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人教A版高中数学选修2-1课件2.4.1抛物线及其标准方程ppt_图文

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

2.4.1抛物线及其 标准方程

喷泉

球在空中运动的 轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢?
二次函数
y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?

复习回顾: 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征:

都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直 线的距离的比是常数e的点的轨迹.
(其中定点不在定直线上)

(1)当0<e<1时,是椭圆; (2)当e>1时,是双曲线;

l M
·F

l M


l
·M
·F

0<e<1

e>1

e=1

那么,当e=1时,它又是什么曲线?

提出问题:
如图,点是F定点,是L不经过点的定F直线。是上任H意一L 点,
过点作,线段FHF的垂M直H平?分L 线m交MH于点M,拖动点H, 观察点M的轨迹,你能发现点M满足的几何条件吗?

L

H

M

几何画板观察
F

问题探究: 当e=1时,即|MF|=|MH|,点M的轨迹是什么?

H

M· C

探究?

·F

l e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

一、抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F和一

· d M
H

C

条定直线l(l不经过点F)的距



离相等的点的轨迹叫抛物线.

·F 点

点F叫抛物线的焦点,

l

准线

e=1

直线l叫抛物线的准线

d为M到l的距离

即:若 MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d

那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简

单,其标准方程形式怎样?

二、标准方程的推导
解法一:以为L 轴y,过点垂直F于的直线L 为轴建立x直角坐
标系(如下图所示),则定点设动点点,F (由p,抛o)物线定
义得M:(x, y)

(x ? p)2 ? y2 ? x

化简得:y 2

?

2 px

?

p

2
(

p

?

0)

y.
M(X,y)

O

.
F

x

l

二、标准方程的推导

解坐法标x ?二系?:(p以如定 下点 图为 所F 原示点),,过则点定垂点F直,于的的方F直 程(L线 为0, 0为) 轴L建立x 直角

设动点,M由(x,抛y)物线定义得

x2 ? y2 ? x ? p

y p 2

2

化简得: ? 2 px ? ( p ? 0)

二、标准方程的推导

y

解法三:以过F且垂直于l的直线

M(x,y) 为x轴,垂足为K.以F,K的中点O

Ko F

为坐标原点建立直角坐标系xoy.
x 设 M( x, y), FK ? p ,

l

则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x ? ? p

2

2

依题意得 ( x ? p )2 ? y2 ?| x ? p |

2

2

两边平方,整理得

y2 ? 2 px( p ? 0)

这就是所求的轨迹方程.

三、标准方程

把方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.其中 p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.

且p的几何意义是: 焦点到准线的距离

焦点坐标是 ( p , 0) , 2

p 准线方程为: x ? ?
2

想一想:坐标系的建立还有没有其它方案也会

﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 使抛物线方程的形式简单?

y

y

y

ox

ox o x

y
o
x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

图形 ly
OF x

标准方程
y2=2px (p>0)

焦点坐标
( p ,0) 2

准线方程
x??p 2

四.四种 抛物线的 对比

yl

FO

y2=-2px x (p>0)

(? p ,0) 2

x?p 2

P的意义:抛物 线的焦点到准

线的距离

y

F
O

x2=2py

x
l

(p>0)

(0,p ) 2

y??p 2

方程的特点: (1)左边是二次

式,

y
O F

l
x

x2=-2py (0,? p )

(p>0)

2

y? p

(2)右边是一次 式;决定了焦点

2 的位置.

P66思考:
二次函数的图像y ?为a什x么2 (是a ?抛0物) 线?

y ? ax2 (a ? 0) ? x2 ? 1 y ? 1 ? ?2 p

a

a

当a>0时与当a<0时,结论都为:

焦点(0,1 )准线y=- 1

4a

4a

y y=ax2

y=ax2+c y=ax2+bx+c

o

x

例1

(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的

焦点坐标及准线方程 焦点F(,0)32

准线:x=-

3 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求

抛物线的标准方程

x2=-8y

看图

(3)已知抛物线的准线方程为x=1,求抛物线

的标准方程

y2=-4x

看图

(4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程

y2=x或43 x2=y

9

看图

2

课堂练习:

1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

( (12))焦准点 线是 方程F(是3x,=;0)?;14

y2=12x y2=x

(3)焦点到准线的距离是2。
y2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y12+5x=0(4)x2+8y=0

2

焦点坐标

准线方程

(1) (5,0) x=-5

(2) (3) (4)

(0,—1 ) (-—5 ,8 0)
8
(0,-2)

y=-—1
8
x=—5 y=28

例2:一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口(直径) 为4.8m,深度为0.5m。建立适当的坐标系,求抛物线 的标准方程和焦点坐标。
y

A

. o

Fx

B

解:如上图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与 原点重合。
设抛物线的标准方程是,y2由? 2已px知( p条? 0件)
可得,点A的坐标是,(0.5代, 2入.4)方程,得
2.42 ? 2 p ? 0.5
即 p ? 5.76

所以,所求抛物线的标准方程是,y2焦? 1点1.5的2x坐

标是

(2.88, 0)

学习小结:
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式: 每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是: 焦点到准线的距离
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向.

选做作业:

1.抛物线 y ? 16x2 的焦点坐标是( D )

(A) (4, 0)

(B)(0, 4) (C )( 1 , 0) (D) (0, 1 )

64

64

2.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x ? 2 y ? 3

距离相等的点的轨迹为( A )

(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆

3.抛物线 y ? 1 x2 ? x ? 1 的焦点坐标为_(_?_2_,_1_)_.
4

(2000.全国)过抛物线的y 2焦?点ax作(a一? 条0) 直线 F

交抛1物? 线1 于,P 两Q点C,若线段与的P长F分别F为Q,则等于()p, q
pq

1

A.B2a.C.D. 2a

4a

4 a

y 分析:抛物线的标2 ?准ax方(a程?为0),其
焦点为. F (0, 1 )
4a

x2

?

1 a

y

y

取特殊情况,即直线P平Q行与轴,x

P

则,p如? 图q 。

PF ? PM ,? p ? 1 ? 1

故 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 4a

4a 4a
M

pq p p p

FQ

O

x

N

y

lo

x

F(0,-2)

解:(2)因为焦点在y轴的负半轴上,并 且=2,pp2=4,所以所求抛物线的标准方程 是x2=-8y.
返回

yl

Fo

x

X=1

解:(3)因为准线方程是x=1,所以 p=2,且焦点在x轴的负半轴上,所以所 求抛物线的标准方程是y2=-4x.
返回

解:(4)因为(3,2)

点在第一象限,所以

抛物线的开口方向只

能是向右或向上,故

设抛物线的标准方程

是y2=2px(p>0),或

x2=2py(p>0),将

(3,2)点的坐标分

别代入上述方程可得

抛物线的标准方程为

y2=x或43 x2=y

9 2

y

(3,2)

o

x

返回


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