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第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征


第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

举世闻名的天坛和古老的金字塔是由哪些几何体组成的呢?

现代城市的建筑都是由各种各样的漂亮的几何体组成的.

我们的生活中离不开各种美妙的几何体

1.理解空间几何体、多面体和旋转体的概念.
2.理解棱柱、棱锥、棱台的相关概念.(难点)

3.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(重点)

探究点1

多面体和旋转体

观察下面的图片,这些图片中的物体具有怎

样的形状?日常生活中,我们把这些物体的形状
叫做什么?我们如何描述它们的形状?

其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),
(15),(16)具有相同的特点:组成几何体的每个 面都是平面图形,并且都是平面多边形.

多面体:一般地,我们把由若干个平面多边形围成
的几何体叫做多面体. 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.

棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

顶点




多面体

(1),(3),(4), (6),(8),(10), (11),(12)具有同样

的特点;组成它们的面不
全是平面图形. 旋转体:我们把由一个平 面图形绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的

封闭几何体叫做旋转体.
这条定直线叫做旋转体的轴.


旋转体

练一练: 下列命题中正确的是(C ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几 何体叫做棱柱

B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形
的几何体叫做棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形

的几何体叫做棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点 [解析] 正确理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

探究点2

棱柱的结构特征

棱柱:一般地,有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图:
底面 侧 面

侧 棱
顶点 底面

棱柱

棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底; 其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱 柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三 棱柱、四棱柱、五棱柱……我们用表示底面各顶点的字 母表示棱柱,如六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.

【提升总结】 特殊的棱柱:
种类较多, 可要记清.

侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱;
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱;
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体; 侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体; 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体; 棱长都相等的长方体叫做正方体.

思考:长方体被截去一部分,剩下的部分 是棱柱吗?
A D C B

E
G

F

H 是棱柱。因为:有两个面互相平行,其余各面 解答:
都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

探究点3 棱锥的结构特征 棱锥:一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有 一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫 做棱锥.如图:
顶点
侧 面 侧 棱

底面

这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的
各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点

叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧
棱.

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫
做三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥也用表示顶点 和底面各顶点的字母表示,如五棱锥S-ABCDE.

【提升总结】 特殊的棱锥: 如果棱锥的底面为正多边形,且各侧面是全等的等腰 三角形,那么这样的棱锥称为正棱锥.

正棱锥各侧面底边上的高均相等,叫做正棱锥的斜高; 侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体.

探究点4

棱台的结构特征

棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台. 如图:
侧 面 侧 棱 上底面

顶点 下底面

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上
底面,其余概念如图. 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫 做三棱台、四棱台、五棱台……棱台也用表示各个

顶点的字母表示,如五棱台ABCDEA′B′C′D′E′.

例1 下列几何体中是棱柱的有

(C )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【提升总结】

棱柱的结构特征:
①有两个面互相平行; ②其余各面是四边形; ③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.

例2 判断下列几何体是不是棱台.

【解析】都不是棱台

【提升总结】 判断一个几何体是否为棱台:

①各侧棱的延长线是否相交于一点;
②截面是否平行于原棱锥的底面.

【变式练习】
下面四个几何体中,是棱台的为 ( C )

[解析]A 项中的几何体是棱柱; B 项中的几何体是棱锥; D

项中的几何体的棱 AA′,BB′,CC′,DD′没有交于一 点,则 D 项中的几何体不是棱台;很明显 C 项中的几何体 是棱台.

1.棱台不一定具有的性质是 A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点

( C )

2.下列命题中正确的是(A )
A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于 圆锥底面圆的半径 3.下面几何体中,过轴的截面一定是圆面的是(C )

A.圆柱

B.圆锥

C.球

D.圆台

4.(2014·亳州高一检测)一个透明密闭的正方体容器中, 恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水 面在容器中的形状可以是:(1)三角形;(2)长方形;(3)正方 形;(4)正六边形.其中正确的结论是_______.(把你认为正 确的序号都填上)

【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,

其水面总是过正方体的中心.三角形截面不过正方体的中心, 故(1)不正确; 过正方体的一对棱和中心可作一截面,截面形状为长方形,故 (2)正确; 过正方体四条互相平行的棱的中点得截面形状为正方形,该截 面过正方体的中心,故(3)正确; 过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状 为正六边形,故(4)正确.

【答案】(2)(3)(4)

5.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为

12 cm 60 cm,则每条侧棱长为_________.
【解析】有10个顶点的棱柱为五棱柱,而五棱柱有

5条侧棱,故每条侧棱长为12 cm.

空间几何体 多面体 旋转体

棱柱
侧棱 侧面 底面 顶点

棱锥
侧棱 侧面 底面 顶点

棱台

......
侧棱 侧面 底面 顶点

勤学如春起之苗,不见其增,日有所长。
辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏。
陶渊明



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