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福建省三明市第一中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 理(平行班)

三明一中 2015—2016 学年上学期月考试卷 2015.12.14 高三理科数学
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 请将答案填在答题卡的相应位置.) 1.已知集合 M ? (??,0) ? [3,??), N ? {0,1,2,3} ,则 (C R M ) ? N = A. {0,1} B. {0,1,2} C. {1,2,3} D. {x | 0 ? x ? 3} 2. 命题 p : x ? 2 ? 2 ,命题 q : A.充分不必要条件 C.充要条件 ( )

1 ? 1 ,则 ? q 是 ? p 成立的 3? x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

).

3. △ ABC 中, b ? 7, c ? 3, B ? 60? ,则 a ? A .5 B.6 C. 4 3 D.8

(

)

4. 已知三个数 2,m, 8 构成一个等比数列 , 则圆锥曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( m 2
D.



A.

2 2

B. 3

C.

6 2 或 2 2

2 或 3 2
( D.9 )

5.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 a4 ? 0, a5 ? a4 , 则使 S n ? 0 成立的最小正整数 n 为 A.6 B.7 C.8

6. 将函数 f ( x) ? sin( x ?

?
6

) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变) ,再

将它的图像向左平移 ? 个单位 (? ? 0) ,得到了一个偶函数的图像,则 ? 的最小值为 ( ) A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3
n

D.

5? 6
( )

7. 在数列{an}中,若 a1=-2,an+1=an+n·2 ,则 an= 1 n A.(n-2)·2 B.1- n 2 1? 1? 2? 2? C. ?1- n? D. ?1- n? 4? 3? 3? 2 ?

8. 已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 则直线与抛物线相交弦弦长为 ( A.9 B.8 C.7 D.6



9. 已知直线 l : y ? x ? b 与曲线 C : y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围为(



1

A. ? ?3, 3?

B. ?3, 1 ? 2 2 ?

?

?

C. ?1 ? 2 2, 3?

?

?

D. ?1 ? 2 2, 1 ? 2 2 ?

?

?

10. 设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大距离是 10
D. 6 2 球面上,

( A. 5 2

) B. 46 ? 2 C. 7 ? 2

11. 如图, 直三棱柱 ABC?A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半

AB=AC,侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧 面 ABB1A1 的面积为
( ) A. 2 B. 2 2 C.2 D.1

12. 已知 函数 f ( x ) 是 定 义 在实数 集 R 上 的 不恒 为零 的偶函 数 ,且 对任 意实 数

x 都有
)

5 f( ) 的值是 xf ( x? 1) ? (1? x ) f (x ,则 ) 2 1 A.0 B. C.1 2

( D.

5 2

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、 填空题: (本大题共 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分, 请将答案填在答题卡的相应位置. ) 13.若函数 f (2 x) 的定义域是 ?? 1,1?, 则函数 f (2 x ? 1) ? f (2 x ? 1) 的定义域是 .

14. 已知直线 l 过圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 5 ? 0 的圆心,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 l 的方程 是_________ ___;

15. 在数列 ?an ? 中,a1 ?

1 1 ,an ?1 ? an ? 则该数列的通项公式 an = 2 4n 2 ? 1

.

16. 已知 F 为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 的左焦点, P ,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴 9 16

长的 2 倍,点 A(5,0) 在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,请将答案写在答题卡的相应位置. ) 17. (本小题满分 12 分)
2 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .

2

2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A
2

?

?

18. (本小题满分 12 分) → 在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD| =1,求(Ⅰ)动点 D 的轨迹 → → → (Ⅱ)求 |OA+OB+OD| 的最大值

19. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, AB // CD , AB ? AD ,

P

?PAB 和

E
A
O

?PAD 是两个边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 的中
点, E 为 PA 的中点, F 为 DC 的中点. (Ⅰ) 求证: OE // 平面 PDC ; (Ⅱ)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值.
D

B

F

C

20. (本小题满分 12 分) 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 过 椭 圆 M :
2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )右 焦 点 的 直 线 2 2 a b

1 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2
(Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) 若 C ,D 为 M 上的两点, 若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB , 求四边形 ACBD 面 积的最大值.

