当前位置:首页 >> 数学 >>

河北省故城县高级中学2014届高三数学下学期第一次月考试题(文理) 6星

河北省故城县高级中学 2014 届高三数学下学期第一次月考试题(文 理) (扫描版)新人教 A 版

数学模拟试题(十二)
(试卷总分 150 分 题号 得分 一 二 三 考试时间 120 分钟) 总分 合分人 复分人

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的。 1.在复平面内,复数 A.

1? i 对应的点与原点的距离是() 1? i
C. 2 D.2

1 2

B.1

2.(理)已知集合 A ? {x | log2 ( x ? 1) ? 1} , B ? {x |1 ? 2 x ? 0},则 A A. ( ?1, )

B ? ()

1 2

B. (?1,1)

C. ( ?

1 ,1) 2

D. ( ,1)

1 2

(文)已知集合 A ? {x | 2x?1 ? 1} , B ? {x |1 ? 2 x ? 0},则 A

B ? ()

1 1 B. (?1,1) C. ( ? ,1) 2 2 3.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定成立的是()
A. ( ?1, ) A.

D. ( ,1)

1 2

1 1 ? a ?b b

B. a ? ab
2

C.

| b | | b | ?1 ? | a | | a | ?1

D. a ? b
a

b

4.已知三棱柱的三视图如右图所示,其中俯视图为正三角形,则该三 棱柱的体积为() A. 12 3 B. 27 3 C. 36 3 D.6

5.如图是 I,II 两组各 7 名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图,设 I, II 两组数据平均数依次为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么() A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

1

6.若双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点重合,则双曲线的渐近 16 b
4 x 3
B. y ? ?

线方程是() A. y ? ?

3 x 4

C. y ? ?

5 x 4

D. y ? ?

4 x 5

7.(理)某小组有 12 名学生,其中男生 8 名,女生 4 名,从中随机抽取 3 名学生组成一兴 趣小组,则这 3 名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为() A.
1 2 C8 C4 3 C12

B.

1 C82C4 3 C12

C.

1 A82 A4 3 A12

D.

1 A82 A4 3 C12

(文)从长度分别为 1cm,3cm,5cm,7cm,9cm 的 5 条线段中任取 3 条作为三角形的 三边,能构成三角形的概率为()

3 2 1 C. D. 5 5 5 1 5 5 3 8.(理)若 ( ax ? ) ( a ? 0) 展开式中 x 的系数为 ? ,则 a 的值为() 81 x 1 1 1 A. B. C. D.1 3 9 27
A. B.

3 10

0 ,? ? ) 时, f ( x) 是增函数, (文) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) , 当 x ?[ 则 f (?2) , f (? ) ,
f (?3) 的大小关系式()
A. f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C. f (? ) ? f (?3) ? f (?2) B. f (? ) ? f (?2) ? f (?3) D. f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

9.执行右图所示的程序框图,则输出 S 的值是() A.-1 B.

2 3

C.

3 2

D.4

10.若函数 f ( x) ? x ln x ? a 有两个零点, 则实数 a 的取值范围为 () A. [0, ]

1 e

B. (0, )

1 e

C. (0, ]

1 e

D. (? , 0)

1 e

11.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S15 ? 0 , S16 ? 0 ,则 大的项为() A.

S1 S2 , , a1 a2

,

Sn 中最 an

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

12.如图, 在直角梯形 ABCD 中,AB ? AD ,AD ? DC ? 1 ,AB ? 3 , 动点 P 在 ?BCD 内运动(含边界) ,设 AP ? ? ? AD ? ? ? AB ,则 ? ? ? 的取值范围是()

2

A. [1, ] 题号 得分 1

5 3

B. [ , ] 2 3

4 5 3 3

C. [ , ] 4 5 6

2 4 3 3

D. [1, ] 7 8 9 10 11 12

4 3

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 13.(理)若

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a ? x

. .

(文)函数 y ?

1 10 x ? 2

的定义域是

2 14.设各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N ,且
*

a2 , a5 , a14 构成等比数列,则数列 {an } 的通项公式是 an ?

.

2 2 15.已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A 、 B 两点,O 是坐标原点,向量 OA 、OB

满足 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,则实数 a 的值是

.

