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启恩中学2013届高三文科数学专题练习(函数与导数)

启恩中学 2013 届高三文科数学专题练习——函数与导数
一、选择题 1.已知函数 f(x)= ? A. -3 B. -1

?2 x,x ? 0, 。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ? x ? 1, x ? 0
C. 1 D. 3

4x ? 1 2.函数 f ? x ? ? 的图象 2x
A. 关于原点对称 C. 关于 x 轴对称 B. 关于直线 y=x 对称 D. 关于 y 轴对称

3.已知 f ?x ? ? lg x , 若0 ? a ? b, 则a ? 1是f ?a ? ? f ?b ?的? A 充要条件 C 必要不充分条件
x

?条件

B

B 充分不必要条件 D 既不充分又不必要条件

4.函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 A. (-2,-1) 5.若曲线 y ? x A.64 二、填空题 6.函数 y ? log3 x, ( x ? 0) 的反函数为 7.函数 y ? kx 2 ? 6kx ? 9 的定义域为 R ,则 k 的取值范围是 8.若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
2

B.(-1,0)
? 1 2 在点

C.(0,1)

D.(1,2)

1 ? ? ? 2 ? a, a ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ? ?

B.32

C.16

D.8

? x 2 ? 4 x, 9.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
10.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ?

x?0 x?0

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是
2

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 4

f (2012) =_____________.

三、解答题 11. 已知函数 f (x)为 R 上的奇函数,且在上为增函数, (1)求证:函数 f (x)在(??,0)上也是增函数; 1 (2)如果 f ( )=1,解不等式?1<f (2x+1)≤0. 2

12. 已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e 。
x

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值。

? 13. 已知函数 f(x) ax ? bx ? cx(a ? 0) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ?1 时,
3 2

函数取极值 1. (1)求 a,b,c 的值;

? (2)若 x1,x2 ? ?? 1 1?,求证: f(x1) f(x 2)? 2 ; ,
(3)求证:曲线 y ? f (x) 上不存在两个不同的点 A,B ,使过 A,B 两点的切线都垂直 于直线 AB .

14.已知 P ? x0 , y0 ? 是函数 f ( x) ? ln x 图象上一点,在点 P 处的切

线 ? 与 x 轴交于点 B ,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 A . (1)求切线 ? 的方程及点 B 的坐标; (2)若 x0 ? ? 0, 1? ,求 ?PAB 的面积 S 的最大值,求此时 x0 的值.

15.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为

80? 立方 3

米,且 l ? 2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已 知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为 c ( c ? 3 )千元.设该容器的建造费用为 y 千 元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r .

16.设 a 为非负实数,函数 f ( x) ? x | x-a | -a 。 (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)讨论函数的零点个数,并求出零点.

?1 ? x ( x ? 0), ? 17.设 k ? R ,函数 f ( x ) ? ? , F ( x) ? f ( x) ? kx, x ? R . ? x ?e ( x ? 0). ?
⑴当 k ? 1 时,求 F (x) 的值域; ⑵试讨论函数 F (x) 的单调性.

18. 已知函数 f ? x ? ? x ?

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x

(1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;

, (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1 e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求
实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题 1~5. ADBCA 二、填空题 6. y ? 3 , ( x ? R)
x

7. ?0,1?

8.

?a | a ? 0?

9. (?2,1)

10. -

1 . 4

三、解答题 11. 解: (1)令 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0

?函数 f(x)上为增函数

? f ?? x1 ? ? f ?? x2 ?

www. k..s. .5.u.com 迁

又? 函数 f(x)为奇函数

? ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在(0, ?)上单调递增 ?
(2)? f (?0) ? f (0)

? f (0) ? 0

1 1 ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?1 2 2 1 ? f (? ) ? f (2 x ? 1) ? f (0) 2

? f (x)在R上单调递增
?? 3 1 ?x?? 4 2

12.(1) f ?( x) ? ( x ? k ? 1)e . 令 f ??x ? ? 0 ,得 x ? k ? 1 . f (x) 与 f ?(x) 的情况如下:
3

x

( ? ?, k ? k ) — ↗

k ?1
0

( (k ? 1,??) + ↗

f ?(x) f (x)

? e k ?1

所以, f (x) 的单调递减区间是( ? ?, k ? 1 ) ;单调递增区间是 (k ? 1,??)

