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高三数学剖析高考中的恒成立问题.doc


剖析高考数学中的恒成立问题
广东省湛江市坡头区第一中学 范友玉

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察, 恒成立问题便是一个考察学生综 合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、 化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极 的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数 知识密不可分。 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法:①函数性质法;②主参换位法;③分 离参数法;④数形结合法。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析: 一、函数性质法 1、二次函数:

a?0 a?0 ①.若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ? 0 (或 ? 0 ) 在 R 上恒成立, 则有 ? (或 ? ) ; ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ?
②.若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ? 0(或 ? 0 )在指定区间上恒成立,可以利用韦 达定理以及根的分布等知识求解。 例 1(08 年江西卷理 12). 已知函数 f ? x ? ? 2mx2 ? 2 ? 4 ? m? x ? 1, g ? x ? ? mx , 若对于任一 实数 x , f ( x) 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( ) y A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0) 1 0 y
f ( x) ? ?8x ? 1

分析: f ( x) 与 g ( x) 的函数类型,直接受参数 m 的影响,所以首先要对参 数进行分类讨论,然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。 解析:当 m ? 0 时, f ( x) ? ?8x ? 1 ? 0 在 (??, ) 上恒成立,而 g ( x) ? 0 在 R 上恒成立,显然不满足题意;(如图 1) 当 m ? 0 时, g ( x) 在 R 上递减且 g ( x) ? mx ? 0 只在 (??, 0) 上恒成立, 而 f ( x) 是一个开口向下且恒过定点(0,1)的二次函数,显然不满足题意。 当 m ? 0 时, g ( x) 在 R 上递增且 g ( x) ? mx ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 而 f ( x) 是一个开口向上且恒过定点(0,1)的二次函数,要使对任一实数 x , 0

g ( x) ? 0

x

1 8

图1
f ( x)

1 x
g ( x) ? mx
f ? x?

图2

y
g ( x)

f ? x ? 与 g ? x ? 的值至少有一个为正数则只需 f ( x) ? 0 在 (??, 0] 上恒成立。(如图 3) 1
o

x 图3

?4 ? m 4?m ?0 ? 0 解得 4 ? m ? 8 或 0 ? m ? 4 , 则有 ? 或 ? 2m 2 m ?? ? 4(4 ? m) 2 ? 8m ? 0 ?

综上可得 0 ? m ? 8 即 m ? (0,8) 。 故选 B。 例 2(09 年江西卷文 17)设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值。(节选) 解析: (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 9 x ? 6 , ? 对 ? x ? R , f ' ( x) ? m , 即 3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 在 x ? R 上恒成立, ? ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ? 2、其它函数:

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 。 4 4

f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x)min ? 0 (注:若 f ( x) 的最小值不存在,则 f ( x) ? 0 恒成立

? f ( x) 的下界大于 0); f ( x) ?0 恒成立 ? f ( x)max ? 0(注:若 f ( x) 的最大值不存在,
则 f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x) 的上界小于 0). 例 3 ( 07 年重庆卷理 20) 已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值

?3 ? c ,其中 a 、 b 为常数. (1)试确定 a 、 b 的值;
(2)讨论函数 f ( x) 的单调区间;
2 (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围。

分析: f ( x) ? ?2c 恒成立,即 f ( x)min ? ?2c2 ,要解决此题关键是求 f ( x)min ,
2

x ? 0。
解:(1)(2)略 (3)由(2)知, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值.
2 要使 f ( x) ? ?2c ( x ? 0) 恒成立,只需 ? 3 ? c ? ?2c .即 2c ? c ? 3 ? 0 ,
2 2

从而 (2c ? 3)(c ? 1) ? 0 . 解得 c ?

3 3 或 c ? ?1 . ? c 的取值范围为 (?? ,?1] ? [ ,?? ) . 2 2
4 3 2

例 4(08 天津文 21).设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b( x ? R) ,其中 a, b ? R . (Ⅲ) 若对于任意的 a ?? ?2, (节 2? ,不等式 f ( x) ? 1 在 ??11 , ? 上恒成立,求 b 的取值范围. 选)

) xm ? , 分析:f ( x) ? 1 , 即 f (x 要解决此题关键是求 f ( x)max 。 , x ? ??11 a ?? ?2, 2? , ?, a 1

解:(Ⅲ) f ?( x) ? 4 x3 ? 3ax2 ? 4 x ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) 由条件 a ?? ?2, 2? 可知

? ? 9a2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .
因此函数 f ( x) 在 ??11 , ? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 为使对任意 a ?? ?2, 2? ,不等式 f ( x) ? 1 在 ??11 , ? 上恒成立,当且仅当 f ( x)max ? 1 , 即?

? f (1) ? 1 ?b ? ( ?2 ? a ) min ?b ? ?2 ? a ,即 ? 在 a ?? ?2, , a ?? ?2, 2? 上恒成立.即 ? 2? ?b ? ( ?2 ? a ) min ? f (?1) ? 1 ?b ? ?2 ? a

所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 ? ?∞, ? 4? . 例 5(09 年全国卷 II 文 21)设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(II)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。(节选)

分析:利用导数求函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出 a 的范围。 解:(II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 4 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a ; f (0) ? 24a 3 3

?a ? 1 ? 则由题意得 ? f ( 2 a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?
.5.u.c.o.m

?a ? 1, ? 4 即? ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, 解得 1 ? a ? 6 ? 3 ? ?24a ? 0.