16. (理) 已知正方形 APP 点 B ,C 为边 PP 沿 AB ,BC , 1 2 ,P 2P 3 的中点, 1 2P 3 的边长为 4,

CA 折叠成一个三棱锥 P ? ABC (使 P1 , P2 , P3 重合于点 P ) ,则三棱锥 P ? ABC 的外接
球的表面积为 . (文)如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C ,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60°,在由点 C 沿北 偏东 15°方向走 10 米到位置 D , 测得 ?BDC ? 45? , 则塔 AB 的高 是 米. 三、解答题:本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) (理)已知 ?ABC 中, ? A , ? B , ?C 所对边分别为 a , b , c ,已知

m ? (sin C,sin B cos A) , n ? (b, 2c) ,且 m ? n ? 0 。
(1)求 ? A 大小; (2)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积 A 的大小。 (文)已知数列 {log2 (an ?1)} 为等差数列,且 a1 ? 3, a2 ? 5 。

3

(1)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)求

1 1 ? ? a2 ? a1 a3 ? a2

?

1 的值。 an?1 ? an

18.(本小题满分 12 分) (理)现有某市对工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查,随机抽调了 50 人, 他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”反对人数如下表。 [2000,3000) [3000, 4000) [4000,5000) [5000,6000) [6000,7000) 月收入 (元) [1000, 2000) 频数 反对人数 5 4 10 8 15 12 10 5 5 2 5 1

(1)由以上统计数据估算月收入低于 5000 的调查对象中,持反对态度的概率;

[2000,3000) 的被调查对象中各随机选取两人进行追踪调查, (2)若对 [1000, 2000) ,
记选中的 4 人中赞成“延迟退休年龄”人数为 ? ,在求随机变量 ? 的分布列即数学期望。 (文)甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 5 次预赛成绩记录 如下: 甲 乙 82 95 82 75 79 80 95 90 87 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙的成绩高的概率; (3)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位同学参 加合适?说明理由。 19.(本小题满分 12 分) (理) 如图所示, 四棱锥 B ? AEDC 中, 平面 AEDC ? ABC BC AE / / DC 平面 ,F 为 的中点, , ?ACD ? ?BAC ? 90? , DC ? AC ? AB ? 2 AE ? 2 。 (1)点 P 在 BD 上移动,试确定点 P 的位置,使 EP ? BD 。 (2)求二面角 D ? BC ? E 的余弦值。 (文)如图所示,四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是 边长为 2 的正方形, PA ? 平面 ABCD , PA ? 2 ,过点 A 作 AE ? PB 于 E , AF ? PC 于 F ,连结 EF 。 (1)求证: PC ? 平面 AEF ; (2)若平面 AEF 交侧棱 PD 于点 G ,求多面体 P ? AEFG 的体积。

20.(本小题满分 12 分) (理)设函数 f ( x) ? ln x 。

4

(1)证明函数 g ( x) ? f ( x) ?

2( x ? 1) 在 x ? (1, ??) 上是单调增函数; x ?1

(2)若不等式 1 ? x2 ? f (e1?2 x ) ? m2 ? 2bm ? 2 ,当 b ?[?1,1] 时恒成立,求实数 m 的 取值范围。 (文)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 a 2 b2

A , B 两点。
(1)如果点 A 在圆 x2 ? y 2 ? c2 ( c 为椭圆的半焦距)上,且 | F1 A |? c ,求椭圆的离
2

心率; (2)若函数 y ? 2 ? logm x ( m ? 0 且 m ? 1) 的图象, 无论 m 为何值恒过定点 (b, a ) , 求 F2 B ? F1 A 的取值范围。 21.(本小题满分 12 分) (理) 已知定点 A(0, a)(a ? 0) , 直线 l1 : y ? ?a 交 y 轴于点 B , 记过点 A 且与直线 l1 相 切的圆的圆心为点 C 。 (1)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (2)设倾斜角为 ? 的直线 l2 过点 A ,交轨迹 E 于两点 P , Q ,交直线 l1 与点 R 。 (i)若 tan ? ? 1 ,且 ?PQB 的面积为 2 ,求 ? 的值; (ii)若 ? ? [

? ?

