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临清市第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

临清市第一高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 某人以 15 万元买了一辆汽车,此汽车将以每年 20%的速度折旧,如图是描述汽车价值变化的算法流程图, 则当 n=4 吋,最后输出的 S 的值为( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.9.6

B.7.68 C.6.144 D.4.9152 )

2. 袋中装有红、 黄、 蓝三种颜色的球各 2 个, 无放回的从中任取 3 个球, 则恰有两个球同色的概率为 ( A. B. C. ) C. ?1? A + +…+ =( D. 0 ? A ) D.

3. 已知集合 A ? ? x ? N | x ? 5? ,则下列关系式错误的是( A. 5 ? A B. 1.5 ? A

4. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=n2+2n(n∈N*),则 A. B. C. D.

5. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第 22 题为: “今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织 5 尺布,现在一月 (按 30 天计),共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( )尺布.

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A.

B.

C.

D. ) C.(﹣3,0] D.(﹣3,+∞)

6. 若函数 f(x)=﹣2x3+ax2+1 存在唯一的零点,则实数 a 的取值范围为( A.[0,+∞)B.[0,3]

7. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20﹣80mg/100ml(不含 80) 之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上,属于醉酒驾车.据《法制晚报》报道,2011 年 3 月 15 日至 3 月 28 日, 全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人, 如下图是对这 28800 人酒后驾车血液中 酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为( )

A.2160 B.2880 C.4320 D.8640 8. 已知 f(x)= A.充分不必要条件 ,则“f[f(a)]=1“是“a=1”的( B.必要不充分条件 )

C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 9. 如图, 在平面直角坐标系中,锐角 α、 β 及角 α+β 的终边分别与单位圆 O 交于 A, B, C 三点.分别作 AA'、 BB'、CC'垂直于 x 轴,若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形,则此三角形的外接圆面积为( )

A.

B.

C.

D.π

10.若偶函数 y=f(x),x∈R,满足 f(x+2)=﹣f(x),且 x∈[0,2]时,f(x)=1﹣ x,则方程 f(x)=log8|x| 在[﹣10,10]内的根的个数为( )

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A.12

B.10

C.9

D.8 , ),则它的直角坐标为( C.( , , ) ) D.( , , )

11.已知点 M 的球坐标为(1, A.(1, , ) B.( ,

, )

x2 y 2 12.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , F1 , F2 分别在其左、右焦点,点 P 为双曲线的右支上 a b PM 所在直线与轴的交点坐标为 (1, 0) ,与双曲线的一条渐 的一点,圆 M 为三角形 PF 1F 2 的内切圆,
近线平行且距离为 A. 5

2 ,则双曲线 C 的离心率是( 2
B.2

) C. 2 D.

2 2

二、填空题
13.在(x2﹣ )9 的二项展开式中,常数项的值为 14.设 ,则 的最小值为 。 .

15.如图,已知 m , n 是异面直线,点 A , B ? m ,且 AB ? 6 ;点 C , D ? n ,且 CD ? 4 .若 M , N 分 别是 AC , BD 的中点, MN ? 2 2 ,则 m 与 n 所成角的余弦值是______________.

【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角,考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能 力. 16.若 (mx ? y) 展开式中 x y 的系数为 ?160 ,则 m ? __________.
6 3 3

【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查逆向思维能力、方程思想. 17.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球 运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 18.已知函数 f ( x) ? .

2 tan x ? ,则 f ( ) 的值是_______, f ( x ) 的最小正周期是______. 2 1 ? tan x 3

【命题意图】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质等基础知识,意在考查运算求解能力.

三、解答题
?3x ? a 19.【淮安市淮海中学 2018 届高三上第一次调研】已知函数 f ? x ? ? x ?1 . 3 ?b
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(1)当 a ? b ? 1 时,求满足 f ? x ? ? 3 的 x 的取值;
x

(2)若函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数

2 2 ①存在 t ? R ,不等式 f t ? 2t ? f 2t ? k 有解,求 k 的取值范围;

?

