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2017_2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何第16课时空间向量及其加减运算课件新人教B版选修2_1_图文

第16课时

空间向量及其加减运算

新知识· 预习探究 1.空间向量的有关概念 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.如力、 定义 速度、位移等 长度 向量的大小叫做向量的长度或模 或模

几何 与平面向量一样, 空间向量可以用有向线段表示. 有 表示 向线段的长度表示向量的模 空间向量常用一个小写字母表示.如:向量 a,b, 其模记为|a|,|b| 空间向量也可以用表示它的有向线段的起点、终点 表示 → 的字母表示:如图,向量 a 也可以记作 AB ,其模记 方法 符号 → 表示 为:|AB |

2.特殊向量 零向 我们规定,长度为 0 的向量叫做零向量,记为 0.当有 → 量 向线段的起点 A 与终点 B 重合时,AB=0 单位 模为 1 的向量称为单位向量 向量 相反 与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反 向量 向量,记为-a 相等 方向相同且模相等的向量称为相等向量 向量

【练习 1】 给出下列命题: ①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ②若空间向量 a、b 满足|a|=|b|,则 a=b; → → ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有AC=A1C1; ④若空间向量 m、n、p 满足 m=n,n=p,则 m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1

解析:当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量 必相等,但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故命题① 错误;命题②错误;命题③④显然正确;对于命题⑤,空间中任意两 个单位向量的模均为 1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错. 答案:C

知识点二

空间向 量的加、 减法运 算

空间向量的加减运算 已知空间任意两个向量 a,b,在空间任取 → → 一点 O,作OA=a,OC=b,以 OA,OC 连接 OB, CA, 运算 为邻边作平行四边形 OABC, 法则 则在 O,A,B 三点确定的平面 α 内: → → → OB=OA+AB=a+b, → → → CA=OA-OC=a-b 图形

空间向 量的加 法运算 律

交换律

a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)

结合律

【练习 2】 ( → → → → 已知空间四边形 ABCD 中,AB=a,CB=b,AD=c,则CD等于 ) A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c

解析: → → → → → → → CD=CB+BA+AD=CB-AB+AD=b-a+c=-a+b+c. 答案:C

新视点· 名师博客 1.空间向量有关概念的理解 (1)向量是既有大小又有方向的量,其中长度可以比较大小,而方 向无法比较大小.一般地说,向量不能比较大小; (2)零向量的方向是任意的,同平面向量中的规定一样,0 与任何 空间向量平行(即 0 与任一向量 a 都是共线向量); (3)单位向量的模都相等且为 1, 而模相等的向量未必是相等向量; (4)空间向量是可以平移的,空间中的任意两个向量都可以用同一 平面内的两条有向线段表示,所以空间任意两个向量是共面的.

2.空间向量加减运算规律 (1)空间两个向量的加减运算是类比平面向量的加减运算定义的, 因此,平面向量中的有关运算律和结论在空间仍然适用;

(2)空间向量加法的三角形法则可以推广为多个向量相加的情况: ①首尾相接的若干个空间向量 a1, a2, …, an 相加, 等于由起始向量 a1 的起点指向末向量 an 的终点的向量,如图: → → a1 + a2 + … + an = OA1 + A1A2 + … + → → An-1An =OAn. ②首尾相接的若干个空间向量 a1,a2,…,an 相加,若构成一个 封闭的图形,则它们的和为 0,即

新课堂· 互动探究 考点一 空间向量的概念 例 1 下面 5 个命题: ①所有的单位向量都相等; ②方向相反的两个向量是相反向量; ③若 a、b 满足|a|>|b|且 a、b 同向,则 a>b; ④零向量没有方向; ⑤对于任何向量 a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|. 其中正确命题的序号为( ) A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤

解析:对于①:单位向量是指长度等于 1 个单位长度的向量,而 其方向不一定相同,它不符合相等向量的定义,故①错;对于②:长 度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故②错;对于③:向量是 不能比较大小的,故不正确;对于④:零向量有方向,只是没有确定 的方向,故④错;对于⑤:⑤中为向量模的不等式,正确,故选 B. 答案:B

点评:因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上,故在空 间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决.零向量是一个 特殊的向量,易忽略,要注意!对于有关向量基本概念的考查,可以 从概念的特征入手,也可以通过举出反例来排除或否定相关命题.