, ] ,求 | PR | ? | QR | 的最小值。 6 4
2 x

(文)已知 m ? R ,函数 f ( x) ? ( x ? mx ? m) ? e 。 (1)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 m 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 存在极大值,并记为 g ( m) ,求 g ( m) 的表达式; (3)当 m ? 0 时,求证: f ( x) ? x ? x 。
2 3

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一个题目记分。 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 已知弦 AB 与圆 O 的半径相等,连接 OB 并延长使 BC ? OB 。 (1)试判定 AC 与圆 O 的位置关系; (2)试在圆 O 上找一点 D ,使 AD ? AC 。

5

23.(本小题满分 10 分)选修【4-4:坐标系与参数方程】

? ?x ? ? x ? cos ? ? 已知曲线 C1 : ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 : ? ? y ? sin ? ?y ? ? ?

2 t? 2 2 ( t 为参数) 。 2 t 2

(1)指出 C1 , C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1 , C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C '1 、 C '2 ,写 出 C '1 、C '2 的参数方程。C '1 与 C '2 公共点的个数 C1 和 C2 与公共点的个数是否相同?说明 你的理由。

24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ?| x ? 7 | ? | x ? 3| 。 (1)作出函数 f ( x ) 的图象; (2)当 x ? 5 时,不等式 | x ? 8 | ? | x ? a |? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。 选做的题目是 (填 22、23、24)

模拟卷数学(十二)参考答案
1.B(解析:本题考查复数的运算及两点间的距离公式。 距离是 1,选 B。 ) 2.(理)D(解析:本题考查解不等式即集合的运算。根据 log 2 ( x ? 1) ? 1 ,得

1? i ? i ,对应的点与原点的 1? i

0 ? x ? 1 ? 2 ,解得 ?1 ? x ? 1 ,即 A ? (?1,1) ;由 1 ? 2 x ? 0 得 x ?
所以 A ? B ? ( ,1) 。 ) (文) D (解析: 本题考查解不等式与集合的运算。 由2 即 A ? (??,1) ,由 1 ? 2 x ? 0 得, x ?
x ?1

1 1 ,即 B ? ( , ?? ) , 2 2

1 2

? 1 得,x ? 1 ? 0 , 解得 x ? 1 。

1 1 1 ,即 B ? ( , ?? ) ,所以 A ? B ? ( ,1) 。 ) 2 2 2

3.C 4.C(解析:如图将三棱柱还原为直观图,由三视图知,三棱柱的高为 4,设底面边长 为 a ,则

3 3 2 a ? 3 ,? a ? 6 。故体积 V ? ? 6 ? 4 ? 36 3 。 ) 2 4
6

5.D(由题意可得 x1 ? 61 , x2 ? 62 , s1 ?

316 342 , s2 ? ,故选 D。 ) 7 7

6.B (解析: 本题考查双曲线和抛物线的集合性质。 抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点坐标是 (5, 0) , 即 c ? 5 , b ? c ? a ? 9 , b ? 3 ,所以双曲线的渐近线方程是 y ? ?
2 2 2

3 x。 ) 4

7.(理)B (文)A

1 (? ) k ? (?1) k C5k a ? k x 5? 2 k , x 5 1 4 3 由 5 ? 2k ? 3 得 k ? 1 ,所以 T1 ? (?1)C5 a x ,即 x3 的系数为 ?5a 4 ,即 ?5a 4 ? ? ,所以 81 1 1 a 4 ? ,解得 a ? ,选 A。 ) 81 3
8.(理)A(解析:二项展开式的通项为 Tk ?1 ? C5 (ax )
k 5? k

(文)A(解析:因为函数是偶函数,所以 f (?2) ? f (2) , f (?3) ? f (3) ,又函数在

[0, ??) 上是增函数, 2 ) ? f( ? 3 ) ? (f ) ? ,选 A。 所以由 f (2) ? f (3) ? f (? ) , 即 f (? )
9.D (解析: 第一次循环,S ? 第三次循环, S ?

