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【全国百强校】陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

陕西省西安市长安一中 2017~2018 学年度第一学期期末考试 高二数学试题(理科) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的.) 1. 设复数 满足 A. B. C. ,则 = ( ) D. 2 【答案】C 【解析】 复数 满足 = 故选 2. 已知命题“存在 x0∈R,使 +(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数 a 的取值范围是( ) A. (-∞,-1) C. (-3,+∞) 【答案】B B. (-1,3) D. (-3,1) 【解析】试题分析:原命题是假命题,所以其否定 是真命题 考点:全称命题特称命题及二次函数性质 3. 在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计,统计结果如 右面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~120 km/h,试估计 2000 辆车 中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( ) A. 30 辆 【答案】B B. 1700 辆 C. 170 辆 D. 300 辆 【解析】由频率分布直方图得: 在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为 估计 故选 辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 (辆) 2 4. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 2 A. k +1 2 B. (k+1) ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上( ) C. 【答案】D 2 2 2 2 D. (k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1) 【解析】试题分析:当 n=k 时,等式左端= = 考点:数学归纳法. ,当 n=k+1 时,等式左端 ,增加了 2k+1 项.故选 D. 5. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则 A. a 2 2 B. a 2 C. a 的值为( ) D. a2 【答案】C 【解析】根据正四面体的的棱长为 ,画出图形如下: 故选 6. 直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 4 B. C. 2 D. 3 ). 【答案】A 【解析】先根据题意画出图形: 得到积分上限为 ,积分下限为 曲线 与直线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 而 故曲边梯形的面积为 故选 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良 好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说:我还是不知道我 的成绩。根据以上信息,则( A. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 【答案】D 【解析】四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,甲不知道自己的成绩 乙丙必有一优一良, (若为两优,甲会知道自己的成绩;若为两良,甲也会知道自己的成绩) 乙看到了丙的成绩,知道自己的成绩 丁看到甲,丁也为一优一良,丁知道自己的成绩 故选 8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中 位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( ) ) B. 丁可以知道四人的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 A. 2, 5 【答案】C B. 5, 5 C. 5, 8 D. 8, 8 【解析】试题分析:由题意得 考点:茎叶图 视频 , ,选 C. 2 9. 已知条件 p:x +2x-3>0;条件 q:x>a,且 的一个充分不必要条件是 ,则 a 的取值范围是( ) A. [1,+∞) 【答案】A 【解析】 B. (-∞,1] C. (1,+∞) D. (-∞,-3] 的一个充分不必要条件是 ,所以 p 是 q 的必要不充分条件,即 ,所以 故选 A 10. 已知正四棱柱 ( A. 1 ) B. C. D. 2 中, , 为 的中点,则直线 与平面 的距离为 【答案】A 【解析】 如图,连接 平面 直线 在三棱锥 在三棱锥 交 于 ,在三角形 中,易证 , 与平面 中, 中, 的距离即为点 到平面 的距离,设为 故选 11. 已知双曲线 C: ,若 A. 【答案】B 【解析】 , B. C. (a>0,b>0)与直线 ,且 D. 交于 其中 ) ,则双曲线 C 的渐近线方程为( , 联立方程 ,解得 即 , 则渐近线方程为 故选 点睛:本题考查了双曲线与直线的综合题目,依据条件给出 点坐标,利用角度转化为直线斜率问题,从而 求出 关系,计算出双曲线的渐近线方程,计算较大,需要转化,难度较大。 = ,其中 B. [- , ) ,若存在唯一的整数 ,使得 D. [ ,1) ,则 的取值范围是( ) 12. 设函数 A. [- ,1) 【答案】D C. [ , ) 【解析】 函数 设 , 存在唯一的整数 使得 存在唯一的整数 使得 ,其中 , 在直线 的下方 当 时, 当 时, 当 直线 故 时, 恒过 , ,斜率为 , 解出 故选 点睛:本题主要考查了函数的零点以及利用导数研究函数的极值。设 存在唯一的整数 使得 在直线 , ,问题转化为 且 的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得 ,解关于 的不等式组即可得到答案 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.) 拟采用分层抽样的方法, 从该校四个年级的 13. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数 之比为 4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.

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