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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.2 瞬时变化率 导数课后知能检测 苏教版选修1-1


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 3.1.2 瞬时变 化率 导数课后知能检测 苏教版选修 1-1

一、填空题 1.已知函数 f(x),当自变量 x 由 x0 变化到 x1 时,函数值的增量与相应的自变量的增量 之比是函数________(填序号). ①在 x0 处的变化率; ②在区间[x0,x1]上的平均变化率; ③在 x1 处的变化率; ④函数在 x0 处的导数. 【解析】 由平均变化率的概念可知②正确. 【答案】 ② Δy 2 2.已知函数 y=2x -1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δ x,1+Δ y),则 等于 Δx Δy ________,当Δ x→0 时, →________. Δx 【解析】 Δy 2 2 因为Δ y=2(1+Δ x) -1-1=2(Δ x) +4Δ x,所以 =4+2Δ x,当Δ x Δx

Δy →0 时, =4+2Δ x→4. Δx 【答案】 4+2Δ x 4 3.某物体走过的路程 S(单位:m)是时间 t(单位:s)的函数:S=t -1,则该物体在 t =2 s 时的瞬时速度为________. 【解析】
2 2

S(2+Δ t)-S(2) Δt



(Δ t) +4Δ t+4-1-4+1 =Δ t+4, Δt

当Δ t→0 时,

S(2+Δ t)-S(2) =Δ t+4→4, Δt

即所求瞬时速度为 4 m/s. 【答案】 4 m/s 4.设函数 f(x)=ax +2,若 f′(-1)=4,则 a=________. 【解析】 Δ y=f(-1+Δ x)-f(-1)
1
2

=a(-1+Δ x) +2-[a(-1) +2] =-2aΔ x+a(Δ x) , ∴ Δy =-2a+aΔ x, Δx
2

2

2

Δy 当Δ x→0 时, →-2a, Δx ∴f′(-1)=-2a=4,∴a=-2. 【答案】 -2 1 2 5.抛物线 y= x 在点 Q(2,1)处的切线方程是________. 4 Δ y f(2+Δ x)-f(2) 1 【解析】 ∵ = = Δ x+1, Δx Δx 4 Δy ∴当Δ x→0 时, →1, Δx ∴k=f′(2)=1, ∴切线方程为 y-1=x-2,即 x-y-1=0. 【答案】 x-y-1=0

6.(2013·陇西高二检测)如图 3-1-5 所示,函数 y=f(x)的图象 在点 P 处的切线方程是 y =- x+ 8,则 f(5)= ________, f′ (5)= ________. 图 3-1-5 【解析】 f(5)=-5+8=3,f′(5)=k 切线=-1. 【答案】 3 -1 7.已知函数 y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线 x-y+2=0 平行,则 f′(2)等于 ________. 【解析】 由题意知 k=1,∴f′(2)等于 1. 【答案】 1 8.曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是________. 【解析】 ∵点 P(1,12)在曲线 y=x +11 上, ∴曲线在点 P 处的切线斜率等于 y=x +11 在 x=1 处的导数. ∴ Δ y f(1+Δ x)-f(1) (1+Δ x) +11-(1 +11) 2 = = =(Δ x) +3Δ x+3, Δx Δx Δx
3 3 3 3 3

Δy 当Δ x→0 时, →3, Δx ∴k=f′(1)=3.
2

又∵过点 P 的切线方程为 y-12=3(x-1), 即 3x-y+9=0, 令 x=0,则 y=9. 【答案】 9 二、解答题 9.已知质点的运动方程为 S(t)=5t (位移单位:m,时间单位:s). (1)求 t 从 3 秒到 3.1 秒的平均速度; (2)求 t 从 3 秒到 3.01 秒的平均速度; (3)求 t 在 t=3 秒时的瞬时速度. 【解】 (1)当 3≤t≤3.1 时, Δ t=0.1, Δ S=S(3.1)-S(3)=5×3.1 -5×3 =5×(3.1 -3)×(3.1+3), ∴ Δ S 5×0.1×6.1 = =30.5(m/s), Δt 0.1
2 2 2

即从 3 秒到 3.1 秒的平均速度为 30.5 m/s. (2)当 3≤t≤3.01 时,Δ t=0.01,Δ S=S(3.01)-S(3) =5×3.01 -5×3 =5×(3.01-3)×(3.01+3), ∴ Δ S 5×(3.01-3)×6.01 = =30.05(m/s), Δt 0.01
2 2

即从 3 秒到 3.01 秒的平均速度为 30.05 m/s. (3)在 t=3 附近取一个小时间段Δ t, ∴Δ S=S(3+Δ t)-S(3)=5×(3+Δ t) -5×3 =5Δ t(6+Δ t), ∴ Δ S 5Δ t(6+Δ t) = =30+5Δ t, Δt Δt
2 2

ΔS 当Δ t→0 时, →30, Δt ∴在 3 秒时的瞬时速度为 30 m/s. 10.利用导数的定义求函数 y= 【解】 法一 Δ y= 1- 1+Δ x 1+Δ x -Δ x 1+Δ x·(1+ 1+Δ x) , 1 1

x

在 x=1 处的导数.

1+Δ x



1 1

= =

3



Δy 1 =- . Δx 1+Δ x(1+ 1+Δ x)

Δy 1 当Δ x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于- . Δx 2 1 ∴f′(1)=- . 2 法二 Δ y= = 1 - 1 =

x+Δ x

x

x- x+Δ x x2+x·Δ x

-Δ x , x2+Δ x·x( x+ x+Δ x) Δy 1 =- 2 , Δx x +Δ x·x( x+ x+Δ x)



Δy x 当Δ x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于- 2. Δx 2x ∴f′(x)=-

x
2x
2



1 ∴f′(1)=- . 2 11.已知曲线 y=x 的切线分别满足下列条件,请求出切点的坐标. (1)平行于直线 y=4x-5; (2)垂直于直线 2x-6y+5=0; (3)切线的倾斜角为 135°. 【解】 设切点坐标为 P(x0,y0),则Δ y=(x0+Δ x) -x0=2x0·Δ x+(Δ x) , Δ y 2x0·Δ x+(Δ x) ∴ = =2x0+Δ x, Δx Δx Δy 当Δ x→0 时, →2x0, Δx ∴f′(x0)=2x0, 即过点 P(x0,y0)的切线的斜率为 2x0. (1)因为切线与直线 y=4x-5 平行, 所以 2x0=4,x0=2,得 P(2,4). 2 3 3 9 (2)因为切线与直线 2x-6y+5=0 垂直,所以 2x0· =-1,得 x0=- ,即 P(- , ). 6 2 2 4 1 (3)因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角,所以其斜率为-1,即 2x0=-1,得 x0=- ,即 2
2 2 2 2 2

P(- , ).

1 2

1 4

4



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