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高等光学教程-第3章参考答案


第三章光学薄膜的基本知识
3.1 证明在 TM 波入射的情况下单层膜的特征矩阵为
? cos ? ?j sin ? ? q2 ? ? cos ? ? ?

M =?
式中 q 2 =

? ? ? jq sin ? ? 2

?0 n / cos ? 2 ,其它参数及图示参考§3.1 节中图 3-2。 ?0 2

图 p3-1

解答: 模仿教材§3-1 中推导 TE 波入射情况下求特征矩阵所用的方法。 在界面 I 处:

?II cos ? 2 E I ? EiI cos ? 1 ? E rI cos ? 1 ? EtI cos ? 2 ? E r ?II H I ? H iI ? H rI ? H tI ? H r

(p3.1-1) (p3.1-2)

由非磁性介质中 E 和 H 的关系式

H?

?0 ns ? E ?0
(p3.1-3)

(p3.1-2)式化为

HI ?

?0 ?0 ?II ) n1 ( E iI ? E rI ) ? n 2 ( E tI ? E r ?0 ?0

在界面 II 处:

E II ? EiII cos ? 2 ? E rII cos ? 2 ? EtII cos ? 3
1

(p3.1-4)

H II ? H iII ? H rII ? H tII
由(p3.1-3)式,(p3.1-5)式化为

(p3.1-5)

H II ?
两个界面上的电矢量有关系式

?0 ?0 n 2 ( E iII ? E rII ) ? n3 E tII ?0 ?0
j? ? ? EiII ? EtI e ? ? j? ? ? ErII ? Er?II e

(p3.1-6)

(p3.1-7) (p3.1-8)

由(p3.1-7)和(p3.1-8)两式,(p3.1-4)、(p3.1-6)两式化为

? EII ? EtI e j ? cos? 2 ? Er?I e ? j? cos? 2 ? ? ?0 j? ? j? ? H II ? ? n2 ( EtI e ? Er?I e ) 0 ?
由(p3.1-9)和(p3.1-10)两式解出

(p3.1-9) (p3.1-10)

EtI ?

? ?0 ? n2 EII ? cos? 2 H II ? ? ? ? ? ? ? 2 0 n2 e j ? cos ? 2 ? 0 1

(p3.1-11)

?0

cos ? 2 H II ?


?II ? Er

?0 n 2 E II ?0

? 2 0 n 2 cos ? 2 e ? j? ?0

(p3.1-12)

将(p3.1-11)、(p3.1-12)式代入(p3.1-1)式,并令

?0 n ?0 2 q2 ? cos ? 2
有 用同样的方法得到

E1 ? cos ?E II ?

j sin ? H II q2

(p3.1-13)

H I ? ? jq 2 sin ?E II ? cos ?H II
由(p3.1-13)和(p3.1-14)式

(p3.1-14)

? ? E I ? ? cos ? ?H ? ? ? ? I ? ? jq sin ? 2 ?

? j

sin ? ? ? E II ? q2 ? ? ? H ? cos ? ? ? II ? ? j sin ? ? q2 ? ? cos ? ?

?

? cos ? MI ? ? ? ?? jq 2 sin ?
2

式中

?0 n2 ?0 q2 ? cos ? 2

3.2 如图 p3-2 所示,有一单层介质膜,入射光由折射率为 n1 的介质经过界面 I、单层膜及界 面 II 后进入折射率为 n3 的衬底, 入射光在界面 I 和界面 II 一次反射的振幅反射率分别为

r1 和 r2 ,一次透射的振幅透射率分别为 t1 和 t 2 。将三层介质看作一个整体,证明它的振幅
反射率 r 和振幅透射率 t 分别为

r?

1 ? r1r2 e 2 j?

r1 ? r2 e 2 j?



t?

1 ? r1r2 e 2 j?

t1t 2 e j?

式中

??

2?

