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空间向量及其加减运算_图文

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
??? ??? ? ? (1) AB ? BC ??? ???? ???? ? (2) AB ? AD ? AA1 ??? ??? ??? ? ? ? 解: AB ? BC=AC ; (1) ??? ???? ???? ? (2) AB ? AD ? AA1 ??? ???? ? ? AC ? AA1 ??? ???? ? ? ? AC ? CC1 ???? ? ? AC1
D1
A1

C1 B1

D
A

C B

在空间四边形ABCD中, 化简
A

???? ??? ??? ? ? (1) AG ? ( AB ? BC )
???? ??? ??? ? ? (2) AG ? AB ? BG ??? ??? ??? ? ? ? BG ? BC ? CG
G

D

B C

二、两个向量的数量积

注意: (1)两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的值 为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余 弦值决定. (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过 的数的乘法是有区别的,因此我们书写向量的数量积时,只能 用符号a· b,而不能用a×b,也不能用ab.

三、空间两个向量的数量积的性质

(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质 (2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直,性质(5)是用来求 两个向量的夹角. (3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据.

a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ); ? ? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ); x1 y1 z1 ? ? ??a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R); ? x2 y2 z2 a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; ? ? a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.

? 设? a?? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )

向量的直角坐标运算 ?


设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则

AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.

模长公式: ?

? 若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ? ? ? 2 2 2 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3

? ? ? 2 2 2 | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3

夹角公式:

? ? ? ? a ?b cos a ? b ? ? ? ? | a |?|b |

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32

两点间的距离公式: 若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,

??? ? ??? 2 ? 则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 或
z

A(x1,y1,z1) AB k i x O j B(x2,y2,z2) y

? ? 已知 a ? (2, ?3, 5) , b ? (?3,1, ?4) ,
? ? ? ? ? ? ? ? 求 a ? b , a ? b , | a | , 8a , a ? b . ? ? 解:a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1) ? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9) ? | a |? 22 ? ( ?3) 2 ? 52 ? 38 ? 8a ? 8(2, ?3,5) ? (16, ?24, 40)

? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? ?29

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1E1=D1F1= 求BE1与DF1所成的角的余弦值. D1 Z F 解:不妨设正方体的棱长 1
为1;以D为原点O建立 空间直角坐标系O-XYZ A1
1 1 所以BE1 ? (1, ,1) ? (1,1,0) ? (0,? ,1) 3 4 1 1
DF1 ? (0,
BE1 ? 17 17 A , DF1 ? 4 4 1 15 BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? (? ? 4)+ ?1 1 = X 4 16 15
所以cos ? BE1 , DF1 ?? BE1 ? DF1 BE1 DF1 ? 16 17 17 ? 4 4 ?

A1 B1 4

E1

C1

D(0,0,0) B(1,1,0) 3 1 F1(O,4 ,1) E1(1,,1) 4
4 ,1) ? (0,0,0) ? (0, 4 ,1)

B1

D O

C Y B

15 17

在正方体ABCD—A’B’C’D’中E,F分别是 BB’,B’D’的中点,求证:EF⊥DA’
解:不妨设正方体的 棱长为1;以D为原 点O建立空间直角坐 标系O-XYZ
z D’ A’ F C’

B’ E

??? ???? ? ? 1 1 1 EF ? DA ' ? (? ) ?1 ? (? ) ? 0 ? ?1 ? 0 2 2 A 2 所以EF⊥DA’

1 1 1 1 1 1 E (1,1, ), F ( , ,1) EF ? (? ,? , ) 2 2 2 2 2 2 ???? ? A '(1,0,1), D(0,0,0) DA ' ? (1, 0,1)

D O
B

Cy

X

向量法求点到平面的距离:

P

如图,已知点P(x0,y0,z0), 在平面? 内任意取一点A(x1,y1,z1),

? n

? 一个法向量 n

A

n ? AP ? n ? AP cos? 其中 ? ?? n, AP ?

? n ? AP AP cos? ? ? , n ??? ? AP cos ?的绝对值就是点P到平面?的距离。

???? ? | n ? AP| d ? ? n

?

也就是AP在法向量n上的投影的绝对值

z 已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥ 平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点, 求点B到平面GEF的距离。
??? ??? ??? ? ? ? D 分析 : 以CD, CB, CG的方向 x 为x轴, y轴, z轴的正方向
F E B

G

C

建立空间坐标系,则 A G (0, 2, 0), B (0, 4, 0), A(4, 4, 0),

D (4, 0, 0), E (2, 4, 0), F (4, 2, 0). ??? ? ??? ? ??? ? EF ? (2, ?2, 0), EG ? ( ?2, ?4, 2), BE ? (2, 0, 0) ?? ? 设平面EFG的法向量为n ? ( x, y,1), 则有 :

y

? ??? ? ??? ? ? n ? EF, ? EG n ?2 x - 2 y ? 0 ?? ?-2 x - 4 y ? 2 ? 0 ? 1 1 ? n ? ( , ,1) 3 ???? 3

z
G

x
F A

D

C

? | n ? BE| 2 11 ?d ? ? ? n 11

E

B

? 若平面?的斜线AO交? 于点O, e是单位法向量, ???? ? 则A到平面?的距离为d ?| AO ? e |

评注 :

y

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点, 作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA//平面EDB

P F
D A

(2)求证:PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。

E

C B

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点, 设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 因为底面ABCD是正方形,
所以点G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , ,) 0 2 2

1 1 Z E (0, , ) 2 2

P F
D

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB

1 1 且PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 2 2 所以PA ? 2 EG ,即PA // EG

E

C
G

所以,PA // 平面EDB

A X

Y

B

(2)证明:依题意得B(1,1,0), PB ? (1,1,?1) ???? 1 1 又 DE ? (0, , ), Z 2 2 ??? ???? ? 1 1 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 P 2 2

所以PB ? DE

由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,
所以PB ? 平面EFD A
X D

F

E

C
G

Y

B

(3)解:已知PB ? EF ,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是二面角C ? PB ? D的平面角。

设点F的坐标为( x, y, z ), 则PF ? ( x, y, z ? 1)

因为PF ? k PB 所以( x , y , z ? 1) ? k (1,1, ?1) ? ( k , k , ? k )

Z

P F
D
G

即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k ??? ???? ? 因为PB ? DF ? 0
所以(1,1, ?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 1 A 所以k ? 3 X

E

C B

Y

1 1 2 1 1 点F的坐标为( ,, ) 又点E的坐标为(0, , ) 3 3 3 2 2 1 1 1 所以FE ? (? , ,? ) 3 6??? 6??? ? ? FE ? FD 因为 cos ?EFD ? ??? ??? ? ? FE FD

1 1 1 1 1 2 1 (? , , ? ) ? (? , ? , ? ) 3 6 6 3 3 3 ?6?1 ? 1 2 6 6 ? 3 6 3 ? ? 所以?EFD ? 60 ,即二面角C ? PB ? D的大小为60 .


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