2 2 2 i ? 2; i ? 3; ? ?1 , ? , 第二次循环,S ? 2?4 2 ? (?1) 3

3 2 ? , i ? 4 ;第四次循环, S ? ? 4 , i ? 5 ;所以该循环是 2 2 3 2? 2? 3 2 周期为 4 的周期循环,所以当 i ? 9 时,和第四次循环的结果相同,所以 S ? 4 。选 D。 )
10.D

2

15(a1 ? a15 ) ? 15a8 ? 0 ,得 a8 ? 0 。由 2 15(a1 ? a16 ) 15(a9 ? a8 ) S14 ? ? ?0, 得 a9 ? a8 ? 0 , 所以 a9 ? 0 , 且d ? 0。 所以数列 {an } 2 2
11.C(解析:由 S15 ? 为递减的数列,所以 a1 ,

, a8 为正, a9 ,

, an 为负,且 S1 ,

, S8 ? 0 , S16 ,

, Sn ? 0 。则

S9 S ? 0, 10 ? 0, a9 a10

,

S S8 S S ? 0 ,又 S8 ? S1 ,a1 ? a8 ,所以 8 ? 1 ? 0 ,所以最大的项为 8 。 ) a8 a8 a8 a1

12.D(解析:本题考查向量的几何运算,以 A 为原点, AB 为 x 轴, DA 为 y 轴建立直

7

角坐标系,则 B(3, 0) , C (1,1) , D(0,1) ,线段 BD 方程: 方程:

x ? y ? 1(0 ? x ? 3) ,线段 BC 3

x 3 ? y ? (1 ? x ? 3) ,设点 P ( x, y ) ,则 AP ? ( x, y) , AD ? (0,1) , AB ? (3,0) , 2 2

由 AP ? ? ? AD ? ? ? AB 得 ?

? x ? 3? x ? ?? ? y? , , 当点 P 在线段 BD 上时, ? ? ? ?1 ; 3 ?y ??

当点 P 在线段 BC 上时,? ? ? ? y ?

x x 3 4 ? ? ? (1 ? x ? 3) ,当 x ? 1 时 ? ? ? ? ;当点 3 6 2 3 4 P 在线段 DC 上时,显然 1 ? ? ? ? ? ;故选 D。 ) 3 a 1 2 a 2 13.(理)2(解析: ? (2 x ? ) dx ? [ x ? ln x] |1 ? a ? 1 ? ln a ? 3 ? ln 2( a ? 1) ,则 1 x

a2 ? 1 ? 3 , ln a ? ln 2 ,解得 a ? 2 。 )
(文) (lg 2, ??) (解析:由 10 ? 2 ? 0 ,得 x ? lg 2 。 )
x

2 2 14. 2n ? 1 (解析:当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5 , a2 ? 4a1 ? 5 ,

a2 , a5 , a14 构成等比

2 2 数列, 解得 a2 ? 3 , ?a1 ? 1 ; ?a5 ? a2 ? a14 , ?(a2 ? 8)2 ? a2 ? (a2 ? 24) 。 4a1 ? a2 ?5 ? 4 , 2 2 2 当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4(n ?1) ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4 , 2 2 2 当 n ? 2 时, {an } 是公差 d ? 2 ? an?1 ? an ? 2 ; an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? (an ? 2) , an ? 0 ,

的等差数列,数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1。 ) 15. ?2 (解析:由 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,得 | OA ? OB |2 ?| OA ? OB |2 ,即

| OA |2 ? | OB |2 ?2OA ? OB ?| OA |2 ? | OB |2 ?2OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,因此
OA ? OB ,在等腰 Rt ?OAB 中,圆心 O 到直线 x ? y ? a 的距离为 d ?
以 | a |? 2 ,故 a ? ?2 。 ) 16.(理) 24? (解析:由题意知,三棱锥 P ? ABC 的三条侧棱两两垂直,且 PA ? 4 , PB ? PC ? 2 ,所以三棱锥 P ? ABC 的外接球就是以 PA , PB , PC 为长,宽,高的长 方体的外接球,所以外接球的直径为此长方体的对角线 2 6 ,所以三棱锥 P ? ABC 的外接 球表面积为 24? 。 ) (文) 10 6 17.(理)解: (1)

