当前位置:首页 >> 数学 >>

高三第一轮复习导学案--导数的应用(1)A

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

导数的应用(1)---导数在研究函数中的应用(教案)A 一、知识梳理 1、函数的单调性与导数的关系:利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:

?1? 求 f ?( x) ; ? 2 ? 确定 f ?( x) 在 ? a, b ? 内符号 ; ? 3? 若 f ?( x) ? 0 在 ? a, b ? 上恒成立,则
f ( x) 在 ? a, b ? 上是增函数;若 f ?( x) ? 0 在 ? a, b ? 上恒成立,则 f ( x) 在 ? a, b ? 上是减函

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

① f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 为增函数( f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 为减函数). ② f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上是增函数 ? f ?( x ) ≥ 0 在 ? a, b ? 上恒成立;

f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数 ? f ?( x ) ≤ 0 在 ? a, b ? 上恒成立.
2. 极大值: 一般地,设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f ( x) ? f ( x0 ) , 就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大值, 记作 y 极大值 ? f ( x0 ) ,x0
是极大值点. 3. 极小值:一般地,设函数 f ( x) 在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) 就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极小值,记作 y 极小值 ? f ( x0 ) , x0 是极 小值点. 4. 极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值 请注意以下几点: ( 1 )极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数 值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. ( 2 )函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极 xs 大值或极 小值可以不止一个. ( 3 )极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小 值,如下图所示, x1 是极大值点, x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) . ( 4 )函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函 数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 5. 当 f ( x) 在点 x0 连续时,判别 f ( x0 ) 是极大、极小值的方法:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极 大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的 极小值点, f ( x0 ) 是极小值.

若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值

?1? 确定函数的定义区间,求导数 f ?( x) ? 2 ? 求方程 f ?( x) ? 0 的根
1

6. 求可导函数 f ( x) 的极值的步骤:

王新敞
奎屯

新疆

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

? 3? 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.
检查 f ?( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f ( x ) 在这个根处取得极 大值;如果左负右正,那么 f ( x ) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那 么 f ( x ) 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导, 也需要考虑这些点是 否是极值点 .

7. 函数的最大值和最小值:一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必
有最大值与最小值. 说明: ?1? 在开区间 ( a , b ) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值.如函数

f ( x) ?

1 在 (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; x

函数的极值是比较极值点 ? 2 ? 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的; 附近函数值得出的.

? 3? 函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最
小值的充分条件而非必要条件.

? 4 ? 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不
止一个,也可能没有一个.

8. 利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数 f ( x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点 的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续, 在 ( a, b) 内可导, 则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与 最小值的步骤如下: ?1? 求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (二)题型探究: 探究 1.研究函数的图象

? 2 ? 将 f ( x) 的各极值与 f (a) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值 p
王新敞
奎屯 新疆

2

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

例 1、 ( 08 届云南平远一中五模)函数 y ? f ( x) 在定义域 ( ?

3 ,3) 内可导,其图象如 2

图所示,记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,则不等式 f ?( x) ? 0 的解集为

1 A. [? ,1] ? ?2,3? 3
3 1 C. [? , ] ? ?1,2 ? 2 2

1 4 8 B. [?1, ] ? [ , ] 2 3 3
? 3 ? 1 4 ?8 ? D. ? ? ,?1? ? [ , ] ? ? ,3 ? ? 2 ? 2 3 ?3 ?
)

例 2. 已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示, 则不等式 xf′(x)<0 的解集为(

1 1 1 A.(-∞, )∪( ,2) B.(-∞,0)∪( ,2) 2 2 2 1 1 1 C.(-∞, ∪( ,+∞) D.(-∞, )∪(2,+∞) 2 2 2 1 解析:选 B.由 f(x)图象单调性可得 f′(x)在(-∞, )∪(2,+∞)大于 0,在 2 1 1 ( ,2)上小于 0,∴xf′(x)<0 的解集为(-∞,0)∪( ,2). 2 2 例 3、作出函数的草图

