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【湖南省长沙】2017届高三上学年期期末(理科) 数学年试题答案

湖南省长沙一中 2017 届高三上学期月考

数学(文科)试卷(五)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 0},B ? {x | x ? a},若A ? B ,则实数 a 的取值范围是( )

A. a ? 2

B. a ? 2

C. a ? 0

D. a ? 0

2.因为 i 是虚数单位,复数 z ? i2017 ,则 z 的共轭复数是( ) 1? i

A. 1 ? i 22

B. 1 ? i 22

C. ? 1 ? i 22

D. ? 1 ? i 22

3.某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团,若甲、乙、丙三名学生各自随机选

择参加其中一个社团,则三人不在同一个社团的概率为( )

A. 2 3

B. 1 4

C. 3 4

4.已知 tan? ? 2(? ?(0, π)),则cos(5π ? 2?) =( 2

A. 3 5

B. 4 5

C. ? 3 5

D. 3 8
) D. ? 4 5

5.在△ABC 中,AB=BC=3,∠BAC=30°,CD 是 AB 边上的高,则 CD CB =( )

A. ? 9 4

B. 9 4

C. 27 4

D. ? 27 4

6.运行如图所示的程序框图,若输出的点恰有 3 次落在直线上 y ? x ,则判断框中可填写的条

件是( )

A.

B. i ? 7

C. i ? 6

D. i ? 5

7 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 f (- x)? ? f ( x,) f ( ?x 2?) f (?x ,2 且) x ?(﹣1,0时) ,

-1-/6

f

(x)

?

2x

?

1,则f 5

(log2

20)

=(



A. ?1

B. 4 5

C. ? 4 5

D.1

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 1 ? π 3 12

B.1? π 12

C. 1 ? π 34

D.1? π 4

9.“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,

标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数

学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升

九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”

([注释]三升九:3.9 升.次第盛:盛米容积依次相差同一数量.)用你所学的数学知识求得中

间两节的容积为( )

A.1.9 升

B.2.1 升

C.2.2 升

D.2.3 升

10.函数 g(x) ? 2cos(x ? π)cos(x ? π) 的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)

4

4

后得到 h(x) 的图像,设 f (x) ? 1 x2 ? h(x) ,则 f ?(x) 的图像大致为( ) 4

A.

B.

C.

D.

11.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过 F1 作圆 x2

?

y2

? a2 的切线分别交

-2-/6

双曲线的左、右两支于点 B、C,且 BC ? CF2 ,则双曲线的渐近线方程为( )

A. y ? ?3x

B. y ? ?2 2x

C. y ? ?( 3 ?1)x

D. y ? ?( 3 ?1)x

12.定义域为 R

的函数

f

(x)

?

?lg | ??1, x

x ? 2 |, x ?2

?

2

,若关于

x

的方程

f

2 (x)+bf

(x)

?c

?

0 恰有

5



不同的实数解 x1, x2 , x3, x4 , x5 ,则 f (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) 等于( )

A. 0

B. 21g2

C. 31g2

D.1

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.过点 M (1,2) 的直线 l 与圆 C : (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 交于 A,B 两点,C 为圆心,当∠ACB

最小时,直线 l 的方程是___________. 14.高三(1)班某一学习小组的 A、B、C、D 四位同学周五下午参加学校的课外活动,在课 外活动时间中,有一人在打篮球,有一人在画画,有一人在跳舞,另外一人在跑步. ①A 不在散步,也不在打篮球; ②B 不在跳舞,也不在跑步; ③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件; ④D 不在打篮球,也不在跑步; ⑤C 不在跳舞,也不在打篮球. 以上命题都是真命题,那么 D 在___________.

15.在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,若△ABD 是等边三角形,且 AC ? 4 3 ,则△ADC 的面

积的最大值为___________.

