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《独立重复试验与二项分布二》(新人教A版选修_图文

【教育类精品资料】

高二数学 选修2-3

2.2.3独立重复试验 与二项分布(二)

复习引入
1、 n 次独立重复试验: n 一般地,在相同条件下,重复做的 次试验称 为 n 次独立重复试验. P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An )
独立重复试验的特点: 1)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; 2)任何一次试验中,A事件发生的概率相同,即相 互独立,互不影响试验的结果。

2、二项分布:
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么 在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p), 并称p为成功概率。
注:

Pn (k ) ? c p q
k n k

n? k

是( p ? q) 展开式中的第 k ? 1 项.
n

运用n次独立重复试验模型解题

例1假定人在一年365天中的任一天出生的概率是一
样的,某班级有50名同学,其中有两个以上的同
学生于元旦的概率是多少?(保留四位小数)

变式引申
某人参加一次考试,若5道题中解对4道则为及 格,已知他解一道题的正确率为0.6,是求他能及格 的概率。

例2(05,北京)甲乙两人各进行3次射击,甲每次击中目
1 2 标的概率为 ,乙每次击中目标的概率为 ,求: 2 3
(1)甲恰好击中目标2次的概率;

(2)乙至少击中目标2次的概率;
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率; (4)甲、乙两人共击中5次的概率。

练:甲、乙两个篮球远动员投篮命中率分别为0.7和0.6,每
人投篮3次,求:
(1)二人进球数相同的概率; (2)甲比乙进球多的概率。

基本概念

3、 二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生x次,显然x是一个随机 变量? 于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ 0
0 n 0 n 1 n

1
1 n ?1



k
C pq
k n k n? k



n
n Cn pnq0

p

C pq C pq




n? k

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 其中n,p为参数,并记 C
k n

x ~ B(n, p,)

p (1 ? p)
k

? B(k; n, p)

二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系?

1.两点分布是特殊的二项分布 x ? ?(1? p )

2.一个袋中放有 M 个红球,( N ? M )个白球,依次从袋中 取 n 个球,记下红球的个数 x .
M ⑴如果是有放回地取,则 x ? B( n, ) N ⑵如果是不放回地取, 则 x 服从超几何分布.
k n C M C N??kM P (x ? k ) ? ( k ? 0,1, 2,? , m ) (其中 m ? min( M , n) n CN

例3某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在连续射击4次,
求击中目标的次数X的概率分布。

例4一批玉米种子,其发芽率是0.8.
(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概 率大于 98%? (2)若每穴种3粒,求恰好两粒发芽的概率.( lg 2 ? 0.3010 )

例5十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多
少?停几次概率最大?

例6将一枚骰子,任意地抛掷500次,问1点出现(指
1点的面向上)多少次的概率最大?

例7 某人抛掷一枚硬币,出现正面和反面的概率都是0.5,构
造数列

{an } ,使 an ?

?

1,当第n次出现正面 -1,当第n次出现反面
*



Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an (n ? N )

(1)求 (2)求

S8 ? 2 时的概率; S2 ? 0且S8 ? 2 时的概率。

例8(07,江苏)某气象站天气预报的准确率为80%,
计算:(结果保留到小数点后面第2位)

(1)5次预报中恰有2次准确的概率;
(2) 5次预报中至少有2次准确的概率;

(3) 5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准
确的概率。


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