3

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

题型 2:讨论函数的单调性 例 4:设 函数 ,试讨论函数的单调性

探究 2:导数与函数的极值和最值 例 5:设函数,其中求函数的最大值和最小值。

例 6:已知函数 (1)、求的最小值;

(2) 、若对所有的,都有 ,求实数 a 的取值范围。

4

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

题型 2:已知函数的极大值和最值,求参数的值或取值范围。 例 6:函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R , (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间和极值;
3

(Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)已知当 x ? (1, ??) 时, f ( x ) ≥ k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

? 2 ? ( 08 届高三浙江上虞市调研)已知 f ( x) ? 1 ? 2x ? x2 ,那么 g( x) ? f ? f ( x)?
A. 在区间 ? ?2,1? 上单调递增 C. 在 ? ?1,1? 上单调递增 B. 在 ? 0, 2 ? 上单调递增 D. 在 ?1, 2 ? 上单调递增

? 3?

问题 3. ( 07 天津)已知函数 f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R) ,其中 a ? R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

5

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

问题 4. ( 07 湖 北 ) 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , 2

g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该 点处的切线相同. (Ⅰ) 用 a 表示 b , 并求 b 的最大值; (Ⅱ) 求证:f ( x ) ≥ g ( x) (x ? 0) .

问题 5.利用导数求和:

?1? Sn ? 1? 2x ? 3x2 ???? ? nxn?1 ( x ? 0 ,

x ? N * ).

* 1 2 3 n ( x ? N ). ? 2Cn ? 3Cn ???? ? nCn ? 2 ? Sn ? Cn

三、方法提升 1、求参数范围的方法:①分离变量法;②构造(差)函数法. 2、构造函数法是证明不等式的常用方法:构造时要注意四变原则:变具体为抽象, 变常量为变量,变主元为辅元,变分式为整式. 3、 通过求导求函数不等式的基本思路是: 以导函数和不等式为基础, 单调性为主线, 最(极值)为助手,从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. 四、反思感悟:

1. 已知函数 f ( x) ? x4 ? 4x3 ? 10 x2 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 ?1, 2? 上的根有

五、课后作业:

A. 3 个

B. 2 个

C. 1 个

D. 0 个

6

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

2. ( 06 郑州一中等四校联考)若函数 y ? f ( x) 在 R 上可导且满足不等式 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 恒成立,且常数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. af (a) ? bf (b) B. af (b) ? bf (a) C. af (a) ? bf (b) D. af (b) ? bf (a)
3、 ( 07 届高三陕师大附中八模)如果 f ?( x ) 是二次函数, 且 f ?( x ) 的图象开口向上, 顶点坐标为 (1, ? 3) , 那么曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是

A. (0,

2? ? 2? ? 2? ? 2? ] B. [0, ) ? [ , ? ) C. [0, ] ? [ , ? ) D. [ , ] 3 2 3 2 3 2 3

4、 ( 08 届厦门双十中学高三月考)如图,是函数
2 等于 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图像,则 x12 ? x2

A.

8 9

B.

10 16 C. 9 9

D.

28 9

1 , 3 , 5

5、 ( 06 天津)函数 f ( x ) 的定义域是开区间 ? a, b ? , 导函数 f ?( x ) 在 ? a, b ? 内的图象如图所示,则函数

y

y ? f ?? x?
b

f ( x) 在开区间内有极小值点
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

a

O

x

6、 ( 08 届高三哈尔滨第三中学第一次月考) 函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x 的图象如图所示,
3 2

且 x1 ? x2 ? 0 ,则有

A. a ? 0, b ? 0 C. a ? 0, b ? 0

B. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0, b ? 0

7

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

7、求满足条件的 a 的范围:

?1? 使 y ? sin x ? ax 为 R 上增函数,则 a 的范围是 ? 2 ? 使 y ? x 3 ? ax ? a 为 R 上增函数,则 a 的范围是 ? 3? 使 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? x ? 5 为 R 上增函数,则 a 的范围是

8、已知: x ? 1 ,证明不等式: x ? ln ?1 ? x ?