?

?

?

②若函数 g ? x ? 满足 f ? x ? ? ? ? g ? x ? ? 2? ?? 求实数 m 的最大值.

1 ?x 3 ? 3x , 若对任意 x ? R , 不等式 g ? 2x ? ? m ? g ? x ? ?11恒成立, 3

?

?

20.解关于 x 的不等式 12x2﹣ax>a2(a∈R).

21.已知函数 f(x)= (1)求 f(f(﹣2));



(2)画出函数 f(x)的图象,根据图象写出函数的单调增区间并求出函数 f(x)在区间(﹣4,0)上的值域.

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22.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率 之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

23.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=|x-a|+|x+b|,(a≥0,b≥0). (1)求 f(x)的最小值,并求取最小值时 x 的范围; (2)若 f(x)的最小值为 2,求证:f(x)≥ a+ b.

24.(本小题满分 12 分)1111] 1 已知函数 f ? x ? ? ? a ln x ? a ? 0 , a ? R? . x (1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值和单调区间;

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(2)若在区间 (0 ,e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,求实数的取值范围.

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临清市第一高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C
x 【解析】解:由题意可知,设汽车 x 年后的价值为 S,则 S=15(1﹣20%) , 4 结合程序框图易得当 n=4 时,S=15(1﹣20%) =6.144.

故选:C. 2. 【答案】B
3 【解析】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,共有 C6 =20 种, 1 1 其中恰有两个球同色 C3 C4 =12 种,

故恰有两个球同色的概率为 P= 故选:B.

= ,

【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题,关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数,属于基 础题. 3. 【答案】A 【解析】 试题分析:因为 A ? ? x ? N | x ? 5? ,而 1.5 ? N , ?1? N,?.5 ? A, ?1 ? A ,即 B、C 正确,又因为 0 ? N 且

0 ? 5 ,所以 0 ? A ,即 D 正确,故选 A. 1
考点:集合与元素的关系. 4. 【答案】D
2 * 2 2 【解析】解:∵Sn=n +2n(n∈N ),∴当 n=1 时,a1=S1=3;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n +2n)﹣[(n﹣1) +2

(n﹣1)]=2n+1. ∴ ∴ = = ﹣ . + = +…+ = = + , +…+

故选:D. 【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5. 【答案】D

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【解析】解:设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m 则由题意知 解得 d= . ,

故选:D. 【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的通项公式的求解. 6. 【答案】 D
3 2 【解析】解:令 f(x)=﹣2x +ax +1=0,

易知当 x=0 时上式不成立; 故 a= =2x﹣ , =2 ,

令 g(x)=2x﹣

,则 g′(x)=2+

故 g(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数, 在(﹣1,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数; 故作 g(x)=2x﹣ 的图象如下,



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g(﹣1)=﹣2﹣1=﹣3, 故结合图象可知,a>﹣3 时, 方程 a=2x﹣ 有且只有一个解,

3 2 即函数 f(x)=﹣2x +ax +1 存在唯一的零点,

故选:D. 7. 【答案】C 【解析】解:由题意及频率分布直方图的定义可知:属于醉酒驾车的频率为:(0.01+0.005)×10=0.15, 又总人数为 28800,故属于醉酒驾车的人数约为:28800×0.15=4320. 故选 C 8. 【答案】B 【解析】解:当 a=1,则 f(a)=f(1)=0,则 f(0)=0+1=1,则必要性成立, 若 x≤0,若 f(x)=1,则 2x+1=1,则 x=0, 若 x>0,若 f(x)=1,则 x ﹣1=1,则 x= 即若 f[f(a)]=1,则 f(a)=0 或 即 a =1 或 a =
2 2 2