2 | a |? 2 ,所 2

m ? n ? 0 , (sin C,sin B cos A) ? (b, 2c) ? 0
8

? b sin C ? 2c sin B cos A ? 0 ????????????2 分 b c ? ,? bc ? 2bc cos A ? 0 ????????4 分 sin B sin C 1 ? b ? 0 , c ? 0 , 1 ? 2 cos A ? 0 , cos A ? ? ????6 分 2 2? 0? A?? , A? ????????????????8 分 3
(2) ?ABC 中,

a2 ? c2 ? b2 ? 2cb cos A

?12 ? 4 ? b 2 ? 4b cos

2? 2 ,? b ? 2b ? 8 ? 0 ?????10 分 3 ? b ? ?4 (舍) ,b ? 2 ,
? ?ABC 的面积 S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 2 ? 2 ? ? 3 ??12 分 2 2 2

(文)解: (1)设 log 2 ( an ?1) ? log 2( an?1 ?1) ? d( n ? 2)

a1 ? 3 , a2 ? 5 d ? log2 (a2 ?1) ? log2 (a1 ?1) ? log2 4 ? log2 2 ? 1 ????3 分 log2 (an ?1) ? n ,? an ?1 ? 2n
? an ? 1 ? 2(n ? 2) ?????????????????5 分 an ?1 ? 1

?{an ?1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 ??????6 分
(2)由(1)可得 an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ,? an ? 2n ? 1 ???8 分

?
?

1 1 ? ? a2 ? a1 a3 ? a2
1 1 ? 3 ? 2 ? 2 2 ? 22
2

?
?

1 an ?1 ? an
1 1 1 ? ? 2? n 2 ?2 2 2
n ?1

?

1 1 ? 1 ? n ????????12 分 n 2 2

18.(理)解: (1)在所调查的 50 人中,月收入低于 5000 的人数为 40 人,其中持反对态度 的有 29 人,据此可估算月收入低于 5000 的调查对象中,持反对态度的概率为

P?

29 ?????????4 分 40

(2) ? 所有可能取值有 0,1,2,3 ????????5 分

P ? (? ? 0) ?

2 C52 C4 6 28 84 ????????6 分 ? ? ? ? 2 2 C5 C10 10 45 225

9

P ? (? ? 1) ?

1 1 1 2 C52 C4 C5 C2 4 28 6 16 104 C4 ??????7 分 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 2 1 3 2 C5 C2 C4 C4 C2 4 16 6 1 35 ??????8 分 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225

P ? (? ? 2) ?

1 2 C4 C2 4 1 2 ????????9 分 P ? (? ? 3) ? 2 ? 2 ? ? ? C5 C10 10 45 225

所以 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

84 225

104 225

35 225

2 225

????????????10 分 所以 ? 的期望值是 E? ? 0 ?

84 104 35 2 4 ? 1? ? 2? ? 3? ? ????????12 分 225 225 225 225 5

(文)解: (1)作出茎叶图如图??????3 分

(2)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到的成绩为 y , 用数对 ( x, y ) 表示基本事件:(82,95) ,(82,75) ,(82,80) ,(82,90) ,(82,85) ,(82,95) ,

(82,75) ,(82,80) ,(82,90) ,(82,85) ,(79,95) ,(79,75) ,(79,80) ,(79,90) ,(79,85) , (95,95) ,(95,75) ,(95,80) ,(95,90) ,(95,85) ,(87,95) ,(87,75) ,(87,80) ,(87,90) , (87,85) ,基本事件总数 n ? 25 。
记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件: (82,75) , (82,80) ,

(82,75) ,(82,80) ,(79,75) ,(95,75) ,(95,80) ,(95,90) ,(95,85) ,(87,75) ,(87,80) , (87,85) ,事件 A 包含的基本事件数 m ? 12 ,所以 P ( A) ?
(3)派甲参赛比较合适,理由如下:

m 12 ? ??????7 分 n 25

1 x甲 ? (70 ?1 ? 80 ? 3 ? 90 ?1 ? 9 ? 7 ? 2 ? 2 ? 5) ? 85 , 5 1 x乙 ? (70 ?1 ? 80 ? 2 ? 90 ? 2 ? 5 ? 0 ? 5 ? 0 ? 5) ? 85 , 5

10

1 2 S甲 ? [(79 ? 85)2 ? (82 ? 85) 2 ? (82 ? 85) 2 ? (87 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 31.6 , 5 1 2 S乙 ? [(75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (85 ? 85) 2 ? (90 ? 85) 2 ? (95 ? 85)2 ] ? 50 。 5
2 2 因为 x甲 ? x乙 , S甲 ,所以在平均成绩相同时,甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合 ? S乙