? a ? (1, 6) 。

二、主参换位法 某些含参不等式恒成立问题, 在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参 数与变量, 但函数的最值却难以求出时, 可考虑变换思维角度。 即把主元与参数换个位置, 再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。 例 6 ( 07 辽 宁 卷 文 科 22) 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? 9x2 cos ? ? 48x cos ? ? 18sin 2 ? ,

g ( x) ? f ?( x) ,且对任意的实数 t 均有 g (1 ? cos t ) ? 0 , g (3 ? sin t ) ? 0 .
(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对任意的 m ? [?26, 6] ,恒有 f ( x) ? x ? mx ? 11 ,求 x 的取值范围.
2

解析: (Ⅰ) g ( x) ? f ?( x) ? 3x ?18x cos ? ? 48cos ? , ?t ? R,0 ? 1 ? cos t ? 2,
2

2 ? 3 ? sin t ? 4 , 而 g (1? c o t s ? )

, g (3 ? sin t ) ? 0 恒 成 立 . 则 由 二 次 函 数 性 质 得 0

1 ? g ( 2 )? 0 ,解得 cos ? ? 1 , cos ? ? , sin ? ? 0 ? f ( x) ? x3 ? 9x2 ? 24x 。 ? 2 ? g ( 4 )? 0
(Ⅱ) f ( x) ? x2 ? mx ?11 ? mx ? 9x2 ? 24x ? 11 ? 0 .令 h(m) ? mx ? 9 x2 ? 24 x ? 11 , 则

f ( x) ? x2 ? mx ?11



h(m) ? 0

.





m ?[?26, 6]







? h( ? 2 6 ? )? x 2 2 ? x6 ?9x ? 2 4 ? 1 1 0 ? . 解 得 ? ? x ?1 . 所 以 x 的 取 值 范 围 为 ? 2 3 ? ) x ? 6 x ?9 x? 2 4 ? 1 1 0 ? ? h( 6

[?

1 ,1] 。 3

例 7 (08 安徽文科 20).已知函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 ,其中 a 为实数. 3 2

? ?) 都成立, (Ⅱ) 已知不等式 f ?( x)>x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, 求实数 x 的取值范围. (节
选) 分析:已知参数 a 的范围,要求自变量 x 的范围,转换主参元 x 和 a 的位置,构造以 a

? ?) , g (a) ? 0 恒成立再求解。 为自变量 x 作为参数的一次函数 g (a ) ,转换成 ? a ? (0,
解析:由题设知“ ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对 ? a ? (0, ? ?) 都成立,即
2 2 ? ?) 都成立。 设 g (a) ? ( x ? 2)a ? x ? 2x( a ? R ) , a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对 ? a ? (0,
2 则 g (a ) 是一个以 a 为自变量的一次函数。? x ? 2 ? 0 恒成立,则对 ? x ? R , g (a ) 为 R

? ?) ,g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0 , 上的单调递增函数。 所以对 ? a ? (0, ? x 2 ? 2 x ? 0 ,? ?2 ? x ? 0 ,于是 x 的取值范围是 {x | ?2 ? x ? 0} 。
三、分离参数法 利用分离参数法来确定不等式 f ? x, ? ? ? 0 , ( x ? D , ? 为实参数) 恒成立中参数 ? 的 取值范围的基本步骤: (1) 将参数与变量分离,即化为 g ? ? ? ? f ? x ? (或 g ? ? ? ? f ? x ? )恒成立的形式; (2) 求 f ? x ? 在 x ? D 上的最大(或最小)值; (3) 解不等式 g ? ? ? ? f ( x)max (或 g ? ? ? ? f ? x ?min ) ,得 ? 的取值范围。 适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 例 8 (07 年山东卷文 15)当 x ? (1, 2) 时,不等式 x
2

? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范

围是

.
2

解析: 当 x ? (1, 2) 时,由 x ? mx ? 4 ? 0 得 m ? ?

x2 ? 4 x2 ? 4 4 ? x ? ,则易 .令 f ( x) ? x x x x2 ? 4 )m n i ??5 ∴ x

知 f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数, 所以 x ? [1, 2] 时 f ( x)max ? f (1) ? 5 , 则 (?

m ? ?5 .
例 9(09 年山东卷文 21)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

w.w.w. k.s.5… 。

(1) 当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 分析:此题虽有三个变量 x 、 a 、 b ,而 x 的范围已知,最终要用 a 表示出 b 的取值范 围,所以可以将 a 看成一个已知数,对 x 和 b 进行离参。 解析: (2) f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增 ? f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立

? b??

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒 成 立 ? b ? (? ? )m 2 2x 2 2x

a

x ? (0,1] 。 设 , x

1 2 a ( x ? ) ax 1 a 1 a g ( x) ? ? ? x ? ) , g '( x) ? ? ? 2 ? ? , 令 g' ( 2 2x 2 2x 2 x2
x?? 1 (舍去), a

0 x? 得

1 或 a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a

当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

? g ( x)max ? g (
当 0 ? a ? 1 时,

1 ) ? ? a 。? b ? ? a 。 a

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区 2 2x a

间 (0,1] 上单调递增,? g ( x)max ? g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

a ?1 a ?1 ,? b ? ? 。 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 。 2

四、 数形结合 (对于 f ( x) ? g ( x) 型问题, 利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理) 若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图 象, 则可以通过画图直接判断得出结果。 尤其对于选择题、 填空题这种方法更显方便、 快捷。 例 10 (07 安徽理科 3)若对任意 x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (A) a ? ?1 (B) | a |? 1 (C) | a |? 1 (D) a ? 1

y
y ?| x |

y ?| x |

解析:对 ? x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立 则由一次函数性质及图像知 ?1 ? a ? 1 ,即 | a |? 1 。

y ? ax

y ? ax

x
O

上述例子剖析了近三年数学高考中恒成立问题的题型及解法, 值得一提的是, 各种类型 各种方法并不是完全孤立的, 虽然方法表现的不同, 但其实质却都与求函数的最值是等价的, 这也正体现了数学中的“统一美”。 2009 年 6 月



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