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二元一次不等式组与平面区域(修改)_图文

必修5 §3.5.1

二元一次不等式(组) 与平面区域

自主探究
问题:在平面直角坐标系中,直线 x+y-1=0将平面分成几部分呢?
y
1

答:分成三部分: (1)点在直线上
1

0

(2)点在直线的右 x+y-1=0 上方
(3)点在直线的左下方

x

探索规律
直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直线两侧 的点的坐标代入x+y-1中,也等于0吗?
1、点集{(x,y)|x+y-1>0} 表示直线x +y-1=0 右上方的平面区域; 2、点集{(x,y)|x+y-1<0} 表示直线x +y-1=0 左下方的平面区域。 3、直线x+y-1=0叫做这两个 区域的边界。

y
1

0

1

x

x+y-1=0

同侧同号,异侧异号

证明:对于直线x+y-1=0右上方任 意一点(x, y), x+y-1>0都成立.
证明:在直线x+y-1=0上任取一点P(x0, y0) , 过P点作平行于X轴的直线y=y0 ,在此直线上 点P右侧的任意一点(x, y),都有 x>x0 ,y=y0 ∴ x+y>x0+ y0 ∴ x+y-1>x0+ y0-1=0 即 x+y-1>0 由于点P(x0, y0) 是直线x+y-1=0上任意一 点,所以对于直线x+y-1=0右上方任意一点(x, y),x+y-1>0都成立.

方法总结:
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤:
1、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax1 +B y+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 、线定界(注意边界的虚实) 平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中,所得 2、 2、点定域(代入特殊点验证) 实数符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个 特殊点代入 Ax+By+C中,从所得结果的正负即可 特别地,当C≠0时常把原点作为 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

特殊点。

知识应用
y 题型一:画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示 x+4y>4 x+4y=4 的平面区域
o

x
x+4y<4

(1)x +4y>4 变式:

(2)x-y-4<0
(3)x-y-4>0

y
o
x-y-4>0 x-y-4=0

x

题型二:画二元一次不等式组表示的区域
例2、画出不等式组表示的平面区域。 y
x-y+5≥0 x+y≥0 x ≤3
画二元一次不等式组表 分析: 由于所求平面区域的点的坐 示的平面区域的步骤: 标需同时满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集,即公共部分。
-5

x-y+5=0
5

o

x
4

x+y=0

x=3

跟踪练习

如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在区域应为:( )

B

y 1 O 2

y 1

y 1
O 2

(A)

χ

O y 1

2

χ

(B)

(C)

χ

O

2

(D)

χ

题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组)

例3、写出表示 下面区域的二元一 次不等式组.
(-4,-1)

y

(0,1)

x
(2,-1)

题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组)

例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y 解析:边界直线方程为 x+y-1≤0 紫色区域 x+y-1=0 代入原点(0,0) 绿色区域 x-2y+2 > 0 得0+0-1<0 即所求不等式为 蓝色区域 y≥-1 x+y-1≤0 黄色区域

1 -2

o
-1

1

x

x+y-1≤0 x-2y+2>0 y≥-1

方法总结
根据平面区域写出二元一次 不等式(组)的步骤:
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式(组)

小结与升华:

? (1)二元一次不等式 在平面直角坐标系中 表示什么图形? ? (2)怎样画二元一次不等式(组)表示的 平面区域?

变式训练 题型四:综合应用 x-y+5≥0

y
7 5D

x-y+5=0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

C

a y=7
y=5 a

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

答案:5≤a<7

-5

o

2 x=2

x
y=a


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