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东海高级中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学理试题

2014-2015 学年度第一学期 12 月月考高二理科数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.命题“ ?x ? 0, x2 ? x ? 0 ”的否定是 2.等差数列 ▲ .1. ?x ? 0, x2 ? x ? 0 . 2. 100

{an } 中,若 a1 ? a2 ? 4 , a9 ? a10 ? 36 ,则 S10 ?
.3. e sin x ? e cos x
x x

3.函数 f ( x) ? e x sin x 的导数 f ?( x) ?



2.在 ?ABC 中,

sin A cos B ? ,则 ?B = a b

. 2.45 ?

5.等差数列 5.

?an ? 中, a1 ? ?3 ,11a5 ? 5a8 ,则其前n项和 Sn 的最小值为___________.

-4

2 2 5.在 ?ABC 中,若 (a ? b) ? c ? ab ,则 ?C ?





【答案】

2? 3

7.下列有关命题的说法中,错误 的是 ..



(填所有错误答案的序号). 7.③

① 命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ; ② “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件; ③ 若 p且q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题.

8.函数 y=

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值是

8。 ?

5 2

( a ? b) 2 ? 7.若 x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则 cd
式表示) 7. (??, 0] ? [4, ??)

(结果用区间形

1

8.已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点是双曲线 则双曲线的渐近线方程为 ▲

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的右焦点, a2 3

.8. y ? ? 3x

?x ? 0 ? 8. (理科)若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 3 ?
【答案】-3





9.已知{ 则

an

}是公差不为0的等差数列,不等式 .9. 2n

x2 ? a3 x ? a4 ? 0 的解集是 ?x | a1 ? x ? a2? ,

an =

12.设 x,

?3x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 3 2 ? y 满足约束条件 ? ? x ? 0, y ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a>0, b>0)的最大值为12,则 a b 的

最小值为__

12.

4

13. 设等差数列 则

S a ? 1 a4 ? 6 S3 ? 12 ?an ? 的首项及公差均是正整数, 前 n 项和为 n , 且 1 , , ,
13. 4020

a

2013

=

13.已知 ?ABC 中, a ? x, b ? 2, B ? 45 ,若该三角形有两解,则 x 的取值范围是
13. 2 ? x ? 2 2

12.如图,?ABC 中,D 是 BC 边上的中线,且 BC ? 2 2 ,

AD ? 3 ,则 ?ABC 周长的最大值为
【答案】 2 2 ? 2 5





2

13.如图平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

3 ,A 1, A 2 分别是椭圆的左、右两个顶点, 2

圆 A1 的半径为 a ,过点 A2 作圆 A1 的切线,切点为 P , 在 x 轴的上方交椭圆于点 Q .则

PQ ? QA 2



.13.

3 4

an ? an ? 2 ? an ?1 成立,则 2 称数列 ?an ? 为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列 ?an ? 满足如下两个条件:

14.对于数列 ?an ? ,如果对任意正整数 n ,总有不等式:
[来源:学科网 ZXXK]

(1)数列 ?an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ; (2) 对正整数 n( 1 ? n ? 10, n ? N * ) , 都有 an ? bn ? 20 , 其中 bn ? n2 ? 6n ?10 .

则数列 ?an ? 中的第五项 a5 的取值范围为

.

14。 [13,25]

14.已知数列 {an } : , ?

1 1 2 3

2 1 2 3 1 2 n 1 , ? ? , ???, ? ? ??? ? , ??? .设 bn ? , 3 4 4 4 n ?1 n ?1 n ?1 an an ? 2
▲ .

则数列 {bn } 的前 n 项和为 【答案】 3 ?

2 2 ? n ?1 n ? 2

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)

15.(本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A 是锐角,且

3b ? 2a sin B . (1)求 A ; (2)若 a ? 7 , ?ABC 的面积为 10 3,求 b ? c 的值.

15. (本小题共 14 分)
3

解: (1) 由 3b ? 2a sin B ? 3 sin B ? 2sin A sin B ? sin A ? 所以 A ? 60? ??????????????????6 分 (2)由面积公式 S ?

3 ,又 A 是锐角, 2

1 3 bc sin A ? bc ? 10 3 ? bc ? 40 , 2 4 又由余弦定理: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 49 ? b ? c ? 13 ??????????14 分.

