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联想三角巧解竞赛题


语数外学 习   No . 01 . 2 0 1 3   Y u   S J 1 I 1   W  X u e   X i   2 0 1 3年第 1 期  联 想 三 角 巧解 竞赛 题  屈成功  李芙蓉  ( 1 、 宿州二 中, 安徽 摘 宿州 2 3 4 0 0 0 ; 2 、 宿 州三 中, 安徽 宿州 2 3 4 0 0 0 )   要: 大家知道三角应用十分广泛, 渗透于各个不同数学分支, 不 管代数 的、 还是几何 的, 都有着重要的应用。如果在解竞赛问   题时, 能有意识作三 角方面的联想, 则常常可以使 问题得到简洁地解决, 能收到意想不到的解题效果。下面结合实例谈谈三角在竞赛  题 当中应 用 。   关键词: 三角; 竞 赛题 ; 解题效 果  中 图分类 号 : G 6 3 3   文 献标识 码 : A   文章编 号 : 1 0 0 5- 6 3 5 1 ( 2 0 1 3 ) 一 0 1 - 0 0 4 1 一 O 1   一 、 应 用三 角 证明 恒等式  已   i  = z 2 (  = 兰 2 ( 兰 =   2   ( 1 +  ) ( 1 +  ) ( 1 + 船) 。   ÷+ 古 c o   ( 1 + c o 邵)   一 ÷ c o s   求 证 : 焉  焉  焉   : ÷+ 击 [ 2 c  ( 1 - 。   ≤ ≤ ÷+   I [   2 c o s 2 B + ( 1 一 c o s 2 3   B ) + f 1 —   . z -   2 7   分析 : 本题若直接用代数方法来证 , 较繁 !若观察等式 , 可发  : 现:   类似 帆( O r - 卢 ) 的展开 式 , 联 想  c中有 : t a n A+ t a n B+   三、 应 用三 角求最值  t a n C=t a n A t a n Bt a n C o   证明 : 由已知 可设 :  =t a n o t , Y =   , : = t a n y ,   已知 x , y e R, 且4  ̄ f 2 - 5  +   = 5 , 设s =   : +  , 求  + 。 ( 1 9 9 4年全国竞赛)   解: 易得 s =  +  > o ,   1   则 焉 …, 焉  t a r { 8 , 麓  由( t v 一 卢 ) +( 卢一  ) + (  —a )= O, . ’ . t a J l (  - / 3 ) + t  ̄( / 3 一 y )   + t a n ( y— a ) = t a n (  一 / 3 ) m( / 3 - r ) m( y— 位 )   ‘ . . 则 焉  t a n ( a 一 / 3 ) , 焉= 1 a n ( / 3 —   ) ,   7 , - X = t a r I (  ) ,   可设 = q T o o s O , Y= 4 ; s i n o 代入 4  一 5  + 4  = 5   得砌   =   ,   原 式成 立 。   ? . .  ≤1 , 待 . -: 百 1 0   二、 应用 三角 证 明不等 式  即: s 一= 丁 1 0s   =西 1 0 , ,   数  学  教  已知 x , y , : 是非负实数 , 且 + Y+ : =1 , 求证 : O ≤   + y z +   一 2   ≤   ( 第2 5 届


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