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3-3第三节 三角函数的图象与性质(2015年高考总复习)


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第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形

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第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形

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第三节 ??三角函数的图象与性质

读教材· 抓基础

研考点· 知规律

拓思维· 培能力

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第三节

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高考这样考 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、 周期性及 对称性. 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题. 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中.

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备考这样做 1.会作三角函数的图象,通过图象研究三角函数的性质. 2.对三角函数进行恒等变形,然后讨论其图象、性质. 3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用.

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D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点

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课 本 导 读 1.“五点法”作图原理 在确定正弦函数 y=sinx 在[0,2π]上的图象形状时,起关键作
?π ? ?3 ? (0,0)、?2,1?、(π,0)、?2π,-1?、(2π,0). ? ? ? ?

用的五个点是

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2.三角函数的图象和性质

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3.函数 y=Asin(ωx+φ),或 y=Acos(ωx+φ)(ω>0,且为常数) 2π 的周期 T= ω ,函数 y=Atan(ωx+φ)(ω>0,且为常数)的周期 π T= ω .

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疑 点 清 源 1.应用 y=sinx 与 y=cosx 的图象时,y=sinx 常用 x∈[0,2π]
? π 3π? 或?-2, 2 ?上的图象,而 ? ?

y=cosx 的图象常用 x∈[0,2π]或[-π,π]

上的图象,注意根据问题灵活选择.

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2 .求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y= Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间.应特别注意,在函数的定义域内考虑.注意区分下 列两题的单调增区间不同.
? ?π ? π? (1)y=sin?2x-4?;(2)y=sin?4-2x?. ? ? ? ?

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3.三角函数的奇偶性问题 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asinωx 或 y=Atanωx, 而偶 函数一般可化为 y=Acosωx+b 的形式.

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基 础 自 评 1.函数
?π ? y=tan?4-x?的定义域是( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
第三章 第三节

)

? ? ? π A.?x?x≠4,x∈R ? ? ?

? ? ? π ? ? B. x x≠-4,x∈R ? ? ?

? ? ? 3π ? ? C. x x≠kπ- 4 ,k∈Z,x∈R ? ? ? ? ? ? 3π ? ? D. x x≠kπ+ 4 ,k∈Z,x∈R ? ? ?
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解析

π π 3π ∵x- ≠kπ+ ,∴x≠kπ+ ,k∈Z. 4 2 4

答案 D

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2.下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是( A.y=cos2x C.y=tan2x B.y=sin2x
? π? D.y=sin?2x-2? ? ?

)

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解析

选项 A、D 中的函数均为偶函数,C 中函数的最小正

π 周期为2,故选 B.

答案 B

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3.函数 y=|sinx|的一个单调增区间是(
? π π? A.?-4,4? ? ? ? 3π? C.?π, 2 ? ? ? ?π 3π? B.?4, 4 ? ? ? ?3π ? D.? 2 ,2π? ? ?

)

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解析

作出函数 y=|sinx|的图象观察可知,函数 y=|sinx|在

? 3π? ?π, ?上递增. 2? ?

答案 C

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? ? π? π? 4.比较大小,sin?-18?________sin?-10?. ? ? ? ?

解析

因为 y=sinx

? π ? π π 在?-2,0?上为增函数且- >- ,故 18 10 ? ?

? ? π? π? sin?-18?>sin?-10?. ? ? ? ?

答案

>

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? π? 5 . y = 2 - 3cos ?x+4? 的最大值为 ____________ .此时 ? ?

x=

________.

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解析



? π? cos?x+4?=-1 ? ?

时,函数

? π? y=2-3cos?x+4? ? ?

π 3 取得最大值 5,此时 x+ =π+2kπ,从而 x= π+2kπ,k∈Z. 4 4

答案

5

3 π+2kπ,k∈Z 4

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Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法

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题型一 【例 1】 (2) 当

三角函数的定义域与值域 (1)函数 y= sinx-cosx的定义域为________. y = 3 - sinx - 2cos2x 的最小值是

?π 7π? x ∈ ?6, 6 ? 时,函数 ? ?

________,最大值是________.

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【思维启迪】 可设 t=sinx,由 听课记录

(1)转化为 sinx≥cosx;(2)利用换元法求解,
? 1 ? t∈?-2,1?. ? ?

?π 7 ? x∈?6,6π?,得 ? ?

(1)要使函数有意义,必须有 sinx-cosx≥0,即

sinx≥cosx,同一坐标系中作出 y=sinx,y=cosx,x∈[0,2π]的图象 如下图所示.

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结合图象及正、余弦函数的周期是 2π 知,函数的定义域为
? ? ? π 5 ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z 4 4 ? ? ? ? ? ?. ? ?

?π 7π? ? 1 ? (2)∵x∈?6, 6 ?,∴sinx∈?-2,1?. ? ? ? ?

又 y=3-sinx-2cos2x=3-sinx-2(1-sin2x)
? 1?2 7 =2?sinx-4? +8. ? ?

