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湖南省湘西州湘潭凤凰中学2014-2015学年高二数学上学期第三次月考试卷 文(含解析)

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湖南省湘西州湘潭凤凰中学 2014-2015 学年高二上学期第三次月考数 学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)椭圆 的离心率为()

A.

B.

C.

D.

2. (5 分)抛物线 x =4y 的焦点坐标为() A. (1,0) B. (﹣1,0)

2

C. (0,1)

D. (0,﹣1)

3. (5 分)双曲线 A. y=±2x

=1 的渐近线方程是() B. y=±4x C. y=± x D. y=± x

4. (5 分)△ABC 中,若 a=1,c=2,B=60°,则△ABC 的面积为() A. B. C. 1 D.

5. (5 分)若函数 y=﹣4x +lnx,则 y′等于() A. B. C. 16x +e
3 x

4

D.

6. (5 分)关于 x 的不等式 x ﹣4x﹣5>0 的解集是 () A. {x|x<﹣1 或 x>5} B. {x|x<1 或 x>5} {x|1<x<5}

2

C. {x|﹣1<x<5} D.

7. (5 分)已知 an 是由正数组成的等比数列,Sn 表示 an 的前 n 项的和.若 a1=3,a2a4=144,则 S10 的值是() A. 511 B. 1023 C. 1533 D. 3069

8. (5 分)设 x、y 满足线性约束条件 A. [2,6] B. [2,5]

,则 x+2y 的取值范围是() C. [3,6] D. [3,5]

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 3 9. (5 分)曲线 y=x ﹣2x+4 在点(1,3)处的切线的斜率为.

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10. (5 分)双曲线

的焦点坐标为.

11. (5 分)命题“? x∈R,e =x﹣1”的否定是. 12. (5 分)数列{an}中,a1=1,an= +1,则 a4=.

x

13. (5 分)设 x、y∈R 且

+

=1,则 x+y 的最小值为.

三、计算题 14. (11 分)已知焦点 F1(5,0) ,F2(﹣5,0) ,双曲线上的一点 P 到 F1,F2 的距离差的绝对 值等于 6,双曲线的标准方程为.

15. (12 分)求函数

的极值.

16. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

17. (5 分)曲线 A. 长轴长相等

=1 与曲线 B. 短轴长相等

=1(k<9)的() C. 离心率相等 D. 焦距相等

18. (5 分)在锐角三角形中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 的取值范围 是() A. (﹣2,2)

B. (0,2)

C. (

,2)

D. (





19. (13 分)东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件,每件水晶产品的销售价格为 100 元, 固定成本为 80 元.从今年起,工厂投入 100 万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本.预计产量每年递增 1 万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本 的投入次数 n 的关系是 g(n)= 为 f(n)万元. (1)求出 f(n)的表达式; .若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入后的年利润

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

20. (13 分)若抛物线 x =2py(p>0)的焦点与椭圆

2

的上焦点重合.

(1)求抛物线方程; (2)若 AB 是过抛物线焦点的动弦,直线 l1,l2 是抛物线两条分别切于 A,B 的切线,证明: 直线 l1,l2 的交点在抛物线的准线上. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2,m) (m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.
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湖南省湘西州湘潭凤凰中学 2014-2015 学年高二上学期第三次月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)椭圆 的离心率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 2 2 分析: 由椭圆方程求出 a ,b 的值,代入 a =b +c 求出 c,代入离心率公式求出离心率 e 的 值. 解答: 解:由题意知, ∴a =16,b =12,则 c =a ﹣b =4, 即 a=4,c=2, ∴椭圆的离心率 e= = , 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的标准方程以及简单的几何性质,以及椭圆基本量的求法,属于基础 题. 2. (5 分)抛物线 x =4y 的焦点坐标为() A. (1,0) B. (﹣1,0)
2 2 2 2 2 2



C. (0,1)

D. (0,﹣1)

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考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 2 分析: 先根据标准方程求出 p 值,判断抛物线 x =4y 的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而 写出焦点坐标. 解答: 解:∵抛物线 x =4y 中,p=2, =1,焦点在 y 轴上,开口向上,∴焦点坐标为 (0, 1 ) , 故选 C. 2 点评: 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,抛物线 x =2p y 的焦点坐标为(0, ) ,属基础题.
2

3. (5 分)双曲线 A. y=±2x

=1 的渐近线方程是() B. y=±4x C. y=± x D. y=± x

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的简单性质直接求解. 解答: 解:双曲线 整理,得 y= . =1 的渐近线方为 ,

故选:C. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线 的简单性质的合理运用. 4. (5 分)△ABC 中,若 a=1,c=2,B=60°,则△ABC 的面积为() A. B. C. 1 D.

