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均值不等式与绝对值不等式

基本不等式应用 一.基本不等式

1. (1) a, b ? R , a 2 ? b 2 ? 2ab 若 则
2. (1)若 a, b ? R ,则
*

2 2 (2)若 a, b ? R , ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取 则 “=” )

2

a?b ? ab 2

a ?b? * (2)若 a, b ? R ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?

2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

3.若 x ? 0 , x ? 则

1 1 “=” ;若 则 “=” ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取 ) x ? 0 , x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 ) x x
(当且仅当 a ? b 时取“=” )

4.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2 b a 5.若 a, b ? R ,则 (

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注: (1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 二、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等 式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一) 、公式法: 主要知识:
1、绝对值的几何意义: 2、

x

是指数轴上点 x 到原点的距离;

x1 ? x2

是指数轴上

x1 , x 2 两点间的距离.。

x ?a



x ?a

型的不等式的解法。

3.

ax ? b ? c



ax ? b ? c

型的不等式的解法。

?a ( a ? 0), ? (二) 、定义法:即利用 a ? ?0( a ? 0), 去掉绝对值再解。 ?? a ( a ? 0). ?
(三) 、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法” ,即通过令每一个绝对值为零求得零点,求解应注意边界值。 (四) 、几何法:即转化为几何知识求解。
1

均值不等式: 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。技巧一:凑项 1、 当 x ? 0 时,求 y ? 4 x ? 2、已知 x ?

技巧二:凑系数

9 的最小值。 x

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

3、求函数 y ? x ?

1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

4. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

5: y ? x 2 (3 ? 2 x)(0 ? x ? )

3 2

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 6. 求 y ? x ?1

类型③条件求最值 7.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是
a b

.

8:若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧五:整体代换:9:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

10、若 x, y ? R 且 2 x ?

?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

类型④:基本不等式与恒成立问题 11、已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

2

解下列不等式(1) 、

x?2 ?3

(2)、1≤|2x-1|<5.

(3) 、

x x ? x?2 x?2

4、 解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5

5、对任何实数 x ,若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? k 恒成立,则实数 k 的取值范围为 ( (A)k<3 解下列不等式 6、 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3 7、

)

2x ? 1 ? x ? 2

2x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1

线面角

? 设 是直线 l 的方向向量, n 是平面的法向量,则
例、如图,正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,棱长为 2,E 是 CC1 的中点, 求 BE 与平面 B 1 BD 所成角的正弦值。 A1 D1 B1 C1 E

D

C B

A

3


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