, , ,

, ,

2 2 若 a>0,则由 f(a)=0 或 1 得 a ﹣1=0 或 a ﹣1=

+1,解得 a=1 或 a=

若 a≤0,则由 f(a)=0 或 1 得 2a+1=0 或 2a+1= 即 a=﹣ ,此时充分性不成立, 即“f[f(a)]=1“是“a=1”的必要不充分条件, 故选:B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据分段函数的表达式解方程即可. 9. 【答案】 A 【解析】(本题满分为 12 分) 解:由题意可得:|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin(α+β), 设边长为 sin(α+β)的所对的三角形内角为 θ, 则由余弦定理可得,cosθ= = = ﹣cosαcosβ ﹣cosαcosβ

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=sinαsinβ﹣cosαcosβ =﹣cos(α+β), ∵α,β∈(0, ∴α+β∈(0,π) ∴sinθ= =sin(α+β) =1, )

设外接圆的半径为 R,则由正弦定理可得 2R= ∴R= ,
2 ∴外接圆的面积 S=πR =



故选:A.

【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面 积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题. 10.【答案】D 【解析】解:∵函数 y=f(x)为 偶函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x), ∴偶函数 y=f(x) 为周期为 4 的函数, 由 x∈[0,2]时, f(x)=1﹣ x,可作出函数 f(x)在[﹣10,10]的图象, 同时作出函数 f(x)=log8|x|在[﹣10,10]的图象,交点个数即为所求. 数形结合可得交点个为 8, 故选:D.

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11.【答案】B 【解析】解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z), ∵点 M 的球坐标为(1, ∴x=sin cos = ,y=sin , sin ), = ,z=cos =

∴M 的直角坐标为( , 故选:B.

, ).

【点评】假设 P(x,y,z)为空间内一点,则点 P 也可用这样三个有次序的数 r,φ,θ 来确定,其中 r 为原 点 O 与点 P 间的距离,θ 为有向线段 OP 与 z 轴正向的夹角,φ 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角,这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影.这样的三个数 r,φ,θ 叫做点 P 的球面坐标,显然,这里 r, φ,θ 的变化范围为 r∈[0,+∞),φ∈[0,2π],θ∈[0,π], 12.【答案】C 【解析】 试题分析:由题意知 ?1,0 ? 到直线 bx ? ay ? 0 的距离为 线,离心率为 2 .故本题答案选 C. 1 考点:双曲线的标准方程与几何性质. 【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几 何条件构造 a, b, c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中 a, b, c 与椭圆中 a, b, c 的关系不同.求双曲 线离心率的值或离心率取值范围的两种方法:(1)直接求出 a , c 的值,可得;(2)建立 a, b, c 的齐次关系式, 将用 a , c 表示,令两边同除以或 a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
2

2 b 2 ,那么 ,得 a ? b ,则为等轴双曲 ? 2 2 b2 ? a 2

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二、填空题
13.【答案】 84 .
2 9 【解析】解:(x ﹣ ) 的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

?(﹣1)r?x18﹣3r,

令 18﹣3r=0,求得 r=6,可得常数项的值为 T7= 故答案为:84.

=

=84,

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题. 14.【答案】9 【解析】由柯西不等式可知 15.【答案】 【

5 12
解 析 】

16.【答案】 ?2
3 3 【解析】由题意,得 C6 m ? ?160 ,即 m ? ?8 ,所以 m ? ?2 .
3

17.【答案】 12 . 【解析】解:设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的有(10﹣x)人, 由此可得(15﹣x)+(10﹣x)+x+8=30,解得 x=3, 所以 15﹣x=12, 即所求人数为 12 人, 故答案为:12. 18.【答案】 ? 3 , ? .

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? ? 2 tan x ? 2? ? x ? ? k? ? tan 2 x ,∴ f ( ) ? tan ? ? 3 ,又∵ ? 【解析】∵ f ( x ) ? ,∴ f ( x ) 的定义域为 2 1 ? tan 2 x 3 3 ?1 ? tan 2 x ? 0 ?
? k? ) ( ? k? , ? k? ) , k ? Z ,将 f ( x) 的图象如下图画出,从而 2 4 4 4 4 2 可知其最小正周期为 ? ,故填: ? 3 , ? . (?

