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第八章 第二节 直线的方程_图文

一、直线方程的形式及适用条件 名称 点斜式 几何条件 过点(x 过点 0,y0), , 斜率为k 斜率为 斜率为k, 斜率为 ,纵截 距为b 距为 方 程 y-y0=k(x -
-x0)

局限性 不含垂直于 垂直于x 轴 的直线 垂直于x 不含垂直于 轴 的直线

斜截式

y=kx+b = +

名称 两点式

几何条件 过两点(x 过两点 1,y1), , (x2,y2), , (x1≠x2,y1≠y2) 在x轴、y轴上 轴 轴上 的截距分别为 a,b(a,b≠0) , ,

方 程

局限性
垂直于坐 不包括 标轴的直线

截距式

不包括 垂直于 坐标轴和 过原点 的直线 Ax+By+ + +

一般式

C=0(A, = , B不全为 不全为0) 不全为

过两点P ),P 过两点 1(x1,y1), 2(x2,y2)的直线是否一定可用 的直线是否一定可用 两点式方程表示? 两点式方程表示? 提示:不一定.? 提示:不一定 ? (1)若x1=x2且y1≠y2,直线垂直于 轴,方程为 1. 若 直线垂直于x轴 方程为x=x 直线垂直于 (2)若x1≠x2且y1=y2,直线垂直于 轴,方程为 1. 若 直线垂直于y轴 方程为y=y (3)若x1≠x2且y1≠y2,直线方程可用两点式表示 若 直线方程可用两点式表示. 直线方程可用两点式表示

二、线段的中点坐标公式 若点P 的坐标分别为(x 若点 1,P2的坐标分别为 1,y1),(x2,y2),且线段 1P2 , ,且线段P

的中点M的坐标为 , , 的中点 的坐标为(x,y),则 的坐标为 线段P 的中点坐标公式. 线段 1P2的中点坐标公式

,此公式为 此公式为

1.过点A(-3,1),倾斜角的余弦为 的直线方程是 ( .过点 - ,倾斜角的余弦为0的直线方程是 A.x=- . =- =-3 C.y=- . =- =-3 B.y=1 . = D.x=1 . = =-3. ,∴x=- =-

)

解析:由已知 解析:由已知cosα=0,∴α= = , = 答案: 答案:A

2.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线 +By+C=0不通过 .如果 < , < ,那么直线Ax+ + = 不通过 ( A.第一象限 . C.第三象限 . B.第二象限 . D.第四象限 . )

解析: 四象限. 解析:由A·C<0,B·C<0,∴直线过一、二、四象限. < , < , 直线过一、 答案: 答案:C

3.过点(-1.3)且垂直于直线 -2y+3=0的直线方程为 .过点 - 且垂直于直线x- + = 的直线方程为 的直线方程为( 且垂直于直线 A.2x+y-1=0 . + - = C.x+2y-5=0 . + - = B.2x+y-5=0 . + - = D.x-2y+7=0 . - + = ,则所求直线

)

解析:直线x-2y+3=0的斜率为 = 的斜率为k= 解析:直线 - + = 的斜率为

的斜率为- ,故所求直线方程为y- =- =-2(x+ , 的斜率为-2,故所求直线方程为 -3=- +1),即 2x+y-1=0. + - = 答案: 答案:A

4.已知直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是 ,则该直 .已知直线的倾斜角是 ° 轴上的截距是5, 轴上的截距是 线的方程为________________. 线的方程为 . 解析:因为直线的倾斜角是 ° 所以直线的斜率为k= 解析:因为直线的倾斜角是60°,所以直线的斜率为 = tan60°= ° ,又因为直线在y轴上的截距是 ,由斜截式, 又因为直线在 轴上的截距是5,由斜截式, 轴上的截距是 +5.