16.学生体质与学生饮食的科学性密切相关,营养学家指出,高中学生良好的日常饮食应该至

少提供 0.075 kg 的碳水化合物,0.06 kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪.已知 1 kg 食物 A 含有 0.105

kg 碳水化合物,0.07 kg 蛋白质,0.14 kg 脂肪,花费 28 元;1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化

合物,0.14 kg 蛋白质,0.07 kg 脂肪,花费 21 元.为了满足高中学生日常饮食的营养要求,每

天合理搭配食物 A 和食物 B,则最低花费是___________元.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知数列{an} 的前

n

项和

Sn

?

3n

? 2

1

,令

bn

?

log9an?1 .

(1)求数列{bn} 的通项公式;

1

(2)若数列 {bn }

的前

n

项和为

Tn

,数列{ Tn

}

的前

n

项和为

Hn

,求

H 2017



18.高三学生小罗利用暑假参加社会实践,为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间
-3-/6

的营销策略,他对去年 10 月 1 日当天在该网站消费且消费金额不超过 1000 元的 1000 名(女

性 800 名,男性 200 名)网购者,根据性别按分层抽样的方法抽取 100 名进行分析,得到如下

统计图表(消费金额单位:元):

女性消费情况:

消费金额 (0,200)

[200,400)

[400,600)

[600,800)

[800,1000)

人数

5

10

15

47

x

男性消费情况:

消费金额 (0,200)

[200, 400)

[400,600)

[600,800)

[800,1000)

人数

2

3

10

y

2

(Ⅰ)现从抽取的 100 名且消费金额在[800,1000](单位:元)的网购者中随机选出两名发放

网购红包,求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率;

(Ⅱ)若消费金额不低于 600 元的网购者为“网购达人”,低于 600 元的网购者为“非网购达人”,

根据以上统计数据填写右面 2×2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下

认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”

女性

男性

总计

网购达人

非网购达人

总计

P(k 2 ? k0 ) k0 附:

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

(k2 ?

n(ad ? bc)

,其中n ? a ? b ? c ? d)

(a ? d)(c ? d)(a ? c)(b ? d )

19.已知梯形 ABCD 中 AD∥BC , ?ABC ? ?BAD ? π,AB ? BC ? 2AD ? 4 ,E、F 分别是 2
AB、CD 上的点, EF∥BC, AE ? x .沿 EF 将梯形 AEFD 翻折, 使平面 AEFD ? 平面EBCF (如图).G 是 BC 的中点. (1)当 x ? 2 时,求证: BD ? EG ; (2)当 x 变化时,求三棱锥 D-BCF 体积的最大值.

-4-/6

20.如图,椭圆 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点.| AF | a2 b2
的最大值是 M, | BF | 的最小值是 m,满足 M m ? 3 a2 . 4
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设线段 AB 的中点为 G,AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点,O 是坐标

原点.记△GFD

的面积为 S1 ,△OED

的面积为 S2 ,求

2S1S2 S12 ? S22

的取值范围.

21.已知函数 f (x) ? ln(x ? a) ? x 有且只有一个零点,其中 a ? 0 . (1)求 a 的值; (2)设函数 h(x) ? f (x) ? x ,证明:对 ?x1,x2 ?(-1,??)(x1 ? x2 ) ,不等式

x1 ? x2 ? h(x1) ? h(x2 )

x1x2 ? x1 ? x2 ?1 恒成立.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

22.在极坐标系中,曲线

C

的方程为

?

?

4(cos?

?

sin?

)

?

6 ?

,以极点

O

为原点,极轴为

x



的正半轴建立平面直角坐标系.

(1)求曲线 C 的参数方程;

(2)在直角坐标系中,点 M (x, y) 是曲线 C 上一动点,求 x ? y 的最大值,并求此时点 M 的

直角坐标.

[选修 4-5:不等式选将

23.设函数 f (x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (a ? 0) . a

-5-/6

(1)求证: f (x) ? 2 ; (2)若 f (2) ? 4 ,求实数 a 的取值范围.
-6-/6


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