?0

n2 h cos? 2

其中 ?0 为真空中光波波长, h 为单层膜厚度, n2 为膜的折射率,? 2 为光波在介质 2 中的 折射角。 证明:

图 p3-2

令 r1 和 t1 分别为光由折射率为 n1 的介质入射至折射率为 n2 的介质时的振幅反射系数和

? 分别表示光由折射率为 n2 的介质入射至折射率为 n1 的介质时的振幅 振幅透射系数。 r1? 和 t1
反射系数和振幅透射系数。当介质没有吸收时,由斯托克斯定律可知,这些量存在如下关系

r1 ? ? r1?
r12 ? t1t1? ? 1

(P3.2-1) (P3.2-2)

设入射光的振幅为 1 ,不考虑介质对光波的吸收,图 P3.2 中所示各反射光的振幅
3

S1 , S 2 , S 3 , ? 依次为 S1 ? r1 ,

? r2 , S 2 ? t1t1

? r1?r22 , …… S 3 ? t1t1

(P3.2-3)

图 P3.2 式中振幅反射系数及振幅透射系数的下标 1 和 2 分别表示在界面 1 和界面 2 的情况。

? , S2 ? , S3 ? , ? 依次为 中所示各透射光束的振幅 S1 ? ? t1t 2 , S1 ? ? t1t 2 r1?r2 , S2 ? ? t1t 2 (r1?r2 ) 2 , …… S3
(P3.2-4)

无论是反射光束还是透射光束,相邻两光束的相位差由下式给出

2? ?
因此反射光的复振幅依次为

4?

?0

n 2 h cos ? 2

(P3.2-5)

r1 ,

? r2 e j 2 ? , t1t1

? r1?r22 e j 4 ? , …… t1t1

(P3.2-6)

叠加后反射光的合成振幅为

? r2 e j 2 ? 1 ? r1?r2 e j 2 ? ? (r1?r2 ) 2 e j 4 ? ? ? r ? r1 ? t1t1

?

?

??

(P3.2-7)

当光束反射次数足够多时,利用无穷递减等比级数求和公式及(P3.2-1)和(P3.2-2) 式求得

r?

1 ? r1 r2 e 2 j?

r1 ? r2 e 2 j?

用同样的方法,写出透射光的复振幅依次为

t1t 2 e j? 0 ,

t1t 2 r1?r2 e j ( ? 0 ? 2 ? ) ,

t1t 2 (r1?r2 ) 2 e j ( ? 0 ? 4 ? ) , ……
t1t 2 e j? 0

(P3.2-8)

总的透射光由无穷递减等比级数求和公式给出

t?

1 ? r1?r2 e j 2 ?

取 ? 0 ? ? ,并运用(P3.2-1)式,最后得到

t?

1 ? r1 r2 e j 2 ?

t1t 2 e j?

3.3 证明单层均匀介质膜的反射率 R 由(3-33)式给出。 解答:当光垂直入射至单层介质膜表面时

??

2?

?0

n2 h ,

Pi ?

?0 ni ( i ? 1 , 2 , 3 ) ?0 ?0 n2 , ?0
4



P1 ?

?0 n1 , ?0

P2 ?

P3 ?

?0 n3 ?0

将它们代入(3-26)式后,得到

? n1n3 ? (n1 ? n3 ) cos ? ? j ? ? n ? n2 ? ? sin ? 2 ? ? r? ? n1n3 ? (n1 ? n3 ) cos ? ? j ? ? n ? n2 ? ? sin ? ? 3 ?

?