?

? k? , ?

?

? k? ) ( ?

?

? k? ,

?

?

?

三、解答题
19.【答案】(1) x ? ?1 (2)① ? ?1, ?? ? ,②6

【解析】

试题

第 13 页,共 19 页

2 ?3x ? 1 x ? 3 ,化简得 3 ? ? 3x ? ? 2 ? 3x ? 1 ? 0 x ?1 3 ?1 1 x x 解得 3 ? ?1? 舍 ? 或3 ? , 3 所以 x ? ?1

解析:(1)由题意,

(2)因为 f ? x ? 是奇函数,所以 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 ,所以
x ?x 化简并变形得: ? 3a ? b ? 3 ? 3 ? 2ab ? 6 ? 0

?

?

?3x ? a ?3x ? a ? ?0 3? x ?1 ? b 3x ?1 ? b

要使上式对任意的 x 成立,则 3a ? b ? 0且2ab ? 6 ? 0 解得: {

a ?1 a ? ?1 a ? ?1 ,因为 f ? x ? 的定义域是 R ,所以 { 舍去 或{ b?3 b ? ?3 b ? ?3

?3x ? 1 3x ?1 ? 3 ?3x ? 1 1 ? 2 ? ① f ? x ? ? x ?1 ? ? ?1 ? x ? 3 ?3 3? 3 ?1 ? 对任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 有:
所以 a ? 1, b ? 3 ,所以 f ? x ? ?

因为 x1 ? x2 ,所以 3 2 ? 3 1 ? 0 ,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,
x x

1? 2 2 ? 2? 3x2 ? 3x1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 3 ? 1 3 ? 1 ? 3 ? 3x1 ? 1 3x2 ? 1 ?

?

??

?

? ? ? ?

因此 f ? x ? 在 R 上递减.

2 2 2 2 因为 f t ? 2t ? f 2t ? k ,所以 t ? 2t ? 2t ? k ,

?

?

?

?

2 即 t ? 2t ? k ? 0 在

时有解

所以 ? ? 4 ? 4t ? 0 ,解得: t ? ?1 , 所以 的取值范围为 ? ?1, ?? ? ②因为 f ? x ? ? ? ? g ? x ? ? 2? ?? 即 g ? x? ? 3 ? 3
x ?x

1 ?x 3? x ? 3x 3 ? 3x ,所以 g ? x ? ? ?2 3 3 f ? x?

?

?

所以 g ? 2 x ? ? 32 x ? 3?2 x ? 3x ? 3? x

?

?

2

?2

不等式 g ? 2x ? ? m ? g ? x ? ?11恒成立, 即 3x ? 3? x

?

?

2

? 2 ? m ? 3x ? 3? x ? 11,
9 恒成立 3 ? 3? x
x

?

?

x ?x 即: m ? 3 ? 3 ?

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令 t ? 3x ? 3? x , t ? 2 ,则 m ? t ? 令 h ?t ? ? t ?

9 在 t ? 2 时恒成立 t

t ? ? 2,3? 时, h ' ? t ? ? 0 ,所以 h ?t ? 在 ? 2,3? 上单调递减

9 9 , h ' ?t ? ? 1 ? 2 , t t

t ? ?3, ??? 时, h ' ? t ? ? 0 ,所以 h ?t ? 在 ?3, ??? 上单调递增
所以 h ?t ?min ? h ?3? ? 6 ,所以 m ? 6 所以,实数 m 的最大值为 6 考点:利用函数性质解不等式,不等式恒成立问题 【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出 最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为 函数的最值问题。 20.【答案】
2 2 【解析】解:由 12x ﹣ax﹣a >0?(4x+a)(3x﹣a)>0?(x+ )(x﹣ )>0,