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1 7 ∴当 sinx= 时,ymin= ; 4 8 1 当 sinx=- 或 sinx=1 时,ymax=2. 2

【答案】 7 (2) 8 2

π 5 (1){x|2kπ+4≤x≤2kπ+4π,k∈Z}

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【规律方法】

(1)三角函数的定义域的求法.

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组), 常借 助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法. ①利用 sinx 和 cosx 的值域直接求; ②把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域; ③把 sinx 或 cosx 看作一个整体,转换成二次函数求值域.

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变式思考 1 ________. (2)函数

(1) 函 数 y =

2+log1 x + tanx 的 定 义 域 为
2

? ? π? π? f(x)=3sin?2x-6?在区间?0,2?上的值域为( ? ? ? ? ? 3 ? B.?-2,3? ? ? ? 3 3 ? ? ? D.?- ,3? 2 ? ?

)

? 3 3? A.?-2,2? ? ? ? 3 3 3 3? ? C.? - , ? 2 2 ? ? ?

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解析

(1)要使函数有意义

x≥0, ? ?2+log1 2 ? ?x>0, 则?tanx≥0, ? π ? x≠kπ+2,k∈Z ? ?

0<x≤4, ? ? ?? π kπ≤x<kπ+2,k∈Z. ? ?

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利用数轴可得函数的定义域是
? ? ? π ?x?0<x< ,或π≤x≤4 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)当

? π? π ? π 5π? x∈?0,2?时,2x- ∈?-6, 6 ?, 6 ? ? ? ?

? ? π? ? 1 sin?2x-6?∈?-2,1?, ? ? ? ?

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? ? π? ? 3 3sin?2x-6?∈?-2,3?,即此时函数 ? ? ? ?

? 3 ? f(x)的值域是?-2,3?. ? ?

答案

? ? ? π (1)?x?0<x<2,或π≤x≤4 ? ? ?

? ? ? ? ?

(2)B

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题型二 【例 2】 已知 调递增区间. 【思维启迪】

三角函数的单调性及应用
?π ? f(x)=sinx+sin?2-x?,x∈[0,π],求 ? ?

f(x)的单

先化简为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.

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听课记录

?π ? f(x)=sinx+sin?2-x?=sinx+cosx= ? ?

? π? 2sin?x+4?. ? ?

π π π 由- +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得: 2 4 2 3π π - 4 +2kπ≤x≤4+2kπ,k∈Z, 又
? π? x∈[0,π],∴f(x)的单调递增区间为?0,4?. ? ?

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【规律方法】 求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只 需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sinx 的相应单调区间内即可, 若 ω 为负则要先把 ω 化为正数.

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变式思考 2

(1)函数 y=|tanx|的增区间为________.
?π ? ?π? ?π ? a=f?7?,b=f?6?,c=f?3?, ? ? ? ? ? ?

(2)已知函数 f(x)=sinx+ 3cosx,设 则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<a<b )

C.b<a<c D.b<c<a

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解析

(1)作出 y=|tanx|的图象,观察图象可知,y=|tanx|的增

? π? 区间是?kπ,kπ+2?,k∈Z. ? ?

(2)f(x)=sinx+ 调递增,所以

? π? 3cosx=2sin?x+3?, 因为函数 ? ?

? π? f(x)在?0,6?上单 ? ?

?π? ?π? f?7?<f?6?,而 ? ? ? ?

?π ? ?π ? 2π π c=f?3?=2sin =2sin =f(0)<f?7?, 3 3 ? ? ? ?

所以 c<a<b.

答案

? π? (1)?kπ,kπ+2?,k∈Z ? ?

(2)B

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题型三

三角函数的周期性、奇偶性与对称性

【例 3】 (1)对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是 ( ) π π A.f(x)在(4,2)上是递增的 B.f(x)的图象关于原点中心对称 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2

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π π (2)直线 x= , x= 都是函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, -π<φ≤π) 3 2 的对称轴,且函数
?π π ? f(x)在区间?3,2?上单调递减,则( ? ?

)

π A.ω=6,φ=2 π C.ω=3,φ= 2

π B.ω=6,φ=-2 π D.ω=3,φ=- 2

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【思维启迪】

(1)先化简,再求解;

(2)结合选项可知,两对称轴间的距离应为函数的半个周期, 从而求出 出 φ.
?π π ? ?π? ?π? ω,再由在?3,2?上单调递减知 f?3?=1,f?2?=-1,可求 ? ? ? ? ? ?

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听课记录

(1)∵f(x)=2sinxcosx=sin2x,

∴函数 f(x)为奇函数,其图象关于原点中心对称.故选 B.
?π π ? π π (2)∵x=3,x=2均为函数的对称轴,且在?3,2?上单调递减, ? ?

T π π π π ∴ 2 =2-3=6,∴T=3. π 2π 由 T= = ,得 ω=6. 3 ω

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∵函数

?π π ? f(x)在?3,2?上单调递减, ? ?

?π? ?π? ∴f?3?=1,f?2?=-1. ? ? ? ?