? n1 n3 ? 2 (n1 ? n3 ) cos ? ? ? ? n ? n2 ? ? sin ? ? 2 ? R ?| r | 2 ? 2 ? n1 n3 ? 2 ? ? (n1 ? n3 ) 2 cos 2 ? ? ? n 2 ? sin ? ? n ? 2 ?
2 2

2

3.4 设玻璃基底的折射率为 1.5,入射光的波长 ? ? 633nm (1)若在基底上镀制折射率为 2.0 的单层膜,覆盖层为空气。求光正入射时能给出最大 反射率和最小反射率的膜层几何厚度、 求最小不为 0 的几何厚度值。 求相应的最大反射率和 最小反射率 R 的值。 (2)若在基底上镀制折射率为 1.4 的单层膜,覆盖层为空气。求光正入射时能给出最大 反射率和最小反射率的膜层几何厚度、 求最小不为 0 的几何厚度值。 求相应的最大反射率和 最小反射率 R 的值。 解答:参考教材中图 3-5 及相关内容 (1)当 ? ? (2m ? 1) ? 2 ,或者说当膜层的光学厚度为 n 2 h ? ( 2m ? 1) ?0 4 时, cos 2 ? ? 0 , 其中 m ? 0 , 1 , 2 , ? ,几何厚度 h ?

( 2m ? 1)? 0 。 4n 2

令 m ? 0 ,得最小几何厚度 h ?

?0
4n 2

? 79.125 nm。
2

2 ? ? n1 n3 ? n 2 ? ? ? 20.66% 单层增反膜的强度反射率 R ? ? n n ? n2 ? 2 ? ? 1 3

当膜层光学厚度为 n 2 h ? m

?0
2

时,反射率最小,令 m ? 1 , h ?

?0
2n 2

? 158.25 nm ,

? n1 ? n3 ? R?? ?n ?n ? ? ? 4% 3? ? 1

? n1 ? n3 ? m?0 (2) n 2 h ? m ,h ? ,令 m ? 1 , h ? 226.07 nm,最大反射率 R ? ? ?n ?n ? ? ? 4% 2 2n 2 3? ? 1
2 ? ? n n ? n2 ? ? 1.77% 最小反射率 R ? ? 1 3 ? n n ? n2 ? 2 ? ? 1 3 2

?0

2

5

厚度 h ?

( 2m ? 1)? 0 ? ,令 m ? 0 , h ? 0 ? 113.04 nm 4n 2 4n 2

3.5 证明(3-60)式和(3-62)式。 解答: (1)根据(3-40)式,写出

M 2 N ( Nh) ? M 2 (h) M 2 (h) ? M 2 ( h) ? [ M 2 (h)] N
? nH ?? n L M 2 ( h) ? ? ? 0 ? ? ?? n ?? ? H ?? n L M 2 N ( Nh) ? ?? ? 0 ? ? ? ? ? ?
N

式中

? 0 ? ? nL ? ? nH ? ?

?

? ? ? , N? ? nL ? ? ? ?? n ? ? ? H ? ? ? 0

P0 ?

?0 n0 , ?0

PG ?

?0 nG ?0

由(3.2-11)式

r?

( ?11 ? ?12 PG ) P0 ? ( ? 21 ? ? 22 PG ) ?11 Pc ? ? 22 PG ? ( ?11 ? ?12 PG ) P0 ? ( ? 21 ? ? 22 PG ) ?11 Pc ? ? 22 PG

? nH ? ?? n L ?? ? nH ? ?? n L ?

? ? nL ? ? ? n 0 ? ?? n H ? ? ? ? nL ? ? n0 ? ? ?? n H ? ?
N

N

? ? ? nG ? ? ? ? nG ?
N

N

?
(2)模仿上面所用方法(略)

R ?| r | 2 ? r 2 ? (3.2-22)式

3.6 由表 3-1 看出当 m=2N 时, ?0 / 4 膜系的反射率 R 小于 m=2N-1 和 2N+1 时的值,当 N 很大时证明这一结论。 (注意当 N 较小时上述结论也成立) 解答: 当 N 很大时有

R2 N

n ?1? 4 G n0

? nL ? ?n ? H

? ? ? ?

2N

R2 N ?1

4n n ? n L ? 1 ? 02 G ? ? nH ? nH

? ? ? ?