适。??????12 分 19.(理)解: (1)当 P 为 BD 的中点时, EP ? BD 。连接 PF ,则 PF 平行且等于 EA 。 AE / / DC ,所以四边形 AFPE 为平行四边形,所以 EP / / AF ????????2 分 由题意知 ?ABC 为等腰直角三角形,而 F 为 BC 的中点,所以 AF ? BC ????4 分 又因为平面 AEDC ? 平面 ABC ,?BAC ? 90? , 所以 DC ? 平面 ABC , 所以 AF ? DC 。 所以 AF ? 平面 BDC ,而 BD ? 平面 BDC ,所以 EP ? BD ????????6 分 (2)以 CA , CD 所在的直线分别作为 x 轴, z 轴,以过点 C 和 AB 平面的直线作为 y 轴, 建立如右图所示的空间直角坐标系。 由 DC ? AC ? AB ? 2 AE ? 2 ,可得: A(2, 0, 0) , B(2, 2,0) , E (2, 0,1) ,

F (1,1, 0)
则 CE ? (2,0,1) , BE ? (0, ?2,1) , AF ? (?1,1,0) ????????8 分

由(1)知 AF ? (?1,1,0) 为平面 BCD 的一个法向量,设平面 BCE 的一个法向量为

? ??2 y ? z ? 0 ?n ? BE ? 0 n ? ( x, y, z ) , 则 n ? BE , 所以 ? , 即? , 令 y ? 1, 则z ? 2, n ? CE , ?2 x ? z ? 0 ? ?n ? CE ? 0
x ? ?1 ,所以 n ? (?1,1, 2) 是平面 BCD 的一个法向量 ????10 分
于是 cos ? n, AF ??

n ? AF 2 3 。 ? ? 3 | n | ? | AF | 6? 2
3 3
????????12 分

故二面角 D ? BC ? E 的余弦值为

(文) (1)证明: PA ? 面 ABCD , BC 在面 ABCD 内, ? PA ? BC , BA ? BC , PA ? BA ? A ,? BC ? 面 PAB 。 又 AE 在面 PAB 内,? BC ? AE , AE ? PB , BC ? PB ? B , ? AE ? 面 PBC ,又 PC 在面 PBC 内,? AE ? PC , AF ? PC , AE ? AF ? A ,? PC ? 面 AEF ??????????6 分 (2) PC ? 面 AEF ,? AG ? PC , AG ? DC ,? PC ? DC ? C , AG ? 面 PDC GF 在面 PDC 内,? AG ? GF , ?AGF 是直角三角形, 由(1)可知 ?AEF 是直角三角形, AE ? AG ?

2 , EF ? GF ?

6 3

11

? S?AEF ?

3 3 2 6 2 3 2 3 , S ACF ? ,又 AF ? ,? S四边形AEFG ? , PF ? , 3 3 3 3 3
??????12 分

1 2 3 2 3 4 ?VP ? AEFG ? ? ? ? 3 3 3 9

1 2( x ? 1) ? 2( x ? 1) ( x ? 1) 2 20.(理)解: (1)∵ g '( x) ? ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
当 x ? 1 时 g '( x) ? 0 ∴ g ( x) 在 x ? (1, ??) 上是单调增函数 ????????6 分 (2)∵ f (e1?2 x ) ? ln e1?2 x ? 1 ? 2 x ∴原不等式即为 m2 ? 2bm ? 2 ? 1 ? ( x ?1)2 在 b ?[?1,1] 时恒成立 ∵ 1 ? ( x ? 1)2 的最大值为 1 ??????????8 分 ∴ m ? 2bm ? 3 ? 0 在 b ?[?1,1] 时恒成立
2

??????4 分

??????7 分

令 Q(b) ? m2 ? 2bm ? 3 ,则 Q(?1) ? 0 ,且 Q(1) ? 0 由 Q(?1) ? 0 , m ? 2bm ? 3 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?3
2

