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高中数学人教版必修4知识点总结


高中数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
?

2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

?? k ? 360 第一象限角的集合为

? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
?

?

?? k ? 360 ? 90 第二象限角的集合为
? ? ?

? k ? 360? ? 180? , k ? ?
?

? ? ?

?? k ? 360 ? 180 第三象限角的集合为
终边在 x 轴上的角的集合为

? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?? k ? 360 ? 270 第四象限角的集合为 ?

?

? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?
?

?? ? ? k ?180 , k ? ?? ?
?

? ? y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ? 终边在

?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为
? ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?? 3、与角

?
4、已知 ? 是第几象限角,确定

?n ? ? ? n
*

所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起,

? 依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 n 终边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是
?

? ?

l r.

? 180 ? ? 1? ? 1 ? ? ? 57.3 ? 180 , ? ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , .

?

?

8、若扇形的圆心角为

? ?? 为弧度制?

,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则

l?r?

, C ? 2r ? l ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 2 2 .

? x, y ? ,它与原点的距离是 9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是
sin ? ?


r r ? x2 ? y 2 ? 0

?

?,

y x y cos ? ? tan ? ? ? x ? 0 ? r, r, x .
1

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.

11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系:

y P T v O M A x

?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1


? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?
sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? tan ? ? . ?
13、三角函数的诱导公式:

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ? , .

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ? , .

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

? y ? sin ? x ? ? ? 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数 的图象;再将函数
y ? sin ? x ? ? ?

1 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) ,得到函数 的
y ? sin ?? x ? ? ?
的图象. 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

图象;再将函数

y ? ? sin ?? x ? ? ?

1 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) ,得到函数

? y ? sin ?? x ? ? ? y ? sin ? x 的图象; 再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左 (右) 平移 ? 个单位长度, 得到函数
的图象;再将函数 数

y ? sin ?? x ? ? ?
的图象.

的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函

y ? ? sin ?? x ? ? ?

函数

y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ?

的性质:
2

①振幅: ? ;②周期: 函数

??

2?

? ;③频率:
,当

f ?

1 ? ? ? 2? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .
ymin
;当

y ? ? s i n?? x ? ? ? ? ?

x ? x1

时,取得最小值为

x ? x2

时,取得最大值为

ymax

,则

??

1 ? ym a x? y 2
函 质

min

?

??


1 ? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ymax ? ymin ? 2 ,2 .

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

? ?1,1?
x ? 2 k? ?


? ?1,1?


R

?

2 ? k ? ? ? 时,

x ? 2 k? ? k ? ? ?

时,

最值

ymax ? 1

x ? 2 k? ?
;当

?
2

ymax ? 1

;当 x ? 2k? ? ? 既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2?
偶函数

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性

2?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? 在?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性



? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? ? 2 k? , 2 k? ? ? ?

上是

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

增函数;在

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? 在?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴

? k? , 0 ?? k ? ? ?
?
2

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? 对称中心 ?
对称轴

x ? k? ?

? k ? ??

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 对称中心 ? 2
无对称轴
3

x ? k? ? k ? ? ?

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ?c ? a ? b ?c ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ? ? ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? a ? ? x1 , y1 ? b ? ? x2 , y2 ? C



?

?

?

?

⑸坐标运算:设



,则



18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设

? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?

,则

? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? x1 x2 y1 y2 ,?

? a


?x , y ? ?x , y ? 则 设 ? 、? 两点的坐标分别为 1 1 , 2 2 ,
19、向量数乘运算:

?.

?

? b

?

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?

?a ? ? a

?

?


②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:①

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? a ? ? ? ?? ? a
? a ? ? x, y ?

;②

? ? ? ?? ? ? ? a ? ?a ? ?a

;③ .

? a ? b ? ? a ? ?b

?? ?

?

?

?


⑶坐标运算:设

,则

? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x , ? y ?

?

20、向量共线定理:向量 设

? ? ? a a?0

?

? ? ? 与 b? 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a .

? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?

21、平面向量基本定理:如果

? ? ? ? ? ? b b ?0 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 时,向量 a 、 共线. ?? ?? ? e1 e2

?

?



是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且

?

a ? ?1 e1 ? ?2 e2 e e ? ? 只有一对实数 1 、 2 ,使 . (不共线的向量 1 、 2 作为这一平面内所有向量的一组基底)
4

?

??

?? ?

??

?? ?

22、分点坐标公式:设点 ? 是线段

?1? 2

上的一点,

?1



?2

?x , y ? ?x , y ? ? ? ? ? ?? 2 的坐标分别是 1 1 , 2 2 ,当 1 时,

??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ? ? 1? ? ? . ? 的坐标是 ? 1 ? ? 点
23、平面向量的数量积: ⑴

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? a b ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, ;当 a 与 b 反向时, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? a ?b ? ? a b a ?b ? a b a ? a ? a2 ? a a ? a ?a
; 或 .③ .

? ? ? ? a ? b ? b ? a ;② ⑶运算律:①
⑷坐标运算:设两个非零向量 若

? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?

?

? ? ? ? ? ? ? ;③ ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .
,则

?

?

? a ? ? x1 , y1 ?
,或



? b ? ? x2 , y2 ?
.设

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2




? a ? ? x, y ?

,则

?2 a ? x2 ? y 2

? a ? x2 ? y2

? a ? ? x1 , y1 ?

? b ? ? x2 , y2 ?

? ? ? ? ? ? b 都是非零向量, a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则 设a、
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ ⑶

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,则 . ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2


cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

; ;

⑵ ⑷

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

; ;

tan ?? ? ? ? ?


tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

tan ?? ? ? ? ?


25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? .

⑵ cos 2? ? cos

2

? ? sin ? ? 2cos ? ?1 ? 1 ? 2sin ? (
2 2 2

cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 2 , ) .

tan 2? ?


2 tan ? 1 ? tan 2 ? .
tan ? ?
,其中

26、

? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ?

? ?.

5



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