15. (本题满分 14 分) (理科)已知命题 p: x 2 ? 4 x ? 21 ? 0 ,命题 q: 2 ? x ? 10 .若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 x 的取值范围. (理)解:解不等式 x 2 ? 4 x ? 21 ? 0 ,得 x ? (??, ?3) 所以 p: x ? (??, ?3) 由

(7, ??) ,
(6 分)

(7, ??)

p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,可得 p,q 一真一假.
? x ? [?3, 7], ? x ? (2, 7] ? x ? (2,10].
(10 分)

当 p 假 q 真时, ?

当 p 真 q 假时, ?

? x ? (??, ?3) (7, ??), ? x ? (??, ?3) (10, ??) ? x ? (??, 2] (10, ??).

16.(本题满分 14 分) 如图,在河对岸可以看到两个目标 A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3 km 的 C,D 两点,并测得 ?ACB ? 75 , ?BCD ? 45 , ?ADC ? 30 , ?ADB ? 45 。且 A,B, C,D 在同一个平面内,求 AB 间距离. 解: ?ACD ? ?ACB ? ?BCD ? 75 ? 45 ? 120 , ?ADC ? 30 ,

??CAD ? 180 ? ?ACD ? ?ADC ? 30



? AC ? CD ? 3 ;

(4 分)

?BDC ? ?BDA ? ?ADC ? 45 ? 30 ? 75 , ??CBD ? 180 ? ?BDC ? ?BCD ? 60

4

在 ?BCD 中,由正弦定理,得

CD BC ? , sin ?CBD sin ?BDC
(10 分)



3 BC 6? 2 ,解得 BC ? ? sin 60 sin 75 2

在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?ACB 所以 AB 2 ? ( 3)2 ? ( 所以 AB ? 5

6? 2 2 6? 2 6? 2 ) ?2 3? ? ?5 2 2 4
(14 分)

17. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ' ( x) , 且满足 f ( x) ? 3x2 ? 2xf ' (1) . (1)求 f ' (1) 的值; (2)求函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程.

16.解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

16 解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.
1 a 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. (?) a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a 1 a

2 4

若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. 6

(1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ;
1 ? x ? 1; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a

8

[

(2)当 a ? 1 时,式 (?) ?

10 12

综上所述,不等式的解集为: ①当 a ? 0 时,{ x x ? 或x ? 1 };
5

1 a

②当 a ? 0 时,{ x x ? 1}; ③当 0 ? a ? 1 时 2,{ x 1 ? x ? }; ④当 a ? 1 时, ? ; ⑤当 a ? 1 时,{ x
1 ? x ? 1 }. a

1 a

14

18.(本题满分 16 分) (理科) 2013 年将举办的第十二届中国?东海国际水晶节, 主题为“水晶之都?福如东海”, 于 9 月 28 日在国内唯一水晶博物馆正式开幕.为方便 顾客,在休息区 200m2 的矩形区域内布置了如图所示 的休闲区域 (阴影部分) , 已知下方是两个相同的矩形。 在休闲区域四周各留下 1m 宽的小路, 若上面矩形部分 与下方矩形部分高度之比为 1:2.问如何设计休息区 域,可使总休闲区域面积最大.

(理)解:设整个休息区域的宽为 xm,则高为

200 m. x x?3 200 2 400 ? 3) ? ? ? 2; 下方矩形宽为 ,高为 ( 2 x 3 3x 200 1 200 ? 3) ? ? ?1. 上方矩形宽为 x ? 2 ,高为 ( (4 分) x 3 3x x ? 3 400 200 ?( ? 2) ? ( x ? 2) ? ( ? 1) 则休闲区域面积 y ? 2 ? 2 3x 3x 1600 ? 208 ? ( ? 3 x) (10 分) 3x

? 208 ? 2
当且仅当

1600 ? 3x ? 128 m2. 3x

(14 分)

1600 40 ? 3 x ,即 x ? m 时,上式取等号. 3x 3 40 答:当矩形的宽为 m,高为 15m 时,休闲区域面积最大. 3

(16 分)

19. (本题满分 16 分)
6

设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=5,S5=35.设数列{bn}满足 an ? log 2 bn . (1)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (2)设 Gn=a1· b1+a2· b2+?+an· bn,求 Gn. 解: (1)由题意得 ?

?a1 ? d ? 5, ?a1 ? 3, 解得 ? 所以 an= (2 分) 3 ? 2(n -1)= 2n+ 1. ?5a1 ? 10d ? 35. ?d ? 2.