??????9 分

由 Q(1) ? 0 , m ? 2bm ? 3 ? 0 ,解得 m ? 3 或 m ? ?1
2

∴综上得, m ? 3 或 m ? ?3
2

????????12 分
2 2

(文)解: (1)∵点 A 在圆 x ? y ? c 上,∴ ?AF1 F2 为一直角三角形 ∵ | FA |? c , | F1F2 |? 2c ∴ | F1 A |? | F1 F2 | ? | AF1 | ? 3c
2 2

????????3 分

由椭圆的定义知: | AF 1 | ? | AF 2 |? 2a

?c ? 3c ? 2a , e ?

c 2 ? ? 3 ?1 a 1? 3

??????????5 分

(2)∵函数 y ? 2 ? logm x 的图象恒过点 (1, 2) ∴a ?

2 , b ? 1, c ? 1

??????????6 分

点 F1 (?1,0) , F2 (1, 0)

??????????7 分
12

①若 AB ? x 轴,则 A(?1,

2 2 ) , B(?1, ? ) 2 2

∴ F1 A ? (?2,

2 2 ) , F2 B ? (?2, ? ) 2 2
1 7 ? 2 2
????????????8 分

∴ F1 A ? F2 B ? 4 ?

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k 则 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)

由?

? y ? k ( x ? 1)
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

消去 y 得

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0 (*)
∵ ? ? 8k ? 8 ? 0 ,∴方程(*)有两个不同的实根
2

设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是方程(*)的两个根

x1 ? x2 ? ?

4k 2 2(k 2 ? 1) x x ? , ??????????9 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

F1 A ? ( x1 ?1, y1 ) , F2 B ? ( x2 ?1, y2 ) F1 A ? F2 B ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? (k 2 ?1)( x1 ? x2 ) ?1? k 2
2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 7 9 2 2 ? (1 ? k ) ? (k ? 1)(? ) ?1? k ? ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2(1 ? 2k 2 )
2

∵ 1 ? 2k ? 1 ,∴ 0 ?
2

1 9 9 ? 1, 0 ? ? 2 2 1 ? 2k 2(1 ? 2k ) 2

?1 ? F1 A ? F2 B ?

7 9 7 ? ? 2 2 2(1 ? 2k ) 2
7 ??????????12 分 2

由①②知 ?1 ? F1 A ? F2 B ?

21.(理)解: (1)连 CA ,过 C 作 CD ? l1 ,垂足为 D , 由已知可得 CA ? CD ∴点 C 的轨迹是以 A 为交点, l1 为准线的抛物线

13

∴轨迹 E 的方程为 x 2 ? 4ay

??????????????4 分
2

(2)直线 l2 的方程为 y ? kx ? a 与抛物线方程联立消去 y 得 ?4akx ? 4a ? 0 记 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? 4ak , x1 x2 ? ?4a2 ? 0 ??????????6 分

(i)若 tan ? ? 1 ,即 k ? 1 ,此时 x1 ? x2 ? 4a , x1 x2 ? ?4a2 ∴

S?BPQ ? S?ABP ? S?ABQ ? a | x1 | ?a | x2 |? a | x2 ? x1 |
2 ? a x12 ? 2 x1 x2 ? x2 ? a 16a 2 ? 16a 2 ? 4 2a 2

∴ 4 2a ?
2

2 ,注意到 a ? 0 ,∴ a ?

1 2

????????8 分

(ii)因为直线 PA 的斜率 k ? 0 ,易得点 R 的坐标为 ( ?

2a , ?a) k

???????9 分

| PR | ? | QR |? RP ? RQ ? ( x1 ? ? ( x1 ?

2a 2a , y1 ? a) ? ( x2 ? , y2 ? a) k k

2a 2a )( x2 ? ) ? (kx1 ? 2a)(kx2 ? 2a) k k

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (
? 4a 2 ( k 2 ?
∵k ?
2

2a 4a 2 ? 2ak )( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4a 2 k k

1 ) ? 8a 2 2 k

1 ? 2 ,当且仅当 k 2 ? 1 时取到等号 ????????10 分 2 k

又? ?[

? ?