代入函数可得 sinφ=1,sin(π+φ)=-1, π 又 φ∈(-π,π],∴φ= .故选 A. 2

【答案】 (1)B (2)A

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【规律方法】 (1)对于正、余弦函数相邻两条对称轴(两个对 1 称中心)之间距离为2个周期,且其对称轴一定通过图象的最高点 或最低点,对称中心为函数与 x 轴的交点. (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义; ②利用公式: y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 2π π 为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 ; |ω| |ω| ③利用图象.
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变式思考 3

3 (1)(2013· 浙江卷 )函数 f(x)= sinxcosx+ cos2x 2 )

的最小正周期和振幅分别是( A.π,1 C.2π,1 B.π,2 D.2π,2

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(2)(2013· 浙江卷)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈ π R),则“f(x)是奇函数”是“φ=2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

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解析

3 1 3 (1)因为 f(x)=sinxcosx+ 2 cos2x=2sin2x+ 2 cos2x=

π sin(2x+ ),所以最小正周期为 π,振幅为 1. 3 π π (2)f(x)是奇函数,则 φ=kπ+ (k∈Z);φ= 时,则 f(x)是奇函 2 2 数,故选 B.

答案 (1)A (2)B

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名 师 微 博 ●三种方法——求三角函数值域(或最值)的方法 (1)利用 sinx、cosx 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分 析 ωx+φ 的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sinx 或 cosx 看作一个整体,可化为求函数在区 间上的值域(最值)问题.

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●四个注意点——研究三角函数性质应注意的问题 (1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质,求三 角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象. (2)闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单 调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. (3)利用换元法求复合函数的单调性时, 要注意 x 系数的正负.

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(4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性, 如:y=sin2x-4sinx+5,令 t=sinx(|t|≤1),则 y=(t-2)2+1≥1, 解法错误.

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T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力

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思想方法系列 利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度 相对较大一些.正确利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟 练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常将方程的思想 与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进 行策略性的分类解析.

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一、根据三角函数的单调性求解参数 【典例 1】 (2013· 镇江三校联考)已知函数
? π? f(x)=sin?ωx+3?(ω ? ?

? 5π π? >0)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z),单调递减区间为 ? ? ? π 7π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z),则 12 12? ?

ω 的值为__________.

【思维启迪】 周期.

两个已知的单调区间的并集就是函数的一个

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【解析】 则 ω=2.

? 7π? ? 5π? 由?kπ+12?-?kπ-12?=π ? ? ? ?

得函数 f(x)的周期为 π,

【答案】 2

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【心得体会】

解答此类问题要注意单调区间的给出方式,

? 5π π? 如“函数 f(x)在?kπ-12,kπ+12?(k∈Z)上单调递增”与“函数 f(x) ? ? ? 5π π? 的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z)”,二者是不相同的. ? ?

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二、根据三角函数的奇偶性求解参数 【典例 2 】 (2014· 泉州质检 ) 已知 f(x) = cos( 3 x + φ) - 3 )

sin( 3x+φ)为偶函数,则 φ 可以取的一个值为( π A.6 π C.-6 π B.3 π D.-3

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【思维启迪】

化为只含有一个角、一个三角函数符号的式

子是处理奇偶性的切入点.

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【解析】
? 2cos ? ?

由 已 知 得 f(x) = 2cos

? ? ?

? π?? 3x+?φ+3?? ? ??

,则 sin 3

? ? π ?? 3x+?φ+3?? = 2cos ?- ? ?? ?

? π ?? 3x+?φ+3?? 恒成立,展开得 ? ??

? π? xsin?φ+3?=0 ? ?

恒成立.故

? π? sin?φ+3?=0 ? ?

恒成立,只有选项 D 符合.

【答案】 D

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【心得体会】 函数 y=Acos(ωx+φ)+B 为奇函数?φ=kπ+ π 2(k∈Z),且 B=0,为偶函数?φ=kπ(k∈Z).

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自主体验 1.使 f(x)=sin(2x+y)+ 是减函数的 y 的一个值是( π A.3 4π C. 3 5π B. 3 2π D. 3
? π? 3cos(2x+y)为奇函数,且在?0,4?上 ? ?

)

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解析

∵f(x)=sin(2x+y)+ 3cos(2x+y)

? π? =2sin?2x+y+3?为奇函数, ? ?

∴f(0)=0, 即 siny+ 3cosy=0, ∴tany=- 3, 故排除 A、 C; 又函数
? π? f(x)在?0,4?上是减函数,只有 ? ?

D 选项满足.

答案 D

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?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

2.(2014· 荆州模拟)若函数 y=2cosωx 且有最小值 1,则 ω 的值可以是( A.2 C .3 1 B.2 1 D.3 )

? 2π? 在区间?0, 3 ?上递减, ? ?

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新课标A版数学

解析 则有

由 y=2cosωx

? 2π? 在?0, 3 ?上是递减的,且有最小值为 ? ?

1,

?2π? f? 3 ?=1,即 ? ?

? 2π? 2×cos?ω× 3 ?=1, ? ?



?2π ? 1 cos? 3 ω?=2,检验各选项,得出 ? ?

B 项符合.

答案 B

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