①a>0 时,﹣ < ,解集为{x|x<﹣ 或 x> }; ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; ③a<0 时,﹣ > ,解集为{x|x< 或 x>﹣ }. 综上,当 a>0 时,﹣ < ,解集为{x|x<﹣ 或 x> };
2 当 a=0 时,x >0,解集为{x|x∈R 且 x≠0};

当 a<0 时,﹣ > ,解集为{x|x< 或 x>﹣ }. 21.【答案】 【解析】解:(1)函数 f(x)= f(﹣2)=﹣2+2=0, f(f(﹣2))=f(0)=0.3 分 (2)函数的图象如图:… 单调增区间为(﹣∞,﹣1),(0,+∞)(开区间,闭区间都给分)… 由图可知: f(﹣4)=﹣2,f(﹣1)=1, 函数 f(x)在区间(﹣4,0)上的值域(﹣2,1].…12 分. .

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22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1). 设点 P 的坐标为(x,y)

2 2 化简得 x +3y =4(x≠±1). 2 2 故动点 P 轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1)

(Ⅱ)解:若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 所以 = .

2 2 即(3﹣x0) =|x0 ﹣1|,解得 2 2 因为 x0 +3y0 =4,所以

故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题. 23.【答案】 【解析】解:(1)由|x-a|+|x+b|≥|(x-a)-(x+b)|



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=|a+b|得, 当且仅当(x-a)(x+b)≤0,即-b≤x≤a 时,f(x)取得最小值, ∴当 x∈[-b,a]时,f(x)min=|a+b|=a+b. (2)证明:由(1)知 a+b=2, ( a+ b)2=a+b+2 ab≤2(a+b)=4, ∴ a+ b≤2, ∴f(x)≥a+b=2≥ a+ b, 即 f(x)≥ a+ b.
1? ? a ? ? ?? ,? ? 24. 【答案】 (1) 极小值为, 单调递增区间为 ?1 ,? ? ? , 单调递减区间为 ? 0 , (2) 1? ; e? ?

?e

,? ? ? .

【解析】

1 1 x ?1 ? ? 2 .令 f ' ? x ? ? 0 ? x ? 1 .再利用导数工具可得:极小值和 x2 x x 1 1 单调区间; (2) 求导并令 f ' ? x ? ? 0 ? x ? , 再将命题转化为 f ? x ? 在区间 (0 ,e] 上的最小值小于. 当x? ?0, a a 即 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立, 即 f ? x ? 在区间 (0 ,e] 上单调递减, 再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]
试题分析:(1)由 a ? 1 ? f ' ? x ? ? ?

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1 e] 成立,所以 f ? x ? 在区间 (0 ,e] 上单调递减, ,则 f ' ? x ? ? 0 对 x ? (0 , a 1 1 则 f ? x ? 在区间 (0 ,e] 上的最小值为 f ? e ? ? ? a ln e ? ? a ? 0 , e e 显然, f ? x ? 在区间 (0 ,e] 的最小值小于 0 不成立.
若e? ②若 0 ?

f ' ? x? f ? x?

1 1 ? e ,即 a ? 时,则有 a e 1? ? ?0 , ? a? ? ↘

1 a 0
极小值

?1 ? ? ,e ? a ? ? +



1 ?1? 所以 f ? x ? 在区间 (0 ,e] 上的最小值为 f ? ? ? a ? a ln , a ?a? 1 ?1? ? ?? , 由 f ? ? ? a ? a ln ? a ?1 ? ln a ? ? 0 ,得 1 ? ln a ? 0 ,解得 a ? e ,即 a ? ? e , a ?a?

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1? ? 综上,由①②可知, a ? ? ?? ,? ? e? ?

?e

,? ? ? 符合题意.……………………………………12 分

考点:1、函数的极值;2、函数的单调性;3、函数与不等式. 【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题,以及逻辑思维能力、等价转化 能力、 运算求解能力、 分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的 证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式,然后构造新函数,利用导数研究新函数 的单调性和最值来解决,当然要注意分类讨论思想的应用.

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