3

21. (本小题满分 12 分) 已知实数 a 为常数,函数 f ( x) ? x ln x ? ax2 . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线过点A (0,?2) ,求 a 值; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . ①求证: ?

1 1 ? a ? 0 ;②求证: f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? ? . 2 2

22. (本小题满分 10 分) 已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25 ,且 a1,a11,a13 成等比数列. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求 a1+a4+a7+…+a3n-2.

4

三明一中 2015—2016 学年上学期月考试卷 2015.12.14 高三理科数学答案 1~12 BBDDCC ABCDAA

13.

14.

15.

()

16. 44

17. 解: (1)由余弦定理得



……………………………6 分

(2)原式

..12 分 CD CD 18. 解析: (1)设 D(x,y),由 → =(x-3,y)及| → |=1 2 2 知(x-3) +y =1, …………..4 分 即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆. ………… .6 分 OA OB OD (2) → + → + → =(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+), OA OB OD ∴| → + → + → |=. …………..8 分 2 2 问题转化为圆(x-3) +y =1 上的点与点 P(1,-)间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,-)之间的距离为 =, …………10 分 故的最大值为+1. ………….12 分 19..解: (Ⅰ)证明: , ∵ 为正方形 ∵ ∵ 为 的中点, ∴ , 为 ∴ , 的交点, , 是平行四边形 , , ∴四边形

5

∴ 在三角形 ∵ 又 中, ,∴ ,所以过

, ,∴ 平面 分别作 ;

, ,

的平行线,以它们作

轴,以

为 轴建立如

图所示的空间直角坐标系,由已知得:





















.

∴ ∵ 平面

,∴ , 平面 ,∴ 平面 ,直线 ;………6 分 与平面 所成角 ,

(Ⅱ) 设平面

的法向量为



,即



解得

,令

,则平面

的一个法向量为





,则



∴直线

与平面

所成角的正弦值为

.

………12 分

20. 解: (Ⅰ)设











6

①-②得



因为

,设

,因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为



所以 所以可以解得 又因为

,即 ,即 ,所以 ,

, ,即 ,

……………3 分

所以 M 的方程为 直线 AB 方程为 所以设直线 CD 方程为

. , ,

………………………………6 分 (Ⅱ) 因为 CD⊥AB,



代入

,得

,即





所以可得



……………………………………8 分

将 设

代入

,得



则 又因为 所以当

= ,即 时,|CD|取得最大值 4,

,……………………10 分 ,

所以四边形 ACBD 面积的最大值为

.……………………12 分

21. 【解析】(1)由已知:

,切点

,

7

切线方程: (2)①证明:依题意:

,把 有两个不等实根

代入得:

. ------------4 分

设 (i)当 时:

则: ,所以 是增函数,不符合题意;

(ii)当 列表如下:

时:由

得:

0 ↗ 极大值 ↘

=

,解得:

--------------8 分

注:以下证明为补充证明此问的充要性,可使其证明更严谨,以此作为参考,学生证明步 骤写出上述即可. 方法一: 当 且 时 , , 当 且 时



上必有一个零点.



时,设



,

+ ↗ 时, 时, 设 , 由 即

0 极大值

- ↘



时,

8



上有一个零点

综上,函数 方法二: 零点,

有两个极值点时 有两个极值点,即

,得证. 有两个

即 当 时,

有两不同实根. ;当 时,



,

,

+ ↗

0 极大值

- ↘





有极大值也是最大值为



,故



有一个零点



时, 时



综上函数 ② 证明:由①知:

有两个极值点时 变化如下:

,得证.--------------8 分

0 ↘ 由表可知: 在 极小值

+ ↗

0 极大值 ↘

上为增函数,

9



,故

所以:





.--------------12 分

2 22. 解:(1)设{an}的公差为 d,由题意得 a11=a1a13, 2 即(a1+10d) =a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2.故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31, 故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. n n 2 从而 Sn=2(a1+a3n-2)=2(-6n+56)=-3n +28n.

………..5 分

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

10


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