(2)当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1时,函数 f (x) 在[0,1]上单调递增,所以 f (x)在区间[0,1] 上的最小值为 f (0) ? ?k ; 当 0 ? k ? 1 ? 1,即 ? k ? 2 时,由(Ⅰ)知 f ( x)在[0, k ?1] 1 上 单 调 递 减 , 在 (k ? 1,1] 上 单 调 递 增 , 所 以 f ( x) 在 区 间 [0 , 1] 上 的 最 小 值 为

f (k ? 1) ? ?ek ?1 ;当 k ? 1? t , 即 ? 2 时,函数 f ( x) 在[0,1]上单调递减,所以 f ( x) k
在区间[0,1]上的最小值为 f (1) ? (1 ? k )e.

? 13. 解:(1)函数 f(x) ax ? bx ? cx(a ? 0) 是定义在 R 上的奇函数,
3 2

即 ? f(? x) ? f(x), bx 2 ? 0 对于 x ? R 恒成立,?b ? 0 . ?

f(x) ax3 ? cx , f ? x) 3ax 2 ? c ? ( ?

? ? x ? ?1 时,函数取极值 1. ∴ 3a ? c ? 0, a ? c ? 1 ,
1 3 ,c ? ? . 2 2 1 3 3 3 3 3 (2) f(x) ? x ? x , f ?( x) ? x 2 ? ? ( x ? 1)( x ? 1) , 2 2 2 2 2
解得: a ?

x ? ?? 1, 时 f ? ) 0 ,? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上是减函数, 1? (x ?
即 f( ) f(x) f( ? 1 ,则 f(x)? 1 , 1 ? ? )

? ? 当 x1,x2 ? ?? 1 1?时, f(x1) f(x 2)? f(x1) f(x 2)? 1 ? 1 ? 2 . ,
(3)设 A(x1,y1),B(x2,y 2)(x1 ? x2) ,

? f ? x) ( ?

3 2 3 x ? ,过 A,B 两点的切线平行, 2 2
2 2

? f ? x1) f ? x2),可得x1 ? x2 . ( ? (

? x1 ? x2 ? x1 ? ? x2 , 则 y1 ? ? y 2 , k AB ?

y 2 ? y1 y1 1 2 3 ? ? x1 ? , x 2 ? x1 x1 2 2

由于过 A 点的切线垂直于直线 AB ,? ( x1 ? )( x1 ? ) ?1, ?
2 2

3 2

3 2

1 2

3 2

∴ 3x1 ? 12 x1 ? 13 ? 0 ,∵ ? ? ?12 ? 0,? 关于x1 的方程无解.
4 2

? 曲线上不存在两个不同的点 A,B ,使过 A,B 两点的切线都垂直于直线
AB .

14.解: (1)∵ f ' ( x) ?

1 , x
1 ? x ? x0 ? x0

∴过点 P 的切线方程为 y ? ln x0 ?

即切线方程为: y ?

1 x ? ln x0 ? 1 x0

令 y ? 0 ,得 x ? x0 ? x0 ln x0 , 即点 B 的坐标为 ? x0 ? x0 ln x0 , 0 ? 。 (2) AB ? x0 ? x0 ln x0 ? x0 ? ? x0 ln x0 , PA ? f ( x0 ) ? ? ln x0 ∴S ?

1 1 2 AB ? PA ? x0 ? ? ln x0 ? 2 2

S' ?

1 2 1 1 1 ln x0 ? x0 ? 2 ln x0 ? ? ln x0 ? ln x0 ? 2 ? 2 2 x0 2
'

由 S ? 0 得, ∴ x ? ? 0,

1 ? x ?1, e2

? ?

1? ?1 ? 时, S 单调递增; x ? ? 2 ,1 ? 时 S 单调递减; 2 ? e ? ?e ?
1 1 2 ?1? ? 2 ln 2 2 ? 2 2 ? e e ? e ? 2e

∴ Smax ? S ? ∴ 当 x0 ?

1 2 ,面积 S 的最大值为 2 . 2 e e 4? 3 80 r ? ? (l ≥ 2r ) , 3 3

15. 解: (1)由题意可知 ? r l ?
2

即l ?