变式探究 1 下列命题中正确的个数是( ) ①如果 a,b 是两个单位向量,则|a|=|b|; ②两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ③若 a、b、c 为任意向量,则(a+b)+c=a+(b+c); ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内. A.1 B.2 C.3 D.4

解析:对于①:由单位向量的定义得|a|=|b|=1,故①正确.对于 ②:相等向量不一定有相同的起点和终点,故②错;对于③:正确; 对于④:正确,在空间任取一点,过此点引两个与已知非零向量相等 的向量,而这两个向量所在的直线相交于此点,两条相交直线确定一 个平面,所以两个非零向量可以平移到同一平面内. 答案:C

考点二

空间向量的加减运算

→ → → 例 2 如图,已知空间四边形 ABCD 中,AB=a,BC=b,AD=c, → → → 试用 a,b,c 表示向量AC,BD,CD.
答案: → → → AC=AB+BC=a+b, → → → BD=AD-AB=c-a, → → → CD=BD-BC=c-a-b.

点评: 1.化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用三角形法则化简. → → → (2)利用向量的减法法则,即利用OA-OB=BA化简. → → → (3)利用AB=OB-OA, 把各个向量转化成与空间的某一点有关的 向量化简. 2.在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧 灵活运用空间向量的加法与减法法则,尽量走边路,多个向量运 算时,先观察分析“首尾相接”的向量使之结合,使用减法时,把握 “共起点,方向指向被减向量”.

变式探究 2 如图, 已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′, 化 简下列表达式. → → → → → (1)AB+BB′-D′A′+D′D-BC. → → → → (2)AC′-AC+AD-AA′.

解析: → → → → → (1)AB+BB′-D′A′+D′D-BC → → → → =AB′+A′D′+(D′D-BC) → → → → =AB′+B′C′+(D′D-AD) → → → → → =AC′+D′A=AC′+C′B=AB. → → → → (2)AC′-AC+AD-AA′ → → → → =(AC′-AC)+(AD-AA′) → → → → =CC′+A′D=CC′-DA′ → → → =CC′-CB′=B′C′.

新思维· 随堂自测 1.下面关于空间向量的说法正确的是( ) A.若向量 a、b 平行,则 a、b 所在直线平行 B.若向量 a、b 所在直线是异面直线,则 a、b 不共面 → → C.若 A、B、C、D 四点不共面,则AB、CD不共面 → → → D.若 A、B、C、D 四点不共面,则AB、AC、AD不共面
解析:通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内,因此空 间任意两个向量都是共面的,故 B、C 都不正确.注意向量平行与直 线平行的区别,可知 A 不正确,可用反证法证明 D 是正确的. 答案:D

→ → → 2. 已知空间四边形 ABCD, 连接 AC、 BD, 则AB+BC+CD为( → → A.AD B.BD → C.AC D.0

)

答案:A

→ → 3.如图,在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=a,AD → → → =b,AA′=c,则BD′=________,A′C=________.

→ → → → → → → 解析:BD′=BD+DD′=AD-AB+AA′=b-a+c,A′C= → → → → → A′A+AC=AB+AD+A′A=a+b-c. 答案:b-a+c a+b-c

4.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′,则下列三个式子中: → → → ①AB-CB=AC; → → ②AA′=CC′; → → → → → ③AB+BB′+BC+C′C=AC′. 其中正确的有________.

→ → → → → → 解析:①AB-CB=AB+BC=AC,正确;②显然正确;③AB+ → → → → → → → → → BB′+BC+C′C=(AB+BC)+(BB′+C′C)=AC+0≠AC′,错 误. 答案:①②

5.如图,已知长方体 ABCD-A′B′C′D′,化简下列向量表 达式,并在图中标出化简结果的向量.

→ → (1)AA′-CB; → → → (2)AA′+AB+B′C′.

解析: → → → → → → → → → (1)AA′-CB=AA′-DA=AA′+AD=AA′+A′D′=AD′ → → → → → → (2)AA′+AB+B′C′=(AA′+AB)+B′C′ → → → =AB′+B′C′=AC′. → → 向量AD′、AC′如图所示.

辨错解· 走出误区 易错点 对向量减法的三角形法则理解不清楚致误 → → → 【典例】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 化简DA-DB+B1C- → → → B1B+A1B1-A1B. → → → → → → → → → → 错解: DA-DB+B1C-B1B+A1B1-A1B=AB+CB+B1B=DC+ → → → → → DA+B1B=DB+D1D=D1B. 错因分析:对向量减法的三角形法则理解、记忆错误,差向量的 方向没有确定准确. → → → → → → 正解:DA-DB+B1C-B1B+A1B1-A1B → → → → → → → → =BA+BC+BB1=BD+BB1=BD+DD1=BD1.


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