2 ( N ?1)

6

?

? nL ? ? ? 2 nL ? nH ? ? ?1 2( N ?1) 2 n0 4n0 nG ? nL ? ? ? 2 nH ? nH ? n 4 G n0
? R2 N ? R2 N ?1
? ? ? ?
2N

2N

R2 N ?1
用同样的方法比较得:

4n n ? n L ? 1 ? 02 G ? ? nH ? nH

4

nG n0

? nL ? ?n ? H

? ? ? ?

2N

n n ? nL 4 0 2G ? ? nH ? nH

? ? ? ?

2N

?

2 nH 2 n0

?1

?

R2 N ? R2 N ?1

3.7 用特征矩阵的方法推导(3-82)式。 解答:双层膜的特征矩阵为

? 0 M ?? ? ?? jP1

j ?? ? ?? 0 P1 ?? 0 ? ?? jP1

? P j ? ?? 2 ? ? P P2 ? ? 1 ? 0 ? ? 0 ? ?

? 0 ? ? P ? 1? P2 ? ?

式中

Pi ?

?0 ni ?0

( i ? 1, 2 )

?12 ? ? 21 ? 0 ,
所以,由(3-26)式

?11 ? ?

P2 , P1

? 22 ? ?

P1 P2

P P ? 2 P0 ? 1 PG ? P ? ? 22 PG P1 P2 ? , r ? 11 0 P P ?11 P0 ? ? 22 PG ? 2 P0 ? 1 PG P1 P2

n0 ? r? n0 ?
2

2 n1 2 n2 2 n1 2 n2

nG nG

?

2 ? ? n1 ? n 0 ? 2 nG ? n2 ? ? R ?| r | 2 ? r 2 ? ? ? 2 ? n0 ? n1 nG ? 2 ? ? n2 ? ?

3.8 对于图 3-8 所示的结构用特征矩阵法证明 ( HL ) 2 H ( LH ) 的特征矩阵 M=1
7

N

N

解答:图 3-8b 所示的结构图膜系符号表示为

G ( HL) N 2 H ( LH ) N
镀制时从基底 G 往上镀

? 0 M1 ? ? ? ?? jPH

?? n ? N ? H ? j ? ?? ? ? ?? n L ? ? PH ? ? ? 0 ?? 0 ? ?

? ? ? ? 0 ? ? ? N? ? N ? nH ? ? nL ? ? ? ? ? ? ? ? ? jP ? H? ? ? n ? ? ? H ? ? ? ? nL ? ? 0 ? 0 j ? ? ? ? ? PH ? ? N ? nL ? 0 ? ?? jP ? H? ? ?? n ? ? H ? ? ?

?

j PH

N ? nL ? ? ? ? ? ? ? n ? ? H ? ? ? ? 0 ? ? N ? nL ? ? ? ? ? ?? n ? H ? ? ? ? ? 0 ? ?

?? n ? N ?? ? L ? ?? n H ? ? M 2 ? ?? ? 0 ? ?

? ?? 0 ?? 0 N?? ? n L ? ? ? jP H ? ? ? ? ?? n ? H ? ? ?

j ? PH

将以上两个矩阵相乘,得 M 2 M 1 为一单位矩阵。 3.9 用等效折射率法推导(3-60)式和(3-62)式。 解答: 设基底的折射率为 nG ,空气的折射率为 n0 ,

在基底 G 上镀了一层 ?0 4 高折射率膜层 H 之后薄膜的反射率为
2 ? n0 nG ? nH ? ? n0 ? nI ? R1 ? ? ?? ? 2 ? ? n0 nG ? nH ? ? n0 ? nI ? 2 2

式中

? nH nI ? ? ?n ? G

2 ? nH ? n ? ? G n G ?

2

图(c)表示又镀了一层折射率为 n L 的低折射率层(已成为偶数层膜层)
2 ? nL n ? 2 2 ? n n ? nL ? ? 0 nI ?? R2 ? ? 0 I 2 2 ? ? n0 nI ? nL ? ? n ? nL ? 0 n I ?