由 an=log 2bn ,得 bn=2an=22n+1 , 所以

bn?1 22 n?3 ? 2 n?1 =4 ,即所以数列 {bn } 是以 4 为公比, b1 ? 23 ? 8 的等比数列, bn 2
3 5 2n+1

所以 Tn=2 +2 +?+2



8?1 ? 4n ? 8 n = (4 -1) . 1? 4 3

(6 分)

(2)因为 Gn= 3 ? 23+5 ? 25+?+(2n+ 1) ? 22n+1 , 将上式两端同时乘以 4,得 4Gn= 3 ? 25+ 5 ? 27+?+ (2n- 1) ?2 2n+1+ (2 n+ 1) ?2 2n+3 两式相减,得 - , (8 分) 3Gn=3 ? 23+(2 ? 25+2 ? 27+?+2 ? 22n+1 )-(2n+ 1? 22n+3) 即- 3Gn=24+(26+28 ?+22n+2 )-(2n+ 1) ? 22n+3

=24+

64?1 ? 4n?1 ? 8 ? ? 48n ? 8?4n -(2n+ 1) ? 22n+3= 1? 4 3 ? 48n ? 8?4n ? 8 . 9
(16 分)

(12 分)

所以 Gn=

19. (本题满分 16 分)等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,

{bn } 为等比数列, b1 ? 2 ,且 b2 S2 ? 32, b3 S3 ? 120 .
(1)求 an 与 bn ; (2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn ; (3) 若
1 1 1 + + … + ? x 2 ? ax ? 1 对任意正整数 n 和任意 x ? R 恒成立, 求实 S1 S2 Sn

数 a 的取值范围.

7

(2)错位相减得

3 对任意 x ? R 恒成立 4 1 2 即 x ? ax ? ? 0 对任意 x ? R 恒成立 4 x 2 ? ax ? 1 ?

8

16. (本小题满分 14 分)

9

已知命题 p :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1表示双曲线,命题 q : ? ? 1 表示椭圆. m ?1 m ? 4 m?2 4?m

⑴若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围. ⑵判断命题 p 为真命题是命题 q 为真命题的什么条件(请用简要过程说明是“充分不必 要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个) .

16 ⑴ ? 命 题

p:

x2 y2 ? ?1 表 示 双 曲 线 为 真 命 题 , 则 m ?1 m ? 4
??3 分

(m ? 1)(m ? 4) ? 0 ,


1? m ? 4;
分 ⑵

??5

?





q:

x2 y2 ? ?1 m?2 4?m



















?m ? 2 ? 0 ? ? ?4 ? m ? 0 , ?m ? 2 ? 4 ? m ?


??8 分

2?m?3
??10 分



3? m ? 4,

? {m |1 ? m ? 4} ? {m | 2 ? m ? 3 或 3 ? m ? 4}
∴ 件.

p



q







不 ??14 分







17. (本小题满分14分) 解: (1) ∴

? f ( x) ? 2 x ? 0的解集为(1,3).

f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3), 且a ? 0.因而

10

f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? ax 2 ? (2 ? 4a) x ? 3a. ①
由方程 f ( x) ? 6a ? 0得ax ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0.
2
2



因为方程②有两个相等的根,所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 ,

5a 2 ? 4a ? 1 ? 0.


1 解得a ? 1或a ? ? . 5

???????????6分

a ? 0, 舍去a ? 1.将a ? ?
由于

1 5 代入①得 f ( x) 的解析式为

1 6 3 f ( x) ? ? x 2 ? x ? . 5 5 5
(若本题没有舍去“ a ? 1 ”第一小问得6分)

???????????8分

f ( x) ? ax 2 ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a( x ?
(2)由

1 ? 2a 2 a 2 ? 4 a ? 1 ) ? a a



a ? 0, 可得f ( x)的最大值为 ?

a 2 ? 4a ? 1 . a

???????????12分

? a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? a ? ?a ? 0, 由? 解得 a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0.
故当 f ( x) 的最大值为正数时, 实数a的取值范围是

(??,?2 ? 3 ) ? (?2 ? 3,0).

???????????16分

20.国庆长假期间小宝去参观画展,为了保护壁画,举办方在壁画前方用垂直于地面的透明
11

玻璃幕墙与观众隔开, 小宝在一幅壁画正前方驻足观看。 如图是小宝观看该壁画的纵截面示 意图,已知壁画高度AB是2米,壁画底端与地面的距离BO是1米,玻璃幕墙与壁画之间的距 离OC是1米。若小宝的身高为 a 米( 0 ? a ? 3 ) ,他在壁画正前方 x 米处观看,问 x 为多少 时,小明观看这幅壁画上下两端所成的视角 ? 最大?

