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《直线与双曲线的位置关系》上课课件_图文

复习: 直线与椭圆的位置关系的判定 相离 判断方法 相切 相交 1. 几何方法: 考察交点个数 2. 代数方法: 判定联立方程组解的情况 引例:判断下列直线与双曲线的位置关系 x2 y 2 ?1 1. 2 x ? y ? 10 ? 0与 ? 20 5 x2 y 2 ?1 2. 4 x ? 3 y ? 16 ? 0与 ? 25 16 3. 4. x2 y 2 2 x ? y ? 1 ? 0与 ? ?1 9 16 x ? y ? 1 ? 0与x ? y ? 3 2 2 一 直线与双曲线位置关系 Y O X 种类: 1. 相离(0个交点) ; 2. 相切(1个交点); 3. 相交(1个交点或2个交点). 几何方法:位置关系与交点个数 Y 相交:2个交点 相切:1个交点 O X 相离:0个交点 Y 特殊的相交(与渐近 线平行):1个交点 O X 判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点) 得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 2 2 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 仅 例1 如果直线 有一个公共点,求 k 的值。 ? y ? kx ? 1 2 2 解: 由 ? 2 2 得 1-k x ? 2kx ? 5 ? 0 ?x ? y ? 4 ? ? 方程只有一解 当 1 ? k 2 ? 0 即 k ? ? 1 时,方程只有一解 当 1 ? k 2 ? 0 时,应满足 ? ? 4k 2 ? 20(1 ? k 2 ) ? 0 y 解得 k ? ? 5 , ? 故k的值为 ? 1 2 M 5 2 o x 探究: 2 2 y ? kx ? 1 x ? y ? 4 满足 如果直线 与双曲线 以下条件,请分别求出 k 的取值范围。 ①有两个公共点 ? 5 5? k ?? ?? 2 , 2 ? ? 且k ? ?1 ? ? ? ? 5? ? 5 k ?? ? ??, ? 2 ? ??? ? 2 , ?? ? ? ? ? ? ? ②没有公共点 ? 5 k ? 1 , ? ③与右支有两个公共点 ? 2 ? ? ? ? ? ④与左、右两支各有一个公共点 k ? ? ?11 , ? 解题归纳 根据直线与双曲线公共点的个数,求直线 斜率k的取值范围的方法: 1. 代数方法:有2个或无公共点时,根据联立 后的一元二次方程的判别式或根的分布来判 断;有1个公共点时,考虑一元二次方程的二 次项系数为零和判别式等于零两种情况。 2. 几何方法:数形结合,求出渐近线和切线 斜率,观察直线绕定点旋转时与双曲线位置 关系,从而确定k的取值范围。 例2 的右焦点 F2 作倾斜角 为30°的直线交该双曲线于A,B两点,求 ?F1 AB的周长。( F1 为双曲线的左焦点) ?F1 AB的周长= AB ? AF 分析: 1 ? BF 1 2 y 2 x 经过双曲线 ? 3 ? 1 弦长 公式 焦半径 (第二定义转化) 解题归纳 求直线与双曲线相交弦长的方法: 1 1. 利用弦长公式 | AB |? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? 2 y1 ? y2 k 2 和根与系数关系求弦长 2. 若直线过焦点,可利用第二定义,将弦长转化为 焦半径之和或之差,注意区分两种情形: ①如果两点在同一支上,则 | AB |?| AF1 | ? | BF1 | (见图一) ②如果两点分别在两支上,则 | AB |?|| AF1 | ? | BF1 || (见图二) y A F1 B 图1 x F1 A 图2 B y x 例3: 过定点P(0,-1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 仅有 一个公共点的直线有( 4 )条。 2 2 x ? y ? 4 仅有一 变式1 过定点P(2,1)的直线与双曲线 个公共点的直线有( 4 )条。 2 2 x ? y ? 4 仅有一 变式2 过定点P(1,1)的直线与双曲线 个公共点的直线有( 2 )条。 2 2 变式3 过定点P(3,1)的直线与双曲线 x ? y ? 4 仅有一 个公共点的直线有( 2 )条。 2 2 x ? y ? 4 仅有 变式4 过定点P( 5,1) 的直线与双曲线 一个公共点的直线有( 3 )条。 归纳:过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线 的条数——数形结合,相切或与渐近线平行。 解题归纳 过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线 条数,与这个定点的位置有关: (1)当点在渐近线上时有0条或2条(为中心 时有0条,其余有2条); (2)当点在双曲线上时有3条; (3)当点在双曲线内部时有2条; (4)其余均为4条。

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