3 , ] , k ?[ ,1] , 6 4 3

∴上述不等式中等号能取到 从而 | PR | ? | QR | 的最小值为 16a
2

????????12 分

2 x (文)解: (1)令 f ( x) ? 0 得 ( x ? mx ? m) ? e ? 0

∴ x ? mx ? m ? 0
2

∵函数 f ( x) 没有零点

? ? m2 ? 4m ? 0 ,∴ 0 ? m ? 4

????????????3 分

14

(2) f '( x) ? (2x ? m)ex ? ( x2 ? mx ? m) ? e x ? ( x ? 2)( x ? m)e x 令 f '( x) ? 0 得 x ? ?2 或 ?m 当 m ? 2 时,则 ? m ? ?2

x
f '( x)
f ( x)

(??, ?m)
+ ↗

?m
0

(?m, ?2)

?m

-2 0

(?2, ??)
+ ↗

me ? m

(4 ? m)e?2
????????5 分

当 x ? ?m 时, f ( x ) 取得极大值 me

当 m ? 2 时, f '( x) ? ( x ? 2)2 e x ? 0 , f ( x ) 在 R 上为增函数 ∴ f ( x ) 无极大值 ??????????6 分 当 m ? 2 时,则 ? m ? ?2

x
f '( x) f ( x)

(??, ?2)
+ ↗

-2 0

(?2, ?m)


?m
0

(?m, ??)
+ ↗

(4 ? m)e?2

me ? m

?2 当 x ? ?2 时, f ( x ) 取得极大值 (4 ? m)e
?m ? ?me (m ? 2) ??????????8 分 ?2 (4 ? m ) e ( m ? 2) ? ?

∴ g ( m) ? ?

(3)当 m ? 0 时, f ( x) ? x e
x

2 x

令 ? ( x) ? e ? 1 ? x ,则 ? '( x) ? e ?1
x

当 x ? 0 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 为增函数 当 x ? 0 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 为减函数 当 x ? 0 时, ? ( x) 取得最小值 0 ??????????10 分 ∴ ? ( x) ? ? (0) ? 0 ∴ e ? 1 ? x ? 0 ,∴ e ? 1 ? x
x x

15

∴ x e ? x ? x ,∴ f ( x) ? x 2 ? x3
2 x 2 3

??????????12 分

22.解: (1)由已知 OB ? AB ? BC ,所以点 A 在以 CO 为直径的圆周上 所以 ?CAO ? 90? ,即 OA ? AC ,所以 AC 与圆 O 相切 ??????4 分 (2)延长 BO 交圆于 D D ,可知 D 点为圆 O 上使 AD ? AC 的点 理由是:因为 BD 为圆 O 的直径,所以 ?BAD ? 90? 在 Rt ?OAC 与 Rt ?BAD 中, BC ? BO ? OD ,即 CO ? BD 又 AB ? AO ,所以 Rt ?OAC≌Rt ?BAD 所以 AC ? AD ,即点 D 为满足题意得点 ????????10 分 23.解: (1) C1 是圆, C2 是直线

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0,0) ,半径 r ? 1 C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0
因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1,所以 C2 与 C1 只有一个公共点 ???5 分 (2)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ? ?x ? ? ? C1 ' : ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 ' : ? 1 y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?
化为普通方程为 C1 ': x2 ? 4 y 2 ? 1 , C2 ' : y ? 联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0
2

2 t? 2 2 ( t 为参数) 2 t 4

1 2 x? 2 2

其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C2 ' 与椭圆 C1 ' 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相 同。??????10 分

?4( x ? 3) ? 24.解: (1) f ( x) ? ?10 ? 2 x(3 ? x ? 7) ??????3 分 ??4( x ? 7) ?
图像如右图所示: (2)∵ x ? 5 ,∴不等式 | x ? 8 | ? | x ? a |? 2 ,可化为 8 ? x? | x ? a |? 2 ∴ | x ? a |? 6 ? x 对 x ? 5 恒成立 ??????7 分 即 x ? 6 ? x ? a ? 6 ? x 对 x ? 5 恒成立 ??????8 分 ?????6 分

16

∴?

?a ? 6 对 x ? 5 恒成立 ??????9 分 ?a ? 2 x ? 6

又∵ x ? 5 时, 2 x ? 6 ? 4 ,∴ 4 ? a ? 6 实数 a 的取值范围为 [4, 6) ????????10 分

17


更多相关标签: