7 分
2 2 2

设A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ),则 x1 ? x 2 ?
综上,得

x ? x2 8k (k ? 1) 1, 1)是AB中点,则 1 ? 1。 , 而M( 2 2 1 ? 4k
…………10 分

8k (k ? 1) 1 ? 2,解得 k ? ? 。 2 4 1 ? 4k

1 ? 直线 AB 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1), 即x ? 4 y ? 5 ? 0。 4

…………12 分

法 2:依题意显然 AB 的斜率存在,设直线 AB 的斜率为 k .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )



? x1 ? 16 ? ?x ? 2 ? ?16

y1 ?1 ( x ? x1 )(x 2 ? x1 ) ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) 4 ? ?0 ,两式相减得: 2 y2 16 4 ?1 4

两边同除以 x 2 ? x1 得:

( x 2 ? x1 ) ( y 2 ? y1 ) ? ? k ? 0 ……………………8 分 16 4
1 4
…………………………10 分

x2 ? x1 ? 2, y 2 ? y1 ? 2 代入上式得 k ? ?

1 ? 直线 AB 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1), 即x ? 4 y ? 5 ? 0。 ………………12 分 4
2 21.解: (Ⅰ) 证明:由题意知: an?1 ? an ? 2an

∴ an?1 ? 1 ? (an ? 1)2

∵ a1 ? 9

∴ an ? 1 ? 0

∴ lg(an?1 ? 1) ? lg(an ? 1)2 ,即 bn?1 ? 2bn 。 ∴ ?bn ? 是公比为 2 的等比数列。……………4 分

又∵ b1 ? lg(1 ? a1 ) ? 1 ? 0

(Ⅱ) 由(1)知: bn ? b1 ? 2n?1 ? 2n?1

∴ cn ? n ? 2 n?1 。

0 1 2 n ?1 ∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2

∴ 2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ∴ ? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ?
0 1 2

? 2n?1 ? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n 1? 2

∴ S n ? n ? 2n ? 2n ?1 。

…………………………………………8 分

2 (Ⅲ) ∵ an?1 ? an ? 2an ? an (an ? 2) ? 0



1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2 1 1 2 1 1 ? ? ? 2( ? ) an an an ?1 an an ?1



1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1

∴ dn ?

∴ Dn ? d1 ? d 2 ? ? ? d n ? 2( 又由(1)知: lg(1 ? an ) ? 2 n?1 ∴ Dn ? 2( ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a 2 a3 a n an?1 a1 an?1
∴ an ? 1 ? 102
n?1

∴ an?1 ? 102 ? 1

n

1 1 )。 2n 9 10 ? 1

…………………………12 分

22、 (1)设直线 CD 方程为 y ? x ? c ,由 e ? 1分

2 2 c 知 ? ,所以 a ? 2c ? 2b ……… a 2 2

? y ? x?c ? 由 ? x2 y 2 得: 3 y 2 ? 2cy ? c 2 ? 0 ,因为 D 在 x 轴上方, ? ? ? 2c 2 c 2 ? 1
所以: yC ? ?c, y D ? 3c …………………………………………4 分

DF y D DF ?4 ? ? 3 ,所以 CD CF yC

………………………………6 分

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? 4mk ? x1 ? x 2 ? ? y ? kx ? m ? 1 ? 2k 2 ? 2 2 2 ,消去 得, , , ( 1 ? 2 k ) x ? 4 mkx ? 2 m ? 2 ? 0 y ? ? 2 2 2 ? x ? x ? 2m ? 2 ?x ? 2 y ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

3m 2 ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 3m 2 ? 2(1 ? k 2 ) …………8 分 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 即 2 1 ? 2k
S ?AOB ? 1 1 1 8m 2 (1 ? 2k 2 ? m 2 ) | m || x1 ? x 2 |? m 2 [( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 2 2 2 (1 ? 2k 2 ) 2
……………………………………10 分

?

2 (1 ? k 2 )(1 ? 4k 2 ) , 3 (1 ? 2k 2 ) 2

2 设 t ? 2k ? 1 ? 1 [Z-XK] S ?B O A

?

2 3

2t 2 ? t ? 1 2 1 1 9 2 ? ? ( ? )2 ? ? 2 3 t 2 4 2 t

当 t ? 2k ? 1 ? 2, 即 k ? ?
2

2 2 时,面积的最大值为 …………………………12 分 2 2


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