考点: 三角形的面积公式. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形面积公式 S△ABC= 解答: 解:S△ABC= 故选 B. 点评: 本题考查了三角形面积公式 S△ABC= ,属于基础题. = 即可得出. = .

5. (5 分)若函数 y=﹣4x +lnx,则 y′等于()

4

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. 16x +e
3 x

D.

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据函数的导数公式进行求解即可. 解答: 解:函数的导数 y′= ,

故选:B 点评: 本题主要考查函数的导数的计算,要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式,比较基 础. 6. (5 分)关于 x 的不等式 x ﹣4x﹣5>0 的解集是 () A. {x|x<﹣1 或 x>5} B. {x|x<1 或 x>5} {x|1<x<5}
2

C. {x|﹣1<x<5} D.

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 把不等式 x ﹣4x﹣5>0 化为(x﹣5) (x+1)>0,求出解集即可. 2 解答: 解:∵不等式 x ﹣4x﹣5>0 可化为 (x﹣5) (x+1)>0, 解得 x<﹣1 或 x>5, ∴不等式的解集为{x|x<﹣1 或 x>5}. 故选:A. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目. 7. (5 分)已知 an 是由正数组成的等比数列,Sn 表示 an 的前 n 项的和.若 a1=3,a2a4=144,则 S10 的值是() A. 511 B. 1023 C. 1533 D. 3069 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 2 分析: 由等比数列的性质可得,a2?a4=a3 =144 且 a3>0 可求 a3=12 由已知 a1=3 可得 q=2 代入 等比数列的前 n 项和公式可求 2 解答: 解:由等比数列的性质可得,a2?a4=a3 =144 因为数列是由正数组成的等比数列,则 a3>0 所以 a3=12 又因为 a1=3,所以 q=2 代入等比数列的前 n 项和公式可得, 故选 D 点评: 本题主要考查了等比数列的性质及前 n 项和公式的运用,属于基础试题.

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8. (5 分)设 x、y 满足线性约束条件 A. [2,6] B. [2,5]

,则 x+2y 的取值范围是() C. [3,6] D. [3,5]

考点: 简单线性规划的应用. 分析: 本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件 满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值. 解答: 解:约束条件 对应的可行域如下图: 画出

由图可知:当 x=2,y=2 时,目标函数 Z 有最大值 Zmax=6, 当 x=2,y=0 时,目标函数 Z 有最小值 Zmax=2, 则 x+2y 的取值范围是:[2,6], 故选 A.

点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束 条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到 目标函数的最优解. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 3 9. (5 分)曲线 y=x ﹣2x+4 在点(1,3)处的切线的斜率为 1. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求曲线在点处得切线的斜率,就是求曲线在该点处得导数值,先求导函数,然后将 点的横坐标代入即可求得结果. 3 解答: 解:∵y=x ﹣2x+4, 2 ∴y′=3x ﹣2, 令 x=1,即可得斜率为:k=y′|x=1=1. 故答案为:1.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了导数的几何意义,它把函数的导数与曲线的切线联系在一起,使导数成 为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体,属于基础题.

10. (5 分)双曲线

的焦点坐标为(﹣5,0)和(5,0) .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 2 2 分析: 双曲线的焦点在 x 轴上,利用 a =16,b =9,即可求得双曲线的焦点坐标. 解答: 解:由题意,双曲线的焦点在 x 轴上, 2 2 ∵a =16,b =9 2 2 2 ∴c =a +b =16+9=25 ∴c=5 ∴双曲线 的焦点坐标为(﹣5,0)和(5,0)

故答案为: (﹣5,0)和(5,0) 点评: 本题考查的重点是双曲线的几何性质,根据双曲线的标准方程,确定其类型是解题 的关键. 11. (5 分)命题“? x∈R,e =x﹣1”的否定是? x∈R,e ≠x﹣1. 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 规律型. x 分析: 由题意,命题“? x∈R,e =x﹣1”,其否定是一个全称命题,按书写规则写出答案 即可 x 解答: 解:命题“? x∈R,e =x﹣1”是一个特称命题,其否定是一个全称命题 x x 所以命题“? x∈R,e =x﹣1”的否定为“? x∈R,e ≠x﹣1” x 故答案为:? x∈R,e ≠x﹣1. 点评: 本题考查特称命题的否定,解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则,依 据规律得到答案,要注意理解含有量词的命题的书写规则,特称命题的否定是全称命题,全称 命题的否定是特称命题. 12. (5 分)数列{an}中,a1=1,an= +1,则 a4= .
x x

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 直接由数列递推式结合已知求 a4 的值. 解答: 解:∵a1=1,an= ∴ , +1,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com , . 故答案为: . 点评: 本题考查了数列递推式,考查了学生的计算能力,是基础题.
+

13. (5 分)设 x、y∈R 且

=1,则 x+y 的最小值为 16.

