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2016年海淀区第一次模拟考试 理科数学

顺义区 2016 届高三第一次统练







卷(理科)
共 40 分)

2016.3

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项.

1.设 i 为虚数单位,则 i (2i ? 1) ? (A) 2 ? i
【答案】C 【考查方向】复数的概念 【易错点】忽略 i ? ?1 这一等式
2

( (C) ?2 ? i

)

(B) 2 ? i

(D) ?2 ? i

【解题思路】按照复数的四则运算法则计算 【解析】 i(2i ? 1) ? ?2 ? i

2.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1} , B ? {x | log 2 x ? 1} ,则 A B ? (A) {x | ?1 ? x ? 1} (C) {x | 0 ? x ? 2} (B) {x | 0 ? x ? 1} (D) {x | ?1 ? x ? 2}





【答案】B 【考查方向】本题考查集合之间的基本运算,求交集 【易错点】集合中元素的特征 【解题思路】分别求出集合 A 和集合 B 中 x 的取值范围 【解析】 由题意可知, A ? ??1 ? x ? 1? , B ? ?0 ? x ? 2? ,所以集合 A 和集合 B 的交集为

{x | 0 ? x ? 1}

3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 (A) y ? 2 x (C) y ? ? (B) y ? x 3 ? x (D) y ? ? log 2 x





1 x

【答案】B 【考查方向】函数的奇偶性,函数的单调性 【易错点】考虑函数奇偶性和单调性的时候,要注意函数的取值范围 【解题思路】先判定奇偶性再判定函数增减性 【解析】 根据函数的性质可以知道,A、B 为增函数,B、C 为奇函数,所以选 B

4.执行如图所示的程序框图,输出的结果是 (A)15 (B)21 (C)24 (D) 35
【答案】C 【考查方向】流程图 【易错点】循环语句理解错误,判断条件看错 【解题思路】顺序结构 循环结构 判断结构 【解析】

(

)

T=3,S=3,i=2,不满足判断框中的条件; T=5,S=8,i=3,不满足判断框中的条件; T=7,S=15,i=4,不满足判断框中的条件; T=9,S=24,i=5,满足判断框中的条件;输出 S,输出结果为 35,所以选 C r r r 5.已知向量 a ? ( x, ?1) , b ? ( x, 4) ,其中 x ? R .则“ x ? 2 ”是“ a ? b ”成立的 ( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件



【答案】A 【考查方向】平面向量的数量积,向量垂直,充分条件与必要条件 【易错点】充分条件和必要条件理解错误,向量垂直推出的结论 【解题思路】根据向量垂直数量积的特点进行求解 【解析】 此题中向量垂直的充分必要条件是, x ? ?2 ,所以由前面可以推出后面,但是由后面推不 出来前面,所以是充分而不必要条件

? ?x ? 1? ? 6.直线 l : ? ?y ? 2 ? ? ?

2