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1.6 三角函数模型的简单应用 教案+习题

§ 1.6 学习目标 三角函数模型的简单应用 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题(重点、难点).2.体会三角函数是描 述周期变化现象的重要函数模型(重点). 预习教材 P60-63 完成下面问题: 知识点 三角函数的应用 1.根据实际问题的图象求出函数解析式. 2.三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型,因此可将实际问题抽象为与 三角函数有关的简单函数模型. 3.利用搜集的数据,作出散点图,通过观察散点图进行函数拟合而得到函数模型,最 后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 【预习评价】 一根长 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)与时间 t(s)的函数关系式为 s=3cos? ? g π? t+ ,其中 g 是重力加速度,当小球摆动的周 l 3? 期是 1 s 时,线长 l=________ cm. 解析 T= 2π =1, g l ∴ ∴l= g =2π, l g . 4π2 g 4π2 答案 题型一 三角函数图象与解析式的对应问题 【例 1】 (1)已知函数 y=sin ax+b(a>0)的图象如图所示,则函数 y=loga(x+b)的图象 可能是( ) T π 解析 由函数的图象可得 0<b<1, = >2π-π, 2 a ∴0<a<1,故函数 y=loga(x+b)为减函数,且图象经过点(1-b,0),(0,logab),logab>0, 结合所给选项可知选 C. 答案 C (2)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角 速度为 1,那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( ) 解析 通过分析可知当 t=0 时,点 P 到 x 轴的距离 d 为 2,于是可以排除答案 A,D, π 再根据当 t= 时,可知点 P 在 x 轴上,此时点 P 到 x 轴的距离 d 为 0,排除答案 B,故选 C. 4 答案 C 规律方法 解决函数图象与解析式对应问题的策略 (1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决,如函数的奇偶性、周期性、对称 性、单调性、值域,此外零点也可以作为判断的依据. (2)利用图象确定函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式,实质就是确定其中的参数 A,ω,φ.其 中 A 由最值确定;ω 由周期确定,而周期由特殊点求得;φ 由点在图象上求得,确定 φ 时, 注意它的不唯一性,一般要求|φ|中最小的 φ. π π? 【训练 1】 函数 y=ln(cos x)? ?-2<x<2?的大致图象是( ) 解析 设 f(x)=ln(cos x),由 f(-x)=f(x)知 y=ln(cos x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称, π π 可排除 B,D,又当- <x< 时,0<cos x≤1,所以 y=ln(cos x)≤0,排除 C,选 A. 2 2 答案 A 题型二 三角函数在物理学中的应用 【例 2】 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I=Asin(ωt+φ). π (1)如图所示的是 I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象,根据图中数据求 I 2 =Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果 t 在任意一段 1 秒的时间内, 电流 I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值, 那 150 么 ω 的最小正整数值是多少? 解 1 1 (1)由题图知 A=300,设 t1=- ,t2= , 900 180 1 1 ? 1 则周期 T=2(t2-t1)=2? ?180+900?=75. 2π ∴ω= =150π. T 又当 t= 1 1 ? 时,I=0,即 sin? ?150π·180+φ?=0, 180 π π 而|φ|< ,∴φ= . 2 6 π? 故所求的解析式为 I=300sin? ?150πt+6?. 1 (2)依题意,周期 T≤ , 150 即 2π 1 ≤ (ω>0), ω 150 ∴ω≥300π>942,又 ω∈N*, 故所求最小正整数 ω=943. 规律方法 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意 义并与对应的三角函数知识结合解题. 【训练 2】 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球来回摆动时,离开平衡 π 位置的位移 S(单位:cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是:S=6sin(2πt+ ). 6 (1)画出它一个周期的图象; (2)回答以下问题: ①小球开始摆动(即 t=0),离开平衡位置是多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? ③小球来回摆动一次需要多少时间? 解 2π (1)周期 T= =1(s). 2π 列表: t 2πt+ π 6 0 π 6 3 1 6 π 2 6 5 12 π 0 2 3 3π 2 -6 11 12 2π 0 1 π 2π+ 6 3 π 6sin(2πt+ ) 6 描点画图: (2)①小球开始摆动(t=0),离开平衡位置为 3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm. ③小球来回摆动一次需要 1 s(即周期). 题型三 三角函数在实际生活中的应用 【例 3】 如图所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要 12 分钟,其中心 O 距离地面 40.5 米,半径为 40 米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时 间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题: (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式; (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时,用了多长时间? 解 (1)由已知可设 y=40.5-40cos ωt,t≥0,由周期为 12 分钟可知,当 t=6 时,摩天 π 轮第 1

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