80 4 ? r ≥ 2r ,则 0 ? r ≤ 2 . 3r 2 3 80 4 ? r ) ? 4? r 2c , 2 3r 3

容器的建造费用为

y ? 2? rl ? 3 ? 4? r 2 ? c ? 6? r (
即y? (2) y? ? ?

160? ? 8? r 2 ? 4? r 2c ,定义域为 {r 0 ? r ≤ 2} . r
20 160? . ? 16? r ? 8? rc ,令 y? ? 0 ,得 r ? 3 2 c?2 r

令r ?

3

20 ? 2, 即 c ? 4.5 , c?2 20 ≥ 2, 当 0 ? r ≤ 2 , y? ? 0 ,函数 y 为减函数, c?2

a。当 3 ? c ≤ 4.5 时, 3

当 r ? 2 时 y 有最小值; b. c ? 4 时,3 当 . 5

20 20 20 ? 2, 当 0 ? r ? 3 ,y? ? 0 ; r ? 3 当 时 y? ? 0 , c?2 c?2 c?2

此时当 r ?

3

20 时 y 有最小值。 c?2

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 2 ? f ( x) ? x x ? 2 ? 2 ? ? 2 16.解: (1)当 a ? 2 时, , ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 2 ?
① 当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) ? 3 ,
2 2

∴ f ( x) 在 (2, ??) 上单调递增; ② 当 x ? 2 时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 2 ? ?( x ? 1) ? 1 ,
2 2

∴ f ( x) 在 (1, 2) 上单调递减,在 (??,1) 上单调递增; 综上所述,f ( x) 的单调递增区间是 (??,1) 和 (2, ??) , 单调递减区间是 (1, 2) . (2)①当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | ,函数 y ? f ( x) 的零点为 x0 ? 0 ;

? x 2 ? ax ? a, x ? a ? ②当 a ? 0 时, f ( x ) ? x x ? a ? a ? ? 2 , ? ? x ? ax ? a, x ? a ?
故当 x ? a 时, f ( x) ? ( x ? ) ?
2

a 2

a2 a ? a ,二次函数对称轴 x ? ? a , 4 2

∴ f ( x) 在 (a, ??) 上单调递增, f (a) ? 0 ;

a 2 a2 a ? a ,二次函数对称轴 x ? ? a , 当 x ? a 时, f ( x) ? ?( x ? ) ? 2 4 2
∴ f ( x) 在 ( , a) 上单调递减,在 ( ??, ) 上单调递增;

a 2

a 2

∴ f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ?( ) ? a ?
2

a 2

a 2

a a2 ?a ? ?a, 2 4

a 1? 当 f ( ) ? 0 ,即 0 ? a ? 4 时,函数 f ( x) 与 x 轴只有唯一交点,即唯一零 2
点, 由 x ? ax ? a ? 0 解之得
2

函 数 y ? f ( x) 的 零 点 为 x0 ? 去) ;

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 或 x0 ? (舍 2 2

a 2? 当 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 时,函数 f ( x) 与 x 轴有两个交点,即两个零点, 2
分别为 x1 ? 2 和 x2 ?

a ? a 2 ? 4a ? 2?2 2 ; 2

a 3? 当 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 时,函数 f ( x) 与 x 轴有三个交点,即有三个零 2
点,

a ? a 2 ? 4a 由 ? x ? ax ? a ? 0 解得, x ? , 2
2

∴函数 y ? f ( x) 的零点为 x ?

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 和 x0 ? . 2 2

综上可得,当 a ? 0 时,函数的零点为 0 ; 当 0 ? a ? 4 时,函数有一个零点,且零点为 当 a ? 4 时,有两个零点 2 和 2 ? 2 2 ; 当 a ? 4 时,函数有三个零点

a ? a 2 ? 4a ; 2

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 和 . 2 2

?1 1 ? ? x , x ? 0, 17. 解:⑴ F ( x) ? ? x , x ? 0 时, F ( x) ? ? x ? 2 x ?e x ? x , x ? 0 ? ?
当 x ? 0 时, F ( x) ? e ? x ,根据指数函数与幂函数的单调性,是单调递增
x

函数 F ( x) ? F (0) ? 1 。 所以 k ? 1 时, F (x) 的值域为 (?? , 1] ? [2 , ? ?)