9、设 f ( x) ? ax ? x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求出这三个单调
3

区间

8

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

六、走向高考: 1.【2012 高考重庆文 8】设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x ) 在

x ? ?2 处取得极小值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

【答案】C 2.【2012 高考浙江文 10】设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 A. 若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B. 若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C. 若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D. 若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 【答案】A 3.【2012 高考陕西文 9】设函数 f(x)=

2 +lnx 则 x
B.x=





A.x=

1 为 f(x)的极大值点 2

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点 【答案】D. 4.【2012 高考辽宁文 8】函数 y= (A) ( ? 1,1] 【答案】B

D.x=2 为 f(x)的极小值点

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
(C.)[1,+∞) (D) (0,+∞)

(B) (0,1]

5.【2102 高考福建文 12】已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f (c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<

9

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ 【答案】C. C.②③ D.②④
2

6. 【2012 高考辽宁文 12】 已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点, 点 P,Q 的横坐标分别为 4,

? 2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为
(A) 1 【答案】C 7.【2012 高考新课标文 13】曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________ 【答案】 y ? 4 x ? 3 8.【2012 高考上海文 13】已知函数 y ? f ( x) 的图像是折线段 ABC ,其中 A(0, 0) 、 (B) 3 (C)

?4

(D)

?8

1 B ( ,1) 、 C (1, 0) ,函数 y ? xf ( x) ( 0 ? x ? 1 )的图像与 x 轴围成的图形的面积为 2 1 【答案】 。 4
9【2102 高考北京文 18】 (本小题共 13 分) 2 已知函数 f(x)=ax +1(a>0),g(x)=x3+bx。 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围。 【答案】

10.【2012 高考江苏 18】 (16 分)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值, 则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点。

10

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,
【答案】解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 。 (2) ∵ 由 (1) 得,f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ?1? ? x ? 2? ,
2

解得: x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。 ∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x) 是 奇函数,∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2。 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根。由(1)知 f' ( x)=3 ? x ?1?? x ?1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 。 此时 f ( x)=d 在 ? 2, ? ?? 无实根。

11

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

② 当 x ? ?1 , 2? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x ? ? ?1 , 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1, t2 =2 。 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点。 ( 11 )当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i=3, 4, 5 。 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个 零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】 (1)求出 y ? f ( x) 的导数,根据 1 和 ?1是函数 y ? f ( x) 的两个极值点代入 列方程组求解即可。 (2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况;

12

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

再考虑函数 y ? h( x) 的零点。 11.【2012 高考天津文科 20】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,x 其中 a>0. 3 2

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a=1 时,设函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t), 记 g(t)=M(t)-m(t),求函数 g(t)在区间 [ ?3,?1] 上的最小值。 【答案】

13

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

12.【2012 高考广东文 21】 (本小题满分 14 分) 设 0 ? a ? 1, 集合 A ? {x ? R | x ? 0} ,B ? {x ? R | 2x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} ,
2

D ? A? B .
(1)求集合 D (用区间表示) (2)求函数 f ( x) ? 2x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
3 2

【答案】 【解析】 (1)令 g ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ,
2

? ? 9(1 ? a)2 ? 48a ? 9a2 ? 30a ? 9 ? 3(3a ?1)(a ? 3) 。

14

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015



当0 ? a ?

1 时, ? ? 0 , 3

) 方 程 g(x ?

0 的 两 个 根 分 别 为 x1 ?

3a ? 3 ? 4

2

a 9

? 3a 0 ?



9

x2 ?

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 , 4

所以 g ( x) ? 0 的解集为

(??,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) 。 4 4

因为 x1 , x2 ? 0 ,所以 D ? A ? B ?

(0,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) 。 4 4
1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,则 g ( x) ? 0 恒成立,所以 D ? A ? B ? (0, ??) , 3 1 时, D ? 3

② 当

综上所述,当 0 ? a ?

