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山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 第二讲 概率讲练 理 新人教A版

第二讲 概率

一、随机事件的概率 1 、概率和频率 (1) .在相同的条件下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的 频率. (2) .对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数 的增加稳定 于概率 P(A),因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 2、事件的关系与运算 名称 定义 符号表示 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 B? A(或 A 包含关系 A(或称事件 A 包含于事件 B) ? B) 相等关系 若 B? A,且 A? B,那么称事件 A 与事件 B 相等 A=B 并事件(和事 某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生, 则称此事件为 A∪B(或 A 件) 事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) +B) 交事件(积事 某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生, 则称此事件为 A∩B(或 件) 事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) AB) 互斥事件 若 A∩B 为不可能事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥 A∩B=? 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事 对立事件 件 B 互为对立事件 互斥事件与对立事件区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互 斥事件是不可能同时发生的两个事件, 而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立 事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 3、概率的几个基本性质 (1) .概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2) .必然事件的概率 P(E)=1. (3) .不可能事件的概率 P(F)=0. (4) .概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B). (5) .对立事件的概率
1

nA n

若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B ). 二、古典概型 1、基本事件的特点 (1) .任何两个基本事件是互斥的. (2) .任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 古典概型中基本事件数的计算方法 (1)列举法:此法适合于较简单的试验. (2)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适合较复杂问题中基本事件数的探 求. (3)列表法:对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便. 2、古典概型 (1) .定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 有限性 等可能性 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 每个基本事件出现的可能性相等

(2) .古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数 三、几何概型 1、几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样 的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2、几何概型的两个基本特点

几何概型的特点 几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个, 它的特点是试验 结果在一个区域内均匀分布,故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关, 只与该区域的大小有关. 3、几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 基础自测 1.袋中装有 3 个白球,4 个黑球,从中任取 3 个球,则①恰有 1 个白球和全是白球; ②至少有 1 个白球和全是黑球; ③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球; ④至少有 1 个白球和 至少有 1 个黑球.在上述事件中,是对立事件的为( ) A.① B.② C.③ D.④ 【解析】 至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生, 且一定有一个发生. ∴②中两事件是对立事件. 【答案】 B 2.(2010·上海高考)从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 1 张,事件 A 为“抽得 红桃 K”,事件 B 为“抽得为黑桃”,则概率 P(A∪B)=________(结果用最简分数表示). 【解析】 52 张中抽一张的基本事件为 52 种,事件 A 为 1 种,事件 B 为 13 种,并且 A 与 B 互斥, 1 13 7 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = . 52 52 26
2

7 26 3.(2013·江西高考)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各任意取一个数,则这 两数之和等于 4 的概率是( ) 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 3 6 【解析】 从 A,B 中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6 2 1 个基本事件,满足两数之和等于 4 的有(2,2),(3,1)2 个基本事件,所以 P= = . 6 3 【答案】 C 4.如图 10-3-1,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机取一 个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 1 1 A. B. 4 3 1 2 C. D. 2 3 【答案】 【解析】 “点 Q 取自△ ABE 内部”记为事件 M ,由几何概型得 P(M) =

S△ABE S矩形ABCD



1 ·|AB|·|AD| 2 1 = . |AB|·|AD| 2 【答案】 C 考点一 互斥事件与对立事件的概率 例 国家射击队的队员为在第 51 届射击世锦赛上取得优异成绩, 正在加紧备战, 经过近 期训练,某队员射击一次命中 7~10 环的概率如下表所示: 命中环数 10 环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该射击队员射击一次: (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)命中不足 8 环的概率. 【思路点拨】 该射击队员在一次射击中,命中几环不可能同时发生,故是彼此互斥事 件,利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外,当直接求解不容易时,可先求其对立事件 的概率. 【尝试解答】 记事件“射击一次,命中 k 环”为 Ak(k∈N,k≤10),则事件 Ak 彼此互 斥. (1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件 A,那么当 A9,A10 之一发生时,事件 A 发 生,由互斥事件的加法公式得 P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60. (2)设“射击一次,至少命中 8 环”的事件为 B,则 B 表示事件“射击一次,命中不足 8 环”. 又 B=A8+A9+A10,由互斥事件概率的加法公式得 P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78. ∴P( B )=1-P(B)=1-0.78=0.22. 因此,射击一次,命中不足 8 环的概率为 0.22. 方法与技巧 1.解答本题时, 首先应正确判断各事件的关系, 然后把所求事件用已知概 率的事件表示,最后用概率加法公式求解. 2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法: 一是直接求解法, 将所求事件的概率分解 为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由

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P?A?=1-P? A ?求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题,多考虑间接法.
跟踪练习 某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多 2 人排队等候的概率是多少? (2)至少 3 人排队等候的概率是多少? 【解】 (1)记“在窗口等候的人数 i”为事件 Ai+1,i=0,1,2,它们彼此互斥,则至多 2 人排队等候的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =0.1+0.16+0.3=0.56. (2)至少 3 人排队等候的概率为 1-P(A1∪A2∪A3)=1-0.56=0.44. 考点二 古典概型的概率 例 (2013·山东高考)某小组共有 A,B,C,D,E 五位同学,他们的身高(单位:米)及 2 体重指标(单位:千克/ 米 )如下表 所示:

A

B

C

D

E

身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低 于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概 率; (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)中的概率. 【思路点拨】 依题意,所求事件的概率满足古典概型,分别求基本事件总数与所求事 件所包含的基本事件个数 m,进而利用古典概型概率公式计算. 【尝试解答】 (1)从身高低于 1.80 的同学中任取 2 人, 其一切可能的结果组成的基本 事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个. 3 1 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P= = . 6 2 (2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C), (A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C, D), (C, E), (D,E),共 3 个. 3 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为 P = . 10 方法与技巧 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基 本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形 图法,具体应用时可根据需要灵活选择. 跟踪练习 [2014·山东卷] 海关对同时从 A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽 样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从 这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 数量

A
50

B
150

C
100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相

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同地区的概率. 解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 1 1 1 = ,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50× =1,150× 50+150+100 50 50 50 1 =3,100× =2. 50 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. (2)设 6 件来自 A, B,C 三个地区的样品分别为: A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为: {A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1, C2},{B2,B3}{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”, 则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 4 4 所以 P(D)= ,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 15 15 考点三 几何概型 例[2014·湖南卷] 在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( ) 4 3 A. B. 5 5 2 1 C. D. 5 5 1-(-2) 3 答案:B [解析] 由几何概型概率计算公式可得 P= = . 3-(-2) 5 跟踪练习 [2014·辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图 1?1 所示的长方形 ABCD 中,其 中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

图 1?1 π π A. B. 2 4 π π C. D. 6 8 答案:B [解析] 由题意 AB=2,BC=1,可知长方形 ABCD 的面积 S=2×1=2,以 AB π 2 1 π 2 为直径的半圆的面积 S1= ×π ×1 = .故质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 P= = 2 2 2 π . 4

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