20.(本小题满分16分)

12

f ( x) ?
19.已知函数

4x 4x ? 2

1 n ?1 f ( )? f ( )(n ? N * ) n (1)试求 n 的值;
1 2 n ?1 {a n }满足a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) (n ? N *) ,求数列 n n n ( 2 )若数列

{a n }

的通项公式;

(3)若数列 等式

?bn ? 满足 bn ? 2n?1 ? an , Sn 是数列 ?bn ? 前 n 项的和,是否存在正实数 k ,使不
对于一切的 n ? N 恒成立?若存在指出 k 的取值范围,并证明;若不
13
?

knS n ? 4bn

存在说明理由.

19. (本小题满分 16 分) 如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 中心在原点,焦点均在 x 轴上,且离心率相同.椭圆 C1 的长 轴长为 2 2 ,且椭圆 C1 的左准线 l : x ? ?2 被椭圆 C2 截得 的线段 ST 长为 2 3 ,已知点 P 是椭圆 C2 上的一个动点. ⑴求椭圆 C1 与椭圆 C2 的方程; ⑵设点 A 1 为椭圆 C1 的左顶点,点 B 1 为椭圆 C1 的下顶点, 若直线 OP 刚好平分 A1B1 ,求点 P 的坐标; ⑶若点 M , N 在椭圆 C1 上,点 P, M , N 满足 OP ? OM ? 2ON ,则直线 OM 与直线 ON 的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

19⑴设椭圆 C1 方程为

x2 y 2 x2 y 2 ,椭圆 方程为 C ? ? 1( a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) , 2 1 1 2 a12 b12 a2 b2 a12 ,∴ c1 ? 1 ,则 b1 ? 1 c1
, 其 离 心 率 为

则 2a1 ? 2 2 ,∴ a1 ? 2 ,又其左准线 x ? ?2 ? ?







C1







x2 ? y2 ? 1 2
??3 分

e1 ?

2 , 2

2 2 ∴ 椭 圆 C2 中 a2 ? 2b2 , 由 线 段 的 ST 长 为 2 3 , 得 S (? 2 ,

3 ,)代 入 椭 圆

C2

4 3 ? 2 ? 1, 2 2b2 b2

14

2 2 得 b2 ∴ a2 椭圆 C2 方程为 ? 5, ? 10 ,

x2 y 2 ? ? 1; 10 5

??

6分 ⑵A 则 A1B1 中点为 (? 1 (? 2,0), B 1 (0, ?1) , 7分

2 1 2 ∴直线 OP 为 y ? ,? ) , x, 2 2 2

??

? x2 ? ? ?10 由? ? y? ? ?


y2 ?1 5

? x? 5 ? x?? 5 ? ? ,得 ? 10 或 ? 10 , 2 ?y ? ?y ? ? x ? 2 ? 2 2


P





标 ??10 分



( 5,

10 10 ), (? 5, ? ); 2 2

2 2 2 2 ⑶设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x0 ? 2 y0 ? 10 , x12 ? 2 y12 ? 2, x2 ? 2 y2 ? 2,







( x0

? , y0 ?
??12 分

)

x1

(, y1

∴ ,

x2 )

y

? x0 ? ? ? y0 ?

?2 ?2

x1 y1

x2 y2

2 2 2 2 ∴ x0 ? 2 y0 ? ( x1 ? 2x2 )2 ? 2( y1 ? 2 y2 )2 ? x12 ? 4x1x2 ? 4x2 ? 2 y12 ? 8 y1 y2 ? 8 y2 2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 6( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 10 ? 6( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 10

??14 分 ∴ x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 ,∴ ∴ 直 线 OM

1 y1 y2 1 ? ? ,即 kOM ? kON ? ? , 2 x1 x2 2

与 直 线 ON 的 斜 率 之 积 为 定 值 , 且 定 值 为 ??16 分

?

1 . 2

20. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 中, 前 n 项和为 Sn , 且 Sn ? a2 ? 2 ,

n ( an ? 1 ) . 2

(1) 证明数列 {an?1 ? an }是等差数列,并求出数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?
k 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对 57 (2an ? 1)(2an ? 1)
15

一切 n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值.

16


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