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 将 x、y∈R 且 解答: 解:∵ ∴x+y=(x+y)?(
+

=1,代入 x+y=(x+y)?(
+

) ,展开后应用基本不等式即可.

=1,x、y∈R , )= =10+ ≥10+2 =16(当且仅当 ,

x=4,y=12 时取“=”) . 故答案为:16. 点评: 本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属 于中档题. 三、计算题 14. (11 分)已知焦点 F1(5,0) ,F2(﹣5,0) ,双曲线上的一点 P 到 F1,F2 的距离差的绝对 值等于 6,双曲线的标准方程为 .

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 先根据焦点坐标求得 c,进而根据 求得 b,则双曲线的方程可得. 解答: 解:依题意可知双曲线的 c=5, 根据双曲线定义及 ∴b= =4 可知 2a=6,a=3, 求得 a,最后根据 a 和 c

∴双曲线的方程为

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故答案为:



点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程.解题的关键是熟练掌握和应用标准方程中 a,b 和 c 的关系.

15. (12 分)求函数

的极值.

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. 分析: 首先对函数求导,使得导函数等于 0,解出 x 的值,分两种情况讨论:当 f′(x) >0,即 x>2,或 x<﹣2 时;当 f′(x)<0,即﹣2<x<2 时,列表做出函数的极值点,求 出极值. 解答: 解:∵
2

, ?3 分 ?6 分

∴f′(x)=x ﹣4=(x﹣2) (x+2) . 令 f′(x)=0,解得 x=2,或 x=﹣2. 下面分两种情况讨论: 当 f′(x)>0,即 x>2,或 x<﹣2 时; 当 f′(x)<0,即﹣2<x<2 时. 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣2) ﹣2 (﹣2,2) f′(x) + 0 _ f(x) ?9 分 单调递增 单调递减

2 0

(2,+∞) + 单调递增

因此,当 x=﹣2 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(﹣2)= 当 x=2 时,f(x)有极小值,且极小值为 f(2)= .?12 分



点评: 本题考查函数极值的求法,本题解题的关键是对函数求导,求出导函数等于 0 时对 应的变量的取值,再进行讨论,本题是一个中档题目,这个知识点一般出现在综合题目中. 16. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据等差数列的两项之和的值,根据等差数列等差中项的性质得到 a6,根据连 续两项得到数列的公差,根据通项写出要求的第四项和数列的前 n 项和.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)本题需要根据上一问的结果构造新数列,把第一问做出的通项代入,整理出结果,发现 这是一个裂项求和的问题,得到前 n 项和. 解答: 解(1)∵a3=7,a5+a7=26. ∴ ∴ ∴an=2n+1 sn= (2)由第一问可以看出 an=2n+1 ∴ , ,

= ∴Tn= .

点评: 本题考查等差数列的性质,考查数列的构造,解题的关键是看清新构造的数列是一 个用什么方法来求和的数列,注意选择应用合适的方法.

17. (5 分)曲线 A. 长轴长相等

=1 与曲线 B. 短轴长相等

=1(k<9)的() C. 离心率相等 D. 焦距相等

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距,即可判断. 解答: 解:曲线 距为 16. 曲线 离心率为 =1(k<9)表示焦点在 x 轴上,长轴长为 2 ,焦距为 16. ,短轴长为 2 , =1 表示焦点在 x 轴上,长轴长为 10,短轴长为 6,离心率为 ,焦

对照选项,则 D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,考查运算能力,属于基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (5 分)在锐角三角形中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 的取值范围 是() A. (﹣2,2)

B. (0,2)

C. (

,2)

D. (





考点: 正弦定理;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: 利用倍角公式和正弦定理可得 = 单调性即可得出. 解答: 解:∵B=2A, ∴sinB=sin2A=2sinAcosA, ∴ =2cosA, =2cosA, =2cosA.再利用 B=2A 及锐角三角形、cosA 的

∴由正弦定理得: = ∵锐角△ABC, ∴ ∴ ∴ ∴ <B+A=3A<π , <A< , . , ,

<cosA< <2cosA<

∴ 的取值范围是(

) .