1 ? ?k ? 2 , ⑵依题意 F ( x ) ? ? x ?e x ? k , ?
/

x ? 0, x ? 0?



① k ? 0 , x ? 0 时,F ( x) ? 0 ,F (x) 递减, x ? 0 时,F ( x) ? 0 ,F (x) 当 当
/ /

递增。② k ? 0 ,
/ 当 x ? 0 时,解 F ( x) ? 0 得 x ?

1 , k

当0 ? x ?

1 / 时, F ( x) ? 0 , F (x) 递减, k

当x ?

1 / 时, F ( x) ? 0 , F (x) 递增。 k
/

当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 , F (x) 递增。 ③ ?1 ? k ? 0 , 当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 , F (x) 递减。
/

当 x ? 0 时,解 F ( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln(?k ) ,
/ x

当 ln(?k ) ? x ? 0 时, F ( x) ? 0 , F (x) 递增,
/

当 x ? ln(?k ) 时, F ( x) ? 0 , F (x) 递减。
/

④ k ? ?1 ,对任意 x ? 0 , F ( x) ? 0 , F (x) 在每个定义域区间上递减
/

综 上 所 述 , k ? 0 时 , F (x) 在 (?? , 0] 或 (

1 , ? ?) 上 单 调 递 增 , 在 k

(0 ,

1 ] 上单调递减;k ? 0 时,F (x) 在 (?? , 0] 上单调递增, (0 , ? ?) 在 k

上 单 调 递 减 ; ? 1 ? k ? 0 时 , F (x) 在 [ln(?k ) , 0] 上 单 调 递 增 , 在

(?? , ln(?k )) 或 (0 , ? ?) 上单调递减; k ? ?1 时, F (x) 在每个定义域区

间上递减。

18. 解: (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ? , x

∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 1 ? . x2 x

∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 ,
2

∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验,当 a ? 3 时, x =1是函数 h ( x ) 的极值点, ∴a ? 3. ?

a2 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ? ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ? , x
∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 1 ? . x2 x a2 1 ? ? 0 ,整理得, 2 x2 ? x ? a 2 ? 0 . x2 x

令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
2

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 ∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ? (舍去) x2 ? , , 4 4
当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

x
h? ? x ?

? 0,x2 ?


x2
0 极小值

? x2,? ? ?


h ? x?

?

?

?1 ? 1 ? 8 a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 依题意, 4
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 .

, ( 2 ) 解 : 对 任意 的 x1 , x2 ? ?1 e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意的 x1 , x2 ? ?1,e?
都有 ? f ? x ? ? ≥ ? g ? x ? ? . ? ? min ? ? max

e 当 x ? ?1, ? 时, g ? ? x ? ? 1 ?

1 ? 0. x

∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e ? 上是增函数. ∴ ? g ? x ?? ? ?

max

? g ?e? ? e ?1 .

∵ f ?? x? ? 1?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? , ,且 x ? ?1 e? , a ? 0 , ? x2 x2

, ①当 0 ? a ? 1且 x ? ?1 e? 时, f ? ? x ? ?
∴函数 f ? x ? ? x ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1,e ? 上是增函数. x
2

∴ ? f ? x ? ? ? f ?1? ? 1 ? a . ? ? min
2 由 1 ? a ≥ e ? 1,得 a ≥ e ,

又 0 ? a ? 1,∴ a 不合题意. ②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x ? a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

若 a ? x ≤ e ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 .
x2

∴函数 f ? x ? ? x ?

a2 在 ?1,a ? 上是减函数,在 ? a,e ? 上是增函数. x

∴ ? f ? x ? ? ? f ? a ? ? 2a . ? ? min 由 2a ≥ e ? 1,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a≤e. 2

e ?1 , 2

, ③当 a ? e 且 x ? ?1 e? 时, f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1,e ? 上是减函数. x
∴ ? f ? x ?? ? f ? e ? ? e ? ? ? min

a2 . e

由e?

a2 ≥ e ? 1,得 a ≥ e , e

又 a ? e ,∴ a ? e . 综上所述, a 的取值范围为 ?

? e ?1 ? , ?? ? 。 ? 2 ?


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