得直线的方程为y= 得直线的方程为 = 答案: = 答案:y= +5

5.已知直线l过点 -2,3),它的一个方向向量为 =(2,4), .已知直线 过点 过点P(- ,它的一个方向向量为a= , 则直线l的方程为 则直线 的方程为________________. 的方程为 . 解析:由已知k=2,∴l:y-3=2(x+2), 解析:由已知 = , : - = + , 即2x-y+7=0. - + = 答案: - + = 答案:2x-y+7=0

1.用待定系数法求直线方程的步骤: .用待定系数法求直线方程的步骤: (1)设所求直线方程的某种形式. 设所求直线方程的某种形式. 设所求直线方程的某种形式 (2)由条件建立所求参数的方程 组). 由条件建立所求参数的方程(组 . 由条件建立所求参数的方程 (3)解这个方程 组)求参数. 解这个方程(组 求参数 求参数. 解这个方程 (4)把所求的参数值代入所设直线方程. 把所求的参数值代入所设直线方程. 把所求的参数值代入所设直线方程

2.求直线方程时,首先分析具备什么样的条件;然后恰 .求直线方程时,首先分析具备什么样的条件; 当地选用直线方程的形式准确写出直线方程. 当地选用直线方程的形式准确写出直线方程.要注意若 不能断定直线具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以 不能断定直线具有斜率时, 讨论.在用截距式时,应先判断截距是否为 若不确定 若不确定, 讨论.在用截距式时,应先判断截距是否为0.若不确定, 则需分类讨论. 则需分类讨论.

的三个顶点为A(- △ABC的三个顶点为 -3,0),B(2,1),C(-2,3), 的三个顶点为 , , - , 求: (1)BC所在直线的方程; 所在直线的方程; 所在直线的方程 (2)BC边上中线 所在直线的方程; 边上中线AD所在直线的方程 边上中线 所在直线的方程; (3)BC边上的垂直平分线 的方程. 边上的垂直平分线DE的方程 边上的垂直平分线 的方程.

结合所结合所给条件选择适当的直线方程求解. 结合所结合所给条件选择适当的直线方程求解

因为直线BC经过 两点, 【解】 (1)因为直线 经过 因为直线 经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点 和 - 两点 式得BC的方程为 式得 的方程为 (2)设BC中点 的坐标 ,y),则 设 中点 的坐标(x, , 中点D的坐标 即x+2y-4=0. + - =

BC边的中线 过点 -3,0),D(0,2)两点,由截距式得 所 边的中线AD过点 两点, 边的中线 过点A(- , 两点 由截距式得AD所 在直线方程为 (3)BC的斜率 1= 的斜率k 的斜率 即2x-3y+6=0. - + = 的垂直平分线DE的斜率 ,则BC的垂直平分线 的斜率 2=2, 的垂直平分线 的斜率k ,

由斜截式得直线DE的方程为 = + 由斜截式得直线 的方程为y=2x+2. 的方程为

1.在本例条件下,求过B点且与 平行的直线方程. .在本例条件下,求过 点且与 平行的直线方程. 点且与AC平行的直线方程 解:∵ ∴所求直线的斜率为3. 所求直线的斜率为 又过点B(2,1), , 又过点 ∴所求直线方程为y-1=3(x-2). 所求直线方程为 - = - . 即3x-y-5=0. - - =

1.“截距 与“距离 是两个不同的概念,横截距是指直线与 . 截距 截距”与 距离 是两个不同的概念, 距离”是两个不同的概念 x轴的交点的横坐标,纵截距是指直线与y轴交点的纵坐 轴的交点的横坐标,纵截距是指直线与 轴交点的纵坐 轴的交点的横坐标 标.截距可以为任意实数,而距离是大于或等于零的 截距可以为任意实数, 实数. 实数. 2.题目中凡涉及“截距相等 、“截距互为相反数 、“截距 .题目中凡涉及 截距相等 截距相等”、 截距互为相反数 截距互为相反数”、 截距 的绝对值相等”等条件时, 的绝对值相等 等条件时,一定要考虑截距为零的情 等条件时 形.截距要加绝对值符号后才能成为线段的长度. 截距要加绝对值符号后才能成为线段的长度.