故选:D. 点评: 此题考查了正弦定理,以及余弦函数的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 19. (13 分)东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件,每件水晶产品的销售价格为 100 元, 固定成本为 80 元.从今年起,工厂投入 100 万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本.预计产量每年递增 1 万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本 的投入次数 n 的关系是 g(n)= .若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入后的年利润

为 f(n)万元. (1)求出 f(n)的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 综合题. 分析: (1)先根据题意可得:第 n 次投入后,产量为 10+n 万件,价格为 100 元,固定成 本为 元,科技成本投入为 100n,进而可求年利润为 f(n)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)将函数整理成 最高利润. 解答: 解: (1)第 n 次投入后,产量为 10+n 万件,价格为 100 元,固定成本为 科技成本投入为 100n,?(2 分) 所以,年利润为 (2) .由(1) = 当且仅当 时 (万元) ?(9 分) ?(6 分) 元, ,进而可以利用基本不等式,求出

即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元.?(11 分) 答:从今年算起第 8 年利润最高,最高利润为 520 万元. ?(12 分) 点评: 本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查利用基本不等式求最值,关键 是函数模型的构建.

20. (13 分)若抛物线 x =2py(p>0)的焦点与椭圆

2

的上焦点重合.

(1)求抛物线方程; (2)若 AB 是过抛物线焦点的动弦,直线 l1,l2 是抛物线两条分别切于 A,B 的切线,证明: 直线 l1,l2 的交点在抛物线的准线上. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出椭圆中的 c,可得抛物线中的 p,即可求抛物线方程; (2)由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,由斜截式写出过焦点的直线方程,和抛物线方程 联立求出 A,B 两点横坐标的积,再利用导数写出过 A,B 两点的切线方程,然后整体运算可求 得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1,从而得到两切线交点的轨迹方程. 解答: 解: (1)椭圆 中 a=2,b= ,c=1,

∵抛物线 x =2py(p>0)的焦点与椭圆 ∴ =1, ∴2p=4, 2 ∴抛物线方程为 x =4y; 2 (2)由抛物线 x =4y 得其焦点坐标为 F(0,1) .

2

的上焦点重合,

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设 A(x1,

) ,B(x2,

) ,
2 2

直线 l:y=kx+1,代入抛物线 x =4y 得:x ﹣4kx﹣4=0. ∴x1x2=﹣4?①. 又抛物线方程为:y= 求导得 y′= x, ,

∴抛物线过点 A 的切线的斜率为

,切线方程为 y﹣

=

(x﹣x1)?②

抛物线过点 B 的切线的斜率为

,切线方程为 y﹣

=

(x﹣x2)?③

由①②③得:y=﹣1. ∴l1 与 l2 的交点 P 的轨迹方程是 y=﹣1,即直线 l1,l2 的交点在抛物线的准线上. 点评: 本题考查了轨迹方程,训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了整体 运算思想方法,是中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2,m) (m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究曲线上某 点切线方程. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论;转化思想. 分析: (1)由题意,利用导函数的几何含义及切点的实质建立 a,b 的方程,然后求解即 可; (2)由题意,对于定义域内任意自变量都使得|f(x1)﹣f(x2)|≤c,可以转化为求函数在 定义域下的最值即可得解; (3)由题意,若过点 M(2,m) (m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,等价与函数在切点处 导函数值等于切线的斜率这一方程有 3 解. 2 解答: 解: (1)f'(x)=3ax +2bx﹣3. (2 分) 根据题意,得
3 3 2



解得

所以 f(x)=x ﹣3x. 2 (2)令 f'(x)=0,即 3x ﹣3=0.得 x=±1. 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)>0,函数 f(x)在此区间单调递增; 当 x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)在此区间单调递减 因为 f(﹣1)=2,f(1)=﹣2,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以当 x∈[﹣2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=﹣2. 则对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max﹣f (x)min|=4,所以 c≥4. 所以 c 的最小值为 4. (3)因为点 M(2,m) (m≠2)不在曲线 y=f(x)上,所以可设切点为(x0,y0) . 3 则 y0=x0 ﹣3x0. 2 2 因为 f'(x0)=3x0 ﹣3,所以切线的斜率为 3x0 ﹣3. 则 3x0 ﹣3=
3 2 2



即 2x0 ﹣6x0 +6+m=0. 因为过点 M(2,m) (m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线, 3 2 所以方程 2x0 ﹣6x0 +6+m=0 有三个不同的实数解. 3 2 所以函数 g(x)=2x ﹣6x +6+m 有三个不同的零点. 2 则 g'(x)=6x ﹣12x.令 g'(x)=0,则 x=0 或 x=2. 当 x∈(﹣∞,0)时,g′(x)>0,函数 g(x)在此区间单调递增;当 x∈(0,2)时,g′ (x)<0,函数 g(x)在此区间单调递减; 所以,函数 g(x)在 x=0 处取极大值,在 x=2 处取极小值,有方程与函数的关系知要满足题 意必须满足: ,即 ,解得﹣6<m<2.

点评: (1)此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义,还考查了数学中重要的方 程的思想; (2)此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意最总转化为求函数在定义域下的最值; (3)此题重点考查了数学中导数的几何含义,还考查了函数解的个数与相应方程的解的个数 的关系.

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