(0,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) ; 4 4



1 ? a ? 1 时, D ? (0, ??) 。 3
2

(2) f ?( x) ? 6 x ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ? a)( x ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 。 当0 ? a ?



1 时,由(1)知 D ? (0, x1 ) ? ( x2 , ??) , 3

15

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

因为 g (a) ? 2a ? 3(1 ? a)a ? 6a ? a(3 ? a) ? 0 ,
2

g (1) ? 2 ? 3(1 ? a) ? 6a ? 3a ? 1 ? 0 ,
所以 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(0, a )

a
0 极大值

?


(a, x1 ) ?


( x2 , ??)

?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,没有极小值点。

② 当

1 ? a ? 1 时,由(1)知 D ? (0, ??) , 3

所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(0, a ) ?


a
0 极大值

(a,1) ?


1
0 极小值

(1, ??) ?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,极小值点为 x ? 1 。 综上所述,当 0 ? a ?

1 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? a ,没有极小值点; 3



1 ? a ? 1 时, f ( x) 有一个极大值点 x ? a ,一个极小值点 x ? 1 。 3

13.【2102 高考福建文 22】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

3 ? ?3 ? ?? (a ? R ), 且在 , ?0, ? 上的最大值为 , 2 2 ? 2?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π )内的零点个数,并加以证明。

16

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

【答案】

14.【2012 高考四川文 22】(本小题满分 14 分)

17

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , 2

设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n ? 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1 1 1 1 ? ? ??? ? 与 f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由。 f (0) ? f (1)

命题立意: 本题主要考查导数的应用、 不等式、 数列等基础知识, 考查基本运算能力、 逻辑推理能力、 分析问题与解决问题的能力和创新意识, 考查函数与方程、 数形结合、 分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 【答案】 【解析】

18

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

15.【2012 高考湖南文 22】本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=ex-ax,其中 a>0. (1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A (x1, f(x1)) ,B(x2, f(x2))(x1<x2), 记直线 AB 的斜率为 k,
[@#中国^教 育出版 &网~ ] [z

证明:存在 x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 恒成立.
x 【答案】解: f ?( x) ? e ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a .

当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增,故 当 x ? ln a 时, f ( x ) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a.

19

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

a ? a ln a ? 1.
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 ? ? a. x2 ? x1 x2 ? x1
x

令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e ?

e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

e x1 ? ? ( x1 ) ? ? e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? ? ?, x2 ? x1

? ( x2 ) ?

e x2 ? e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? ? ?. x2 ? x1
t t

令 F (t ) ? e ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.
t

从而 e

x2 ? x1

? ( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , ex1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又

e x1 e x2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.

20

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

【解析】 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运 算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法 .第一问利用导函数法求出

f ( x) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a. 对一切 x∈R, f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x)min ? 1从
而得出求 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一 个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断. 16.【2012 高考新课标文 21】(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值 【答案】

3 17. 【2012 高考重庆文 17】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2

处取得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值.

21

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015
3 2 【解析】 (Ⅰ) 因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b

由于 f ( x ) 在点 x ? 2

处取得极值 故有 ?

? 0 ? f ?( 2 ) ? 12a ? b ? 0 即 ? ? c ? 1 6 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?f(2)

,化简得 ?

a?b ? 0 ?1 2 解得 ?4a ? b ? ?8

? a ?1 ? ?b ? ?1 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ?12 x ? c , f ?( x) ? 3x ?12
3 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (??, ?2) 上为增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (2, ??) 上为增函数。 由此可知 f ( x ) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x ) 在 x2 ? 2 处取得 极 小 值

f ( 2?)c ? 9 ? c

?c ? 1 由 6题 设 条 件 知 1 6

2 8得 c ? 12 此 时

f (? 3 ? )

? 2f 1 ,

? ( 3 ?c ), ? f (2) 9? ? c ?16 3 ? ?4 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的

