3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算-文档资料

3.1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减运算

3.1.2 空间向量的数乘运算

【选题明细表】

知识点、方法

题号

空间向量的概念

1,5

空间向量的线性运算

2,9

共线向量

3,6,8,11

共面向量

4,7,10

【基础巩固】

1.若 a 与 b 不共线,且 m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )

(A)m,n,p 共线 (B)m 与 p 共线

(C)n 与 p 共线 (D)m,n,p 共面

解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即 m+n=2p,即 p= m+ n,又 m 与 n 不共线, 所以 m,n,p 共面.

2.(2019·天津河西区期末)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, + + 等于 (D)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, + + =( + )+ = + = . 故选 D.

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3.已知空间向量 a,b,且 =a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的 三点是( A ) (A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D 解析:因为 = + =2a+4b=2 ,所以 A,B,D 三点共线.故选 A. 4.已知 i,j,k 是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λ k, 若 a,b,c 三个向量共面,则实数λ 等于( D )
(A) (B)9 (C) (D) 解析:因为 a,b,c 三向量共面, 所以存在实数 m,n,使得 c=ma+nb, 即 7i+5j+λ k=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).

所以

所以λ = .

5.下列命题:

①空间向量就是空间中的一条有向线段;

②不相等的两个空间向量的模必不相等;

③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;

④向量 与向量 的长度相等.

其中真命题有

(填序号).

解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二

者完全等同起来.

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②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向 不相同即可. ③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等, 但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点. ④真命题, 与 仅是方向相反,它们的长度是相等的. 答案:④ 6.如图所示,已知四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面,M,N 分 别是 AC,BF 的中点,判断 与 是否共线. 解:因为 M,N 分别是 AC,BF 的中点,且四边形 ABCD,ABEF 都是平行四 边形,

所以 = + + = + + . 又 = +++

=- + - - ,

以上两式相加得 =2 ,

即 与 共线.

【能力提升】

7.已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任意一点 O,下列条件中能 确定点 M 与点 A,B,C 共面的是( D )

(A) = - +

(B) = - -

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(C) = + +

(D) = - +

解析:若 M,A,B,C 四点共面,

则 =a +b +c (a+b+c=1),在选项中只有 D 符合.故选 D. 8.已知 A,B,C 三点共线,则对空间任一点 O,存在三个不为零的实数λ ,

m,n,使λ +m +n =0,那么λ +m+n 的值为

.

解析:因为 A,B,C 三点共线,

所以存在惟一实数 k,使 =k ,

即 - =k( - ), 所以(k-1) + -k =0, 又λ +m +n =0, 令λ =k-1,m=1,n=-k,则λ +m+n=0. 答案:0 9.(2019·浙江金华期末)在正棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 为△A1B1C1 的重心,

若 =a, =b, =c,则 =

,=

.

解析:因为在正棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 为△A1B1C1 的重心,

=a, =b, =c,

所以 = + =b+c,

= + =c+ × ( + )=c+ (-b+ - )=c+ (-b+a-b)=c+ - .

答案:b+c c+ -

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10.如图,已知 O,A,B,C,D,E,F,G,H 为空间的 9 个点,且 =k , =k , =k , = +m , = +m .
求证:(1)A,B,C,D 四点共面,E,F,G,H 四点共面; (2) ∥ ; (3) =k . 证明:(1)因为 = +m , 所以 A,B,C,D 四点共面. 因为 = +m , 所以 E,F,G,H 四点共面. (2)因为 = +m = - +m( - ) =k( - )+km( - ) =k +km =k( +m ) =k , 所以 ∥ . (3) = + =k +k =k( + )=k .
【探究创新】 11.如图所示,在四面体 ABCD 中,E,F,G,H,P,Q 分别是所在棱的中点. 求证:EF,GH,PQ 相交于一点 O,且 O 为它们的中点. 证明:连接 EG,GP,GF,EH,HF,QH,因为 E,G 分别为 AB,AC 的中点,
所以 EG BC.
同理,HF BC,所以 EGHF.
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从而四边形 EGFH 为平行四边形,故其对角线 EF,GH 相交于一点 O,且 O 为它们的中点. 只要能证明向量 =- ,就可以说明 P,O,Q 三点共线且 O 为 PQ 的 中点. 事实上, = + , = + . 因为 O 为 GH 的中点, 所以 + =0. 又因为 GP CD,QH CD, 所以 = , = . 所以 + = + + + =0. 所以 =- . 故 PQ 经过 O 点,且 O 为 PQ 的中点. 所以 EF,GH,PQ 相交于一点 O,且 O 为它们的中点.
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