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高中数学人教b版高二必修5习题_第1章_解三角形_1.1_第3课时

高中数学人教 b 版高二必修 5 习题_第 1 章_解三角形_1.1_第 3 课时 一、选择题 1. 三角形的两边长为 3cm、 5cm, 其夹角的余弦是方程 5x2-7x-6=0 的根, 则此三角形的面积是( A.6cm2 C.8cm2 [答案] A 3 [解析] 解方程 5x2-7x-6=0,得 x1=- 或 x2=2. 5 3 由题意,得三角形的两边长为 3cm、5cm,其夹角的余弦为- , 5 4 ∴夹角的正弦为 , 5 1 4 故三角形的面积 S= ×3×5× =6cm2. 2 5 2.△ABC 中,若∠A=60° ,b=16,此三角形面积 S=220 3,则 a 的值为( A.7 C.55 [答案] D 1 1 3 [解析] 由题意,得 S=220 3= bcsinA= ×16×c× , 2 2 2 ∴c=55. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA 1 =162+552-2×16×55× =2401, 2 ∴a=49. 3.在△ABC 中,若 sinA>sinB,则有( A.a<b C.a>b [答案] C [解析] 利用正弦定理将角的关系化为边的关系,由 a b a sinA = 可得 = ,因为△ABC 中 sinA>0, sinA sinB b sinB ) B.a≥b D.a、b 的大小无法确定 B.25 D.49 ) 15 B. cm2 2 D.10cm2 ) a sinB>0,所以结合已知有 sinA>sinB>0,从而 >1,即 a>b. b 4.若△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,那么 cosC=( 1 A.- 4 1 B. 4 第- 1 -页 共 7 页 ) 2 C.- 3 [答案] A 2 D. 3 [解析] 由正弦定理,得 sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶4, 令 a=2k,b=3k,c=4k(k>0), a2+b2-c2 ∴cosC= 2ab = 4k2+9k2-16k2 1 =- . 4 2×2k×3k ) 1 5.在△ABC 中,若△ABC 的面积 S= (a2+b2-c2),则∠C 为( 4 π A. 4 π C. 3 [答案] A π B. 6 π D. 2 1 1 1 π [解析] 由 S= (a2+b2-c2),得 absinC= ×2abcosC,∴tanC=1,∴C= . 4 2 4 4 6.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. C. 5 18 3 2 3 B. 4 7 D. 8 ) [答案] D [解析] 设三角形的底边长为 a,则周长为 5a,∴等腰三角形腰的长为 2a.设顶角为 α,由余弦定理, ?2a?2+?2a?2-a2 7 得 cosα= = . 8 2×2a×2a 二、填空题 7.在△ABC 中,a=2 3,b= 6,A=45° ,则边 c=________. [答案] 3+ 3 [解析] 由余弦定理,得 a2=c2+b2-2cbcosA, ∴12=c2+6-2 6c× ∴c2-2 3c-6=0, 解得 c=3+ 3. 1 8. (2014· 天津理, 12)在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 已知 b-c= a,2sinB=3sinC, 4 则 cosA 的值为________. 1 [答案] - 4 第- 2 -页 共 7 页 2 , 2 [解析] 本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理. ∵2sinB=3sinC,∴2b=3c. 1 3 1 又∵b-c= a,∴b= a,c= a. 4 4 2 9 2 1 2 a + a -a2 4 b2+c2-a2 16 1 ∴cosA= = =- . 2bc 3 1 4 2× a× a 4 2 三、解答题 π 9.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积为 3,求 a、b 的值; (2)若 sinB=2sinA,求△ABC 的面积. [解析] (1)由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC, π 又 c=2,C= , 3 ∴a2+b2-ab=4. 1 3 由已知得 S△ABC= 3= absinC= ab,∴ab=4. 2 4 ?a2+b2-ab=4 ?a=2 ? ? 由? ,解得? . ?ab=4 ?b=2 ? ? (2)∵sinB=2sinA,∴b=2a. π 又 c=2,C= ,∴a2+b2-ab=4. 3 ?b=2a ? 由? 2 2 ,解得 ? ?a +b -ab=4 ?a=2 3 3 ? 4 3 ?b= 3 . 1 2 3 ∴S△ABC= absinC= . 2 3 10.(2015· 天津文,16)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知△ABC 的面积为 3 15, 1 b-c=2,cos A=- . 4 (1)求 a 和 sin C 的值; π? (2)求 cos? ?2A+6?的值. 1 [解析] (1)在△ABC 中,由 cos A=- , 4 得 sin A= 15 , 4 第- 3 -页 共 7 页 1 由 S△ABC= bcsin A=3 15,得 bc=24, 2 又由 b-c=2,解得 b=6,c=4. 由 a2=b2+c2-2bccos A,可得 a=8. 由 a c 15 = ,得 sin C= . sin A sin C 8 π? π π (2)cos? ?2A+6?=cos 2Acos 6-sin 2Asin 6 = = 3 1 (2cos2A-1)- ×2sin Acos A 2 2 15-7 3 . 16 一、选择题 1.在△ABC 中,lga-lgb=lgsinB=-lg 2,∠B 为锐角,则∠A 的值是( A.30° C.60° [答案] A a 2 [解析] 由题意得 =sinB= ,又∵∠

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