最小值为 f (2) ? ?4 18.【2012 高考湖北文 22】 (本小题满分 14 分) 设函数 的切线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值 (3)证明:f(x)< 【答案】 ,n 为正整数,a,b 为常数,曲线 y=f(x)在(1,f(1))处

1 . ne

22

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

【解析】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求 解函数的最值以及证明不等式等的综合应用 .考查转化与划归,分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般

23

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以 及求解极值,最值等;另外,要注意含有 e , ln x 等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012 高考安徽文 17】 (本小题满分 12 分) 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?
x

1 ? b(a ? 0) ax

3 x ,求 a , b 的值。 2

【解析】 (I) (方法一) f ( x) ? ax ?

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 , ax ax

当且仅当 ax ? 1( x ?

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a

(II)由题意得: f (1) ?

3 1 3 ? a? ?b ? , ① 2 a 2


f ?( x) ? a ?

1 1 3 ? f ?(1) ? a ? ? , 2 ax a 2

由①②得: a ? 2, b ? ?1 。 20.【2012 高考江西文 21】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在 ?0,1? 上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0.

24

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

(1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)= f(-x)- f′(x),求 g(x)在 ?0,1? 上的最大值和最小值。 【答案】

21.【2012 高考辽宁文 21】(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln x ? x ?1,证明: (Ⅰ)当 x﹥1 时, f ( x ) ﹤

3 ( x ?1 ) 2 9( x ? 1) x?5

(Ⅱ)当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 【答案】

25

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

22.【2012 高考浙江文 21】 (本题满分 15 分)已知 a∈R,函数 f ( x) ? 4 x ? 2ax ? a
3

26

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

(1)求 f(x)的单调区间 (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+ 2 ? a >0. 【答案】 【解析】 (1)由题意得 f ?( x) ? 12 x ? 2a ,
2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ??, ??? . 当 a ? 0 时 , f ?( x ) ? 1 2 x (?

a a , ) x(? ) 此 时 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 6 6

? a a? ?? , ?. ? 6 6?
3 3 (2)由于 0 ? x ? 1 ,当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 2ax ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 . 3 3 3 当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 2a(1 ? x) ? 2 ? 4x ? 4(1 ? x) ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 .

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1,0 ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? 6 x ? 2 ? 6( x ?
3
2

3 3 )( x ? ). 3 3
1

则有

x

0

? 3? 0, ? ? 3 ? ? ? ?
0

3 3

? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?
+ 增

g ?( x)
g ( x)
1



极小值

1

所以 g ( x)min ? g (

3 4 3 ) ? 1? ?0. 3 9
3

当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . 故 f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 ? 0 .
3

27

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

23.【2012 高考全国文 21】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax 3

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ) 设 f ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) ,( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 y ? f ( x) 上,求 a 的值。

28

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

24.【2012 高考山东文 22】 (本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为 常 数 , e=2.71828 ? 是 自 然 对 数 的 底 数 ) , 曲 线 ex

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

(Ⅰ)求 k 的值;

29

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) , 其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明: 对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2
1 ? ln x ? k 【答案】(I) f ?( x) ? x , ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (III)由(II)可知,当 x ? 1 时, g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 ,故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在
0 ? x ? 1 时成立.

当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . 25.【2012 高考陕西文 21】 (本小题满分 14 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (1)设 n ? 2 , b ? 1,

(n ? N? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

30

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

(2)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值; (3) 设n ? 2, 若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] , 有 | f 2( x1) ?f 2( x2)| 4 ? ,求 b 的取值范围; 【答案】

31

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

32

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015

【解析】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不 等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难 度较大。