? ? ? n ? n ?2 II ? ?? 0 ? ? ? n0 ? nII ? ? ?

2

8

式中

n II ?

2 ? nL nL ?? nI ? ? nH

? ? ? nG ?

2

(e)再镀上一层折射率为 n H 的高折射率层(已成为奇数层膜层)
2 ? ? n0 ? n H ? n II ?? 2 ? n ? nH ? 0 n II ?

2 ? ? n n ? nH ? R3 ? ? 0 II ? n n ? n2 ? H ? ? 0 II

2

? ? ? n0 ? n III ? ? ?? ?n ?n III ? 0 ? ? ?

2

? ? ? ?

2

式中

n III ?

2 2 ? nH ? nH nH ? ?? ? n II ? ? n L ? nG

2

对于 2 N 层来说, n 2 N

? nL ?? ?n ? H

? ? ? ?

2N

nG , N ? 1 时关系式成立。 ? ? ? ?
2N 2 nH , N ? 1 时关系成立。 nG

对于 2 N ? 1 层来说, n 2 N ?1

? nH ?? ?n ? L

,这时 当 N ? N ? 1 时,镀了 2( N ? 1) 层(在 2 N ? 1 层的基础上再镀一层 n L )
2 ? ? n0 ? n L ? n 2 N ?1 ?? 2 ? n ? nL ? 0 n 2 N ?1 ?

R2( N ?1)

2 ?n n ? nL ? ? 0 2 N ?1 2 ?n n ? 0 2 N ?1 ? n L

? ? ? ?

2

? ? ? ? ? ? ?

2

n 2( N ?1) ? n 2 N ? 2 ?

2 nL

n 2 N ?1

?

2 nL

? nH ? ?n ? L

? ? ? ?

2N

2 nH nG
2

? nL ?? ?n ? H

? ? ? ?

2 ( N ?1)

R2 N

? ?n ? n0 ? ? L 2 ? n ? n2 n ? ? ? nH ?? 0 ? ?? ?n ? n0 ? n2 n ? ? n0 ? ? L ? ? nH ?

2N ? ? n ? n ?1 ? G G ? ? n0 ? ?? ? 2N ? ? ? ? ? 1 ? nG n G ? ? n0 ? ? ? ?

? nL ? ? nH ? nL ? ? nH

? ? ? 2N ? ? ?

2N

? ? ? ? ? ? ?

2

当 N ? N ? 1时
2 ? nH n ? 2 2 ? n0 n2( N ?1) ? nH ? ? 0 n2( N ?1) R2( N ?1) ?1 ? ? ?? 2 2 ? n n N ? ? 0 2( N ?1) ? ? n ? nH H ? ? ? 0 n ? 2( N ?1) ?

? ? ? ? ? ? ?

2

9

等效折射率

n 2( N ?1)?1 ?

2 nH

n 2( N ?1)

? nH ?? ?n ? L
2

? ? ? ?

2 ( N ?1)

2 nH nG
2N

所以

R2 N ?1

? n0 ? n 2 N ?1 ? ? ?? ? ?n ?n 2 N ?1 ? ? 0

2

2N ? ?n ? ? n0 ? ? H ? ?n ? ? ? L ? ?? 2N ? nH ? ? ? n0 ? ? ?n ? ? ? L ? ?

2 ? ? ?n ??n nH ?1 ? ? H ? ? H ? ?? nG ? ? ? ? n0 ? ? n0 ? ? ? 2 nH ? ? nH ? ? nH ? ? ?1 ? ? ? ? ?? ? nG ? ? ? n 0 ? ? nG

? ? nH ?? ?? n ?? L ? ? nH ? ? ?? ? ? nL

? ? ? ? ? ? ? ?

2N

? ? ? ? ? ? ?

2

10


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