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高一《三角函数的诱导公式》优质课_图文

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设?是一个任意角 , ?的终边上任意一点 P ( x , y )(除端点外 ), 它与原点的距离是 (r ? x ? y ? 0), 那么 :
2 2

r

x (3) tan ? ? y y (1) sin ? ? (2) cos ? ? x r r

上节

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三角函数的诱导公式一:

sin?? ? 2k? ? ? sin ?
cos?? ? 2k? ? ? cos?

tan?? ? 2k? ? ? tan?

实质:终边相同,三角函数值相等

用途:“大”角化“小”角

1 、理解正弦、余弦的诱导公式的

推导过程;
2 、掌握诱导公式,并会正确运用

公式进行有关计算、化简和证明。

角? -?的三角函数值与?的三角函数值有 何关系呢? y
P1 P

终边关于y轴对称

sin?? ? ? ?

? ??

M1 cos?? ? ? ? O cos? M

?

sin ?
x

一、三角函数的诱导公式二:

sin ?? ? ? ? ? sin ?
cos?? ? ? ? ? ? cos?

tan?? ? ? ? ? ? tan?

角? +?的三角函数值与?的三角函数值有 何关系呢?
y P M1 cos?? ? ? ?

终边关于原点对称

? ??

sin ?? ? ? ?
P1

O cos? M

?

sin ?
x

二、三角函数的诱导公式三:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan?

角-?的三角函数值与?的三角函数值 有何关系呢? y
P

终边关于x轴对称

O

x ?? cos?? ? ? sin?? ? ? P1

?

cos? sin ?
M

三、三角函数的诱导公式四:

sin?? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan?
三组诱导公式可概括为一句口诀:

“函数名不变,符号看象限.”

牛刀

小试

1 5? 1 : sin( ? ? ) ? , sin( ?? ) ? 6 3 6 ? 1 5? 2 : cos( ? ? ) ? , cos( ?? ) ?
6 3 6
挖掘角的相互关系,寻求诱导公式的应用

?

互补关系

课堂
0

例题

例1:求三角函数值:

2 解 : (1) cos225 ? cos(180 ? 45 ) ? ? cos45 ? ? 2 11? ? ? 3 (2) sin ? sin(4? ? ) ? ? sin ? ? 3 3 3 2
? ? ? ?

11? 16? ?1?cos 225 ; ?2?sin ; ?3?sin( ? ); ?4? cos ? 2040 0 3 3

?

?

16? 16? ? ?? 3 ? ?3?sin(? ) ? ? sin ? ? sin(5? ? ) ? ?? ? sin ? ? 3 3 3 3? 2 ?

?4?cos(?20400 ) ? cos20400 ? cos(6 ? 3600 ? 1200 )
1 ? cos120 ? cos(180 ? 60 ) ? ? cos60 ? ? 2
0 0 0 0

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π的角 的三角函数

课堂

例题

cos(180? ? ? ) ? sin(? ? 360?) 例2:化简: sin(?? ? 180?) ? cos(?180? ? ? ) cos(180? ? ? ) ? sin(360? ? ? ) 解: sin(?? ? 180?) ? cos(?180? ? ? ) ? ? cos? ? ? sin ? ? sin?? (? ? 180?)?? cos?? (? ? 180?)? ? ? cos? ? ? sin ? ? ? sin(? ? 180?) ? cos(? ? 180?) (? cos? ) ? sin ? ? ?1 ? ?? sin ? ? ? (? cos? )

课堂

练习

3 ? ? 7? ) ? ? (1).已知 ? ? ? ? 2? , cos( ,求 5 sin( 3? ? ? )的值。

3 (2).已知 sin(? ? ? ) ? ,α是第四象限角,则 5

cos( ? ? 2? ) 的值是 _______.

课堂

练习

(3). 已知2sin (3? ? ? ) ? cos(?? ? ? ), 求 2sin ? ? 3sin?cos? - cos ?的值
2 2

课堂

练习

(4). 在△ABC中,求证:cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)=sinC.

强化:已知A、B、C是?ABC的三个内角,求证: A? B 3? ? C ( 1 )cos(2 A ? B ? C ) ? ? cos A; (2) tan ? ? tan . 4 4

【总一总★成竹在胸】
三角函数的诱导公式:
tan(2k? ? ? ) ? t an? sin( 2 k ? ? ? ) ? sin ? 公式一: cos(2k? ? ? ) ? cos? tan( ? ? ? ) ? ? t an? sin( ? ? ? ) ? sin? 公式二: cos( ? ? ? ) ? ? cos? sin( ? ? ? ) ? ? sin? tan(? ? ? ) ? t an? 公式三: cos( ? ? ? ) ? ? cos? si n ( ?? ) ? ? si n? t an(?? ) ? ? t an?

公式四:

cos(?? ) ? cos?

思考:(1)给定一个角? ,终边与角 ? 的终边关 y ? x 对称的角与角 ? 有什么关系?它们的三角 于直线
函数之间又有什么关系?能否证明?
sin(

?
2

? ? ) ? cos?
?

公式 五

? (2)如何求 ? ? 的三角函数值? 2
sin(

cos( ? ? ) ? sin ? 2

?

y
??

P ( x, y )

p5 (? y, x )

2

?
O

p4 ( y, x ) ? ??
A(1,0)

2

?

公式 六

2

? ? ) ? cos?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

公式五:

sin(

?

公式六:

cos(
?
2

?
2

2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin ?

si n ( ? ? ) ? cos? 2 cos( ? ? ) ? ? si n? 2

?

?

? 的正弦 ? (余弦)函数值,分别等于α的余弦

(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函 数值的符号.
公式五和公式六实现了正弦函数和余弦函数的相互转化.

【总一总★成竹在胸】
口诀:奇变偶不变,符号看象限
? 意义: k ? ?? (k ? Z)的三角函数值
2 1)当k为偶数时,等于?的同名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; 2)当k为奇数时,等于?的异名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号;

牛刀

小试

1 ? 1 : sin( ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? 6 3 3

?

1 ? 2 : cos( ? ? ) ? , sin( ? ? ) ? 4 3 4
挖掘角的相互关系,寻求诱导公式的应用

?

互余关系

课堂

练习

化简下列各题:
?? ? cos? ? ? ? 2? ? (1) ? sin(? ? 2? ) ? cos(2? ? ? ) ? 5? ? sin ? ?? ? ? 2 ?
3

?? ? ? 3?? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 2 2 ? 5? ? ? 3? ? ? ? ? ? ?2? ? sin ? ? ? ? cos? ?? ? sin ?3? ? ? ? ? cos?4? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

课堂

练习

1 ? 3? 2? 1. cos( ? ? ) ? , ? ? ? ,则 sin( ??) 6 3 2 2 3

?

4 3? 2.?在第四象限, cos( ? ? ) ? , 则 sin( ? ? )的值是 2 5 2

?

3 3 3 4 A. ?  B.  C . ?  D. 5 5 5 5

课堂

练习
0

1 3.已知 cos(75 ? ? ) ? ,α为第三象限角,求 3

cos( 150 ? ? ) ? sin( ? ? 150 ) 的值.

?4?求 sin
的值

2 0

1 ? sin 2 ? ?? ? sin 88 ? sin 89
2 0 2 0 2

0

提升

训练

【例 4】 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π- B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角.

思路分析:本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简, 然后利用sin2α+cos2α=1,求出cosA的值,再利用A+B +C=π进行求解.

提升

训练

【例 4】 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π- B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角.
? ?sinA= 2sinB ① 解:由已知得? ? ? 3cosA= 2cosB
2 2 2



2 ① +② 得 2cos A=1,即 cosA=± 2 . 2 3 (1)当 cosA= 时,cosB= , 2 2 π π 又 A、B 是三角形内角,∴A= ,B= , 4 6 7 ∴C=π-(A+B)= π. 12

提升

训练

【例 4】 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π- B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角.

2 3 (2)当 cosA=- 2 时,cosB=- 2 . 又 A、B 是三角形内角, 3 5 ∴A=4π,B=6π,不合题意. π π 7 综上知,A=4,B=6,C=12π.

提升

训练

? 变式迁移 4 在锐角△ABC中,求证:sinA +sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
证明:∵△ABC 是锐角三角形, π π π ∴A+B>2,即2>A>2-B>0, π ∴sinA>sin( -B),即 sinA>cosB; 2 同理 sinB>cosC;sinC>cosA, ∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

总结

规律

? 1.由一个角的一个三角函数值求其他三角函数 值时,要注意讨论角的范围. ? 2.注意公式的变形使用,弦切互化、三角代换、 消元是三角代换的重要方法,要尽量减少开方 运算,慎重确定符号. ?


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