33


相关文章:
15东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的应用(....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 015 导数的应用(1)---导数在研究函数中的应用(教案)A 一、知识梳理: (阅读选修教材 2-2 第 22 ...
...附属中学高三第一轮复习导学案--导数的应用(文)A_图....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文)第一轮复习导学案 015A 导数的应用(文)(教案)A 一、知识梳理: (阅读选修教材 1-1 第 72 页第 111 页) 1、函数...
高三第一轮复习导数的应用_图文.ppt
高三第一轮复习导数的应用 - 导数的应用 一、知识要点: 1.函数的单调性:
14东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的概念....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 014A 导数的概念与运算(教案)A 一、 知识梳理: (阅读选修教材 2-2 第 2 页第 21 页) 1、 ...
16东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-导数与定积分....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 016A 导数与定积分(理)(教案)A 一、 知识梳理: (阅读选修教材 2-2 第 2 页第 21 页) 1、...
最新江苏省淮阴中学高三数学一轮复习学案:导数及其应用(3).doc
最新江苏省淮阴中学高三数学一轮复习学案:导数及其应用(3) - 第 38 课 导数及其应用 一、 考纲知识点: 导数的概念(A),导数的几何意义(B),导数的运算(B),...
...静海一中届高三一轮复习《导数及其应用》导学案(无....doc
2019天津市静海一中届高三一轮复习导数及其应用导学案(无答案)精品教育.doc...a>0.设两曲线 y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)...
14东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的概念....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 014B 导数的概念与运算(学案)B 一、 知识梳理: (阅读选修教材 2-2 第 2 页第 21 页) 1、 ...
最新江苏省高三数学一轮复习备考试题:导数及其应用(含....doc
最新江苏省高三数学一轮复习备考试题:导数及其应用(含答案解析) - 江苏省 20xx 年高考一轮复习备考试题 导数及其应用 一、填空题 1、(20xx 年江苏高考)在平面...
2019届高三文科数学一轮复习导学案教师用书 第2章 热点....doc
2019届高三文科数学一轮复习导学案教师用书 第2章 热点探究课1 导数应用中的高考热点问题 - 热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题 (对应学生用书第 36 页)...
高三一轮复习《导数在研究函数中的应用》.doc
高三一轮复习导数在研究函数中的应用》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习导数概念及其几何意义》 考纲要求:1、了解导数概念的实际背景 2、理解...
...一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第1节(1).doc
[推荐学习]高三人教A版数学一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第1(1)_...[a=1,b=0,∴a+b=1.] B.0 ) D.± 1 2 . ( 导学号 14577083) 若...
高三人教A版数学一轮复习练习:第二章函数、导数及其应....doc
高三人教A版数学一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第10节(1)【精选资料】
3-1 2019高三一轮复习课件导数的概念及应用_图文.ppt
3-1 2019高三一轮复习课件导数的概念及应用 - 基础诊断 考点突破 第1导数的概念及运算 基础诊断 考点突破 考试要求 1.导数的概念及其实际背景,A 级要求;2...
...一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第4节(1).doc
[配套k12学习]高三人教A版数学一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第4节(1) - 配套 K12 学习(小初高) 第二章 第4节 [基础训练组] 1.已知 f(x)=2x...
...一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第1节(1).doc
配套K12高三人教A版数学一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第1(1) - 小学+初中+高中+努力=大学 第二章 第1节 [基础训练组] 1.(导学号 14577082)...
高三数学一轮复习第三章导数及其应用.doc
高三数学一轮复习第三章导数及其应用 - 第3章 一、选择题 第3节 1. (文)(2010 甘肃省质检)函数 f(x)=x3-ax2+x 在 x=1 处地切线与直线 y=2x ...
...一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第1节(1).doc
推荐高三人教 A 版数学一轮复习练习:第二章函数、导数及 其应用第 1(1) [基础训练组] 1.(导学号 14577082)已知 a、b 为实数,集合 M=,N={a,0},f...
16东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-导数与定积分....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 016A 导数与定积分(理)(教案)A 一、 知识梳理: (阅读选修教材 2-2 第 2 页第 21 页) 1、...
高三人教A版数学一轮复习练习:第二章函数、导数及其应....doc
高三人教A版数学一轮复习练习:第二章函数、导数及其应用第4节(1) - 最新中小
更多相关标签: