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1.3简单的逻辑联结词


_1.3

简单的逻辑联结词

1.3 简单的逻辑联结词

逻辑联结词“且”或“非”

如图所示,有三种电路图.

问题 1:甲图中,什么情况下灯亮? 提示:开关 p 闭合且 q 闭合. 问题 2:乙图中,什么情况下灯亮? 提示:开关 p 闭合或 q 闭合. 问题 3:丙图中,什么情况下灯不亮? 提示:开关 p 不闭合时.

构成新命题 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来, 就得到一个新命题 用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来, 就得到一个新命题 对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题

记作 p∨q

读作 p或q

p∧q 綈p

p且q 非 p 或 p 的否定

含有逻辑联结词的命题的真假判断

如知识点一中的图,若开关 p,q 的闭合与断开分别对应命题 p、q 的真与假,则灯亮与 不亮分别对应着 p∧q,p∨q,綈 p 的真与假. 问题 1:什么情况下,p∧q 为真? 提示:当 p 真,q 真时. 问题 2:什么情况下,p∨q 为假?

提示:当 p 假,q 假时. 问题 3:什么情况下,綈 p 为真? 提示:当 p 假时.

“p∧q”“p∨q”“綈 p”的真假判断: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假 綈p 假 假 真 真

1.对“或”的理解,可联想集合中并集的概念.A∪B={x|x∈A,或 x∈B}中的“或”, 是指“x∈A”“x∈B”其中至少一个是成立的,即可以是 x∈A,且 x?B,也可以是 x?A,且 x∈B,还可以是 x∈A,且 x∈B.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义 是一致的, 它们都不同于生活用语中的“或”的含义. 生活用语中的“或”表示“不兼有”, 而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必兼有”.由“或”联结两个命题 p 和 q 构成的复合命题“p 或 q”,当“p 真 q 假”“p 假 q 真”“p 真 q 真”时,都为真. 2.对“且”的理解,可联想集合中“交集”的概念.A∩B={x|x∈A,且 x∈B}中的 “且”,是指“x∈A”“x∈B”同时满足,即 x 既属于集合 A,同时又属于集合 B.用“且” 联结两个命题 p 与 q 构成的复合命题“p 且 q”,当且仅当“p 真 q 真”时,为真. 3.对“非”的理解,可联想集合中“补集”的概念.“非”有否定的意思,一个命题 p 经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非 p”.当 p 真时,则“非 p”为假; 当 p 假时,则“非 p”为真.若将命题 p 对应集合 P,则命题非 p 就对应着集合 P 在全集 U 中的补集?UP.

分析命题的构成 [例 1] 指出下列命题的形式及构成它的简单命题: (1)24 既是 8 的倍数,也是 6 的倍数; (2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形; (3)矩形不是平行四边形. [思路点拨] 解答本题先进行命题结构分析,再写出每个简单命题.

[精解详析] (1)这个命题是“p∧q”的形式,其中 p:24 是 8 的倍数,q:24 是 6 的倍 数. (2)这个命题是“p∨q”的形式,其中 p:菱形是圆的内接四边形,q:菱形是圆的外切 四边形. (3)这个命题是“綈 p”的形式,其中 p:矩形是平行四边形. [一点通] (1)不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题,由简单命题与逻辑联结词 构成的命题是复合命题,因此就有“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式的复合命题,其中 p,q 为简单命题. (2)在“p∨q”“p∧q”“綈 p”中,p,q 都是命题,但在“若 p,则 q”中,p,q 可以 是命题,也可以是含有变量的陈述句. (3) 正确理解逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 是解题的关键,有些命题并不一定包含 “或”“且”“非”这些逻辑联结词,要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定.

1.命题“平行四边形的对边平行且相等”是( A.简单命题 C.“p∧q”的形式

)

B.“(綈 p)∧(綈 q)”的形式 D.“p∨q”的形式

解析:含有逻辑联结词“且”,故为“p∧q”的形式. 答案:C 2.分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题. (1)方程 x2+x+1=0 无实根; (2)他是运动员兼教练; (3)这些文学作品不仅艺术上有缺点,而且逻辑上有错误; (4)3≥1. 解:(1)这个命题是“綈 p”的形式,其中 p:方程 x2+x+1=0 有实根. (2)这个命题是“p∧q”的形式,其中 p:他是运动员,q:他是教练. (3)这个命题是“p∧q”的形式,其中 p:这些文学作品艺术上有缺点,q:这些文学作 品逻辑上有错误. (4)此命题为“p∨q”的形式,其中 p:3>1,q:3=1. 判断含有逻辑联结词的命题的真假 [例 2] 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈 p”形式的命题的真假. (1)p:6<6,q:6=6. (2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分. (3)p:函数 y=x2+x+2 的图象与 x 轴没有公共点,

q:不等式 x2+x+2<0 无解. (4)p:函数 y=cos x 是周期函数, q:函数 y=cos x 是奇函数. [思路点拨] 先判断 p, q 的真假, 再利用真值表判断“p∧q”“p∨q”“綈 p”的真假. [精解详析] (1)∵p 为假命题,q 为真命题, ∴p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,綈 p 为真命题. (2)∵p 为假命题,q 为假命题, ∴p∧q 为假命题,p∨q 为假命题, 綈 p 为真命题. (3)∵p 为真命题,q 为真命题, ∴p∧q 为真命题,p∨q 为真命题, 綈 p 为假命题. (4)∵p 为真命题,q 为假命题, ∴p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,綈 p 为假命题. [一点通] 判断复合命题的真假可以总结为三句话,即 (1)对“p∨q”命题:一真必真.也就是 p,q 中只要有一个是真命题,则“p∨q”一定 是真命题. (2)对“p∧q”命题:一假必假.也就是 p,q 中只要有一个是假命题,则“p∧q”一定 是假命题. (3)对“綈 p”命题:真假相反,也就是 p 与非 p 的真假不同,p 真,非 p 就假;p 假, 非 p 就真.

3.由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的新命题中,“p 或 q”为 真,“p 且 q”为假,“非 p”为真的是( A.p:3 是偶数,q:4 是奇数 B.p:3+2=6,q:5>3 C.p:a∈{a,b},q:{a}?{a,b} D.p:Q?R,q:N=N* 解析:“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,“非 p”为真,所以可知:p 假、q 真.对照 分析四个选项,只有 B 符合. 答案:B 4.判断下列命题的真假: (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边; (2)x=1 是方程 x2+3x+2=0 的根或 x=-1 是方程 x2+3x+2=0 的根; )

(3)A?(A∪B). 解:(1)这个命题是“p 且 q”的形式,其中 p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q: 等腰三角形顶角的平分线垂直于底边.因为 p 真 q 真,则“p 且 q”真,所以该命题是真命 题. (2)这个命题是“p 或 q”的形式,其中 p:1 是方程 x2+3x+2=0 的根,q:-1 是方程 x2+3x+2=0 的根.因为 p 假 q 真,则“p 或 q”真,所以该命题是真命题. (3)这个命题是“非 p”的形式,其中 p:A?(A∪B).因为 p 真,则“非 p”假,所以该 命题是假命题. 根据命题的真假求参数的范围 [例 3] 命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立;q:函数 f(x)=-(5 -2a)x 是减函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. [思路点拨] 解答本题可先求 p,q 中 a 的范围,再利用 p∨q 为真,p∧q 为假,构造关 于 a 的不等式组,求出 a 的范围. [精解详析] 设 g(x)=x2+2ax+4.因为关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成 立,所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点,故 Δ=4a2-16<0, ∴-2<a<2, ∴命题 p:-2<a<2. 函数 f(x)=-(5-2a)x 是减函数, 则有 5-2a>1,即 a<2.∴命题 q:a<2. 由 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.
? ?-2<a<2, (1) 若 p 真 q 假,则? 此不等式组无解. ?a≥2, ? ?a≤-2,或a≥2, ? (2)若 p 假 q 真,则? ? ?a<2,

∴a≤-2. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]. [一点通] (1)根据 p,q 的真假可判断命题 p∧q,p∨q 的真假;反之根据命题 p∧q,p∨q 的真假 也可以判断命题 p,q 的真假. (2)解答这类问题的一般步骤: ①求出命题 p,q 为真时参数的条件; ②根据命题 p∧q,p∨q 的真假判定命题 p,q 的真假; ③根据 p,q 的真假建立不等式(组),求出参数的取值范围.

1 5.已知 p: <0,q:x2-4x-5<0,若 p 且 q 为假命题,则 x 的取值范围是________. x-3 解析:p:x<3;q:-1<x<5.∵p 且 q 为假命题, ∴p,q 中至少有一个为假,∴x≥3 或 x≤-1. 答案:(-∞,-1]∪[3,+∞) 6.已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实 根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.
? ?Δ=m -4>0, 解:p:? 解得 m>2. ? ?m>0.
2

q:Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0. 解得 1<m<3.∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真.
? ?m≤2, ?m>2, ? 故? 或? ?1<m<3. ?m≤1,或m≥3, ? ?

解得 m≥3,或 1<m≤2. 所以 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).

1.一个复合命题,从字面上看不一定含“或”、“且”字样.这就需要我们掌握一些 词语、 符号或式子与逻辑联结词的关系, 如“或者”“x=± 3”“≤”的含义为“或”; “并 且”“綊”的含义为“且”. 2.判断复合命题真假的步骤: ①确定复合命题的构成形式,是“p∧q”“p∨q”,还是“綈 p”的形式; ②判断其中简单命题 p,q 的真假; ③根据真值表判断复合命题的真假. 3.已知命题的真假求参数的取值范围,可以先求出构成命题的 p 和 q 为真时参数的范 围,然后根据条件判断出 p 和 q 的真假,建立不等式(组)求参数的范围.

1.命题“p 或 q 为真”是命题“q 且 p 为真”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

)

D.既不充分也不必要条件 解析:当 p 或 q 为真时,可以得到 p 和 q 中至少有一个为真,这时 q 且 p 不一定为真; 反之当 q 且 p 为真时,必有 p 和 q 都为真,一定可得 p 或 q 为真. 答案:B
?1,x≥0, ? 2.给出命题 p:3≥3;q:函数 f(x)=? 在 R 上的值域为[-1,1].在下列三 ? ?-1,x<0

个命题:“p∧q”“p∨q”“非 p”中,真命题的个数为( A.0 C.2 B .1 D.3

)

解析:p 为真命题.对于 q,∵f(x)对应的函数值只有两个,即 1 或-1,所以 f(x)的值域 为{1,-1}, ∴q 为假命题,∴p∧q 假,p∨q 真,非 p 假. 答案:B 3.已知 p:函数 y=2|x
-1|

1 的图象关于直线 x=1 对称;q:函数 y=x+ 在(0,+∞)上是 x )

增函数.由它们组成的新命题“p 且 q”“p 或 q”“綈 p”中,真命题有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

1 解析:命题 p 是真命题.y=x+ 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,故 q 为 x 假命题. ∴p 且 q 为假,p 或 q 为真,綈 p 为假. 答案:B 4.已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数,


p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数.


在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4

)

1 - 解析:∵y=2x 在 R 上为增函数,y=2 x=( )x 在 R 上为减函数, 2 1 - ∴y=-2 x=-( )x 在 R 上为增函数, 2 ∴y=2x-2 x 在 R 上为增函数,故 p1 是真命题.


y=2x+2 x 在 R 上为减函数是错误的,故 p2 是假命题.


∴q1:p1∨p2 是真命题,因此排除 B 和 D. q2:p1∧p2 是假命题,q3:綈 p1 是假命题,

(綈 p1)∨p2 是假命题,故 q3 是假命题,排除 A. 答案:C b 5.已知 p:不等式 ax+b>0 的解集为{x|x>- },q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的 a 解集为{x|a<x<b}.若“p∨q”是假命题,则 a,b 满足的条件是________. 解析:∵p∨q 为假命题,∴p,q 均为假命题.p 假?a≤0,q 假?a≥b,则 b≤a≤0. 答案:b≤a≤0 6.已知 p:x2-x≥6,q:x∈Z.若“p∧q”“綈 q”都是假命题,则 x 的值组成的集合 为 ________. 解析:因为“p∧q”为假,“綈 q”为假,所以 q 为真,p 为假.
2 ? ? ?x -x<6, ?-2<x<3, 故? 即? ?x∈Z, ? ? ?x∈Z.

因此,x 的值可以是-1,0,1,2. 答案:{-1,0,1,2} 7.分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式的新命题,并判断 其真假: (1)p:6 是自然数;q:6 是偶数. (2)p:??{0};q:?={0}. 解:(1)p∧q:6 是自然数且是偶数.它是真命题. p∨q:6 是自然数或是偶数.它是真命题. 綈 p:6 不是自然数.它是假命题. (2)p∧q:??{0}且?={0}.它是假命题. p∨q:??{0}或?={0}.它是真命题. 綈 p:??{0}.它是假命题. 8.已知 a>0,a≠1.设 p:函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减;q:曲线 y=x2+ (2a-3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 a 的取值范围. 解:当 0<a<1 时,函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减. 当 a>1 时,y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减函数,故 p 真时 0<a<1. 1 5 q 真等价于(2a-3)2-4>0,即 a< 或 a> . 2 2 1 5 又 a>0,∴0<a< 或 a> . 2 2 ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p,q 中必定是一个为真一个为假.

(1)若 p 真,q 假, 0<a<1, ? ? 则?1 5 ?2≤a<1或1<a≤2 ? 1 ? ≤a<1, 2 1 即 a∈[ ,1). 2 (2)若 p 假,且 q 真, a>1, ? ? 则? 1 5 ? ?0<a<2或a>2 5 ?a> , 2 5 即 a∈( ,+∞). 2 1 5 综上可知,a 的取值范围为[ ,1)∪( ,+∞). 2 2


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