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第39讲 反证法与数学归纳法

反证法与数学归纳法
1.反证法步骤: (1)反设:假定所要证的结论不正确,而设结论的反面(否定命题)成立; (否 定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与 已知条件、已知的公理/定理/定义/明显的事实矛盾或自相矛盾; (推导矛盾) (3)结论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误。既然结 论的反面不成立,从而肯定了结论成立。 (结论成立) 2.数学归纳法步骤: (1)证明当取第一个值0 (0 ∈ ? )时命题成立; (2) 假设 = ( ≥ 0 , ∈ ? )时命题成立, 证明当 = + 1时命题也成立。 (只 要完成这两个步骤,就可以断定命题对从0 开始的所有正整数都成立。 )

【例 1】 已知, , 是互不相等的非零实数。 求证: 三个方程 2 + 2 + = 0, 2 + 2 + = 0, 2 + 2 + = 0至少有一个方程有两个相异实根。 证明:假设没有一个方程有两个相异实根,则 方程 2 + 2 + = 0的判别式?1 = 4 2 ? 4 ≤ 0, 方程 2 + 2 + = 0的判别式?2 = 4 2 ? 4 ≤ 0, 方程 2 + 2 + = 0的判别式?3 = 42 ? 4 ≤ 0, 则有
?1 +?2 +?3 2

= 22 + 2 2 + 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ≤ 0,配方得
?1 +?2 +?3 2

= ( ? )2 + ( ? )2 + ( ? )2 ≤ 0.

又因为, , 是互不相等的非零实数,所以( ? )2 > 0,( ? )2 > 0,( ? )2 > 0.



?1 +?2 +?3 2

= ( ? )2 + ( ? )2 + ( ? )2 > 0 与 假 设 得 出 的 结 论

?1 +?2 +?3 2

= ( ? )2 +

( ? )2 + ( ? )2 ≤ 0相矛盾,故假设不成立。 所以,三个方程 2 + 2 + = 0, 2 + 2 + = 0, 2 + 2 + = 0至少有一个 方程有两个相异实根。 【例 2】若, , 均为实数,且 = 2 ? 2 + 2 , = 2 ? 2 + 3 , = 2 ? 2 + 6 ,则, , 中 是否至少有一个大于零?请说明理由。 证明:假设, , 均不大于零,则 + + ≤ 0, + + = 2 ? 2 + 2 + 2 ? 2 + 3 + = 2 ? 2 + 6 ,即 + + = ( ? 1)2 + ( ? 1)2 + ( ? 1)2 + ? 3 ≤ 0, 因为 ? 3 > 0,而( ? 1)2 ≥ 0,( ? 1)2 ≥ 0,( ? 1)2 ≥ 0,故 + + = ( ? 1)2 + ( ? 1)2 + ( ? 1)2 + ? 3 > 0 , 与 假 设 得 出 的 结 论 + + = ( ? 1)2 + ( ? 1)2 + ( ? 1)2 + ? 3 ≤ 0相矛盾,故假设不成立。 所以,, , 中至少有一个大于零。 【例 3】用数学归纳法证明 +1 + + 1
2?1

( ∈ ? )能被2 + + 1整除。

证明:当 = 1时,1+1 + ( + 1)2×1?1 = 2 + + 1,能被2 + + 1整除。 假设当 = 时, +1 + + 1
2?1

能被2 + + 1整除, = · +1 + + 1
2

则 = + 1时, +1+1 + + 1

2 +1 ?1

· + 1

2?1

= · +1 + · + 1 2?1 + 2 + + 1 · + 1 2?1 = · +1 + + 1 2?1 + 2 + + 1 · + 1 2?1 所以, = + 1时, +2 + + 1 综上,对 ∈ ? , +1 + + 1
2 +1

能被2 + + 1整除

2?1

能被2 + + 1整除。

【例 4】平面内有条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共线,求证:这条直线把平面 割成2 (2 + + 2)个区域。
1

证明:当 = 1时,把平面分割成2 12 + 1 + 2 = 2,命题成立。 假设当 = 时,条直线把平面分割成2 ( 2 + + 2)个区域, 则当 = + 1时,增加一条直线会与条直线产生个交点,会把这条直线分成 + 1段,则会 增加 + 1个区域,此时,平面的总区域为2 2 + + 2 + + 1 = 2 [ + 1 综上,对 ∈ ? ,条直线把平面割成
1 2 1 1 2 1

1

+ + 1 + 2],

(2 + + 2)个区域。

3 【例 5】设数列{ }满足1 = 0, +1 = + 1 ? , ∈ ? , ∈

(1)证明: ∈ [0,1]对任意 ∈ ? 成立的充分必要条件是 ∈ [0,1]; (2)设0 < < 3,证明: ≥ 1 ? 3
1 1 ?1

, ∈ ? ;
2

2 2 2 (3)设0 < < 3,证明:1 + 2 + ? + > + 1 ? 1?3 , ∈ ?

证明: (1)①必要性,2 = 1 ? ∈ [0,1] ? ∈ [0,1]; ②充分性,当 = 1时,1 = 0 ∈ [0,1], 假设,当 = 时, ∈ [0,1],则
3 3 当 = + 1时, +1 = + 1 ? , ∈ [0,1] ? ∈ [0,1] 3 +1 = + 1 ? ∈ [1 ? , 1],又 ∈ [0,1],所以1 ? ≥ 0,即 +1 ∈ [0,1]。

综上, ∈ [0,1]对任意 ∈ ? 成立的充分必要条件是 ∈ [0,1]。 (2)当 = 1时,1 ? 1 ≤ (3 )1?1 成立, 假设当 = 时,1 ? ≤ (3 )?1 ,
3 2 当 = + 1时,1 ? +1 = 1 ? = (1 ? )(1 + + ),

由第一小题可知, ∈ [0,1]对任意 ∈ ? 成立的充分必要条件是 ∈ [0,1],
2 而0 < < 3,所以 ≤ 1, ≤ 1,即 1

1 ? +1 ≤ · 3
1

?1

2 · 1 + + ≤ · 3 ?1

?1

·3 = (3 ) .

综上,对0 < < 3,有 ≥ 1 ? 3

, ∈ ?成立。

(3)由第二小题可知,对0 < < 3,有 ≥ 1 ? 3 3
?1

1

?1

2 ,那么当 ≥ 2时, ≥ 1?2·

+ 3

2?2

> 1 ? 2 · 3

?1

.
2

2 2 2 1 + 2 + ? + > ? 1 ? 2 · 3 + 3

+ ? + 3
?1

?1 1? 3 1 ?3

= + 1 ? 2 · 3

0

+ 3 + 3

2 2

+ ? + 3

= + 1 ? 2

> + 1 ? 1?3 ,

2

2 2 2 即1 + 2 + ? + > + 1 ? 1?3 .


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