已知直线l过点 已知直线 过点P(3,2),且与 轴、y轴的正半轴 过点 ,且与x轴 轴的正半轴 分别交于A、B两点,如右图所示,求△ABO的面积的最小 分别交于 、 两点,如右图所示, 的面积的最小 两点 值及此时直线l的方程. 值及此时直线 的方程. 的方程

先建立AB所在直线方程 再求出 两点的坐标, 先建立 所在直线方程,再求出 两点的坐标 所在直线方程 再求出A,B两点的坐标 表示出△ABO的面积 然后利用相关的数学知识 的面积,然后利用相关的数学知识 表示出△ 的面积 求最值. 求最值

法一: 【解】 法一:设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0), , , > , > , 则直线l的方程为 则直线 的方程为 过点P(3,2), ∵l过点 过点 , ∴ 从而 S ?ABO = 故有S
?ABO

=

9 = (a ? 3) + + 6≤ 2 a?3

当且仅当a-3= 当且仅当 - = 即a=6时,(S△ABO)min=12,此时 = 时 ,此时b= 直线l的方程为 直线 的方程为 即2x+3y-12=0. + - = =1,

法二: 法二:设直线方程为 代入P(3,2)得 得 代入

1 得ab≥24,从而 △AOB= ab≥12, ,从而S , 2
此时 ∴方程为2x+3y-12=0. 方程为 + - =

法三:依题意知,直线 的斜率存在 的斜率存在. 法三:依题意知,直线l的斜率存在. 设直线l的方程为 - = - 设直线 的方程为y-2=k(x-3)(k<0), 的方程为 < , 则有A(3- 则有 - ,0),B(0,2-3k), , - ,
k

∴ S ( k ) = 1 (2 ? 3k )(3 ? 2 )
2

1 4 = [12 + ( ?9k ) + ( )] 2 ?k

1 = (12 + 12) = 12. 2

当且仅当- = 当且仅当-9k= k=- 即k=-

时,

时,等号成立, 等号成立,

故所求直线的方程为2x+ - = 故所求直线的方程为 +3y-12=0.

2.在本例条件下, l在两轴上的截距之和最小时直线 2.在本例条件下,求l在两轴上的截距之和最小时直线l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程. 的方程.

的斜率为k, 的方程为 的方程为y= - + , 解:法一:设l的斜率为 ,则l的方程为 =k(x-3)+2,令x 法一: 的斜率为 =0得B(0,2-3k),令y=0得A(3- 得 - , = 得 - ∴l在两轴上的截距之和为 在两轴上的截距之和为 ,0), ,

2 2 2 ? 3k + 3 ? = 5 + [( ?3k ) + ( ? )] k k
≥5+2 + ∴k=- =- (当且仅当 =- 当且仅当k=- 当且仅当 时,等号成立). 等号成立 .

在两轴上截距之和最小, 时,l在两轴上截距之和最小,此时 的方程为 在两轴上截距之和最小 此时l的方程为

6 x + 3 y ? 3 6 ? 6 = 0.

法二: 法二:设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线 的方程为 , , > , > ,则直线l的方程为

a+b=(a+b)

故当且仅当 即 的方程为 6x+3y-3 6 -6=0. + - = 时截距之和最小,此时 时截距之和最小,此时l

用解析法解决实际问题, 用解析法解决实际问题,就是在实际中建立直角 坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线, 坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而把问题 化为代数问题,利用代数的方法使问题得到解决. 化为代数问题,利用代数的方法使问题得到解决.

在路边安装路灯,路宽 在路边安装路灯,路宽23 m,灯杆长 ,灯杆长2.5 m, , 且与灯柱成角120°,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯 ° 路灯采用锥形灯罩, 且与灯柱成角 杆垂直.当灯柱高为多少米时, 杆垂直.当灯柱高为多少米时,灯罩轴线正好通过道路 路面的中线? 精确到 精确到0.01 m) 路面的中线?(精确到

本题是实际应用问题, 本题是实际应用问题,首先通过作图建立直角 坐标系,从而化归为数学问题解决 坐标系,从而化归为数学问题解决.

【解】 记灯柱顶端为B,灯罩顶为A,灯杆为AB,灯罩轴 记灯柱顶端为 ,灯罩顶为 ,灯杆为 , 线与道路中线交于点C.以灯柱底端 为原点 灯柱为y轴 线与道路中线交于点 以灯柱底端O为原点,灯柱为 轴, 以灯柱底端 为原点, 建立如图所示的直角坐标系. 的坐标为(0, , 建立如图所示的直角坐标系.点B的坐标为 ,h),点C的 的坐标为 的 坐标为(11.5,0). . 坐标为 ∵∠OBA=120°,∴直线 的倾斜角为 °, = 直线BA的倾斜角为 的倾斜角为30° ∵∠ ° 则点A的坐标为 则点 的坐标为(2.5cos30°,h+2.5sin30°),即(1.25 ° + °, 的坐标为 h+1.25), + , ,

∵CA⊥BA,∴KCA= ⊥ , 由直线的点斜式方程, 由直线的点斜式方程, 的方程为y- + 得CA的方程为 -(h+1.25)=- 的方程为 =- (x-1.25 - ), ,

灯罩轴线CA过点C(11.5,0), (h+ 灯罩轴线CA过点C(11.5,0),∴-(h+1.25) 过点 =- (11.5-1.25 - ), ,

解得h≈14.92(m). . 解得 故灯柱高约为14.92 m. 故灯柱高约为

3.一根弹簧,挂5 kg的物体,长10 cm,挂8 kg的物体时 .一根弹簧, 的物体, 的物体 , 的物体时 和所挂物体的重量W(kg)的 长16 cm,已知弹簧长度 ,已知弹簧长度l(cm)和所挂物体的重量 和所挂物体的重量 的 关系可以用直线方程来表示,用两点式表示这个方程, 关系可以用直线方程来表示,用两点式表示这个方程, 并且根据这个方程,求弹簧长为 并且根据这个方程,求弹簧长为12 cm时所挂物体的 时所挂物体的 重量. 重量.

为横坐标l为纵坐标 解:以W为横坐标 为纵坐标,则由题意知直线过点 为横坐标 为纵坐标,则由题意知直线过点(5,10) 和点(8,16),由直线的两点式方程得所求方程为: ,由直线的两点式方程得所求方程为: 和点

把l=12代入得 = 代入得 时所挂物体的重量为6 ∴W=6,即弹簧长为 cm时所挂物体的重量为 kg. = ,即弹簧长为12 时所挂物体的重量为

直线方程问题在高考中是每年必考内容, 直线方程问题在高考中是每年必考内容,大致考 查方式有: 查方式有:? (1)在选择、填空中与平行、垂直的条件相结合求 )在选择、填空中与平行、 直线方程.? 直线方程 ? (2)与圆相联系,涉及圆的切线、弦长问题考查直 )与圆相联系,涉及圆的切线、 线方程的应用.? 线方程的应用 ? (3)在解答题中考查直线与圆锥曲线的位置关系, )在解答题中考查直线与圆锥曲线的位置关系, 多用点斜式和斜截式.2009年安徽卷在选择题中将垂直 多用点斜式和斜截式 年安徽卷在选择题中将垂直 关系与直线方程的求法相结合进行考查,难度不大.属 关系与直线方程的求法相结合进行考查,难度不大 属 容易题. 容易题

(2009·安徽高考 直线l过点 -1,2)且与直线 -3y+4=0垂 安徽高考)直线 过点(- 且与直线2x- + = 垂 安徽高考 直线 过点 且与直线 直,则l的方程是 的方程是 A.3x+2y-1= A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 . - + = ( B.3x+2y+7= B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 . - + = )

[解析 法一:由直线 -3y+4=0得其斜率为 解析] 法一:由直线2x- + = 得其斜率为 解析 ∴k2=- .又l过点 -1,2), 又 过点 过点(- , (x+1) +

.

∴l:y-2=- : - =- 3x+2y-1= 即3x+2y-1=0.

法二: 的方程为 的方程为3x+ + = 法二:设l的方程为 +2y+m=0. 过点(- 代入, =-1. ∵l过点 -1,2)代入,∴m=- 过点 代入 =- 即方程为3x+ - = 即方程为 +2y-1=0. [答案 A 答案] 答案

本例解法二中采用了与已知直线Ax+ + = 垂直的直 本例解法二中采用了与已知直线 +By+C=0垂直的直 线方程可设为- + + = ,注意应用. 线方程可设为-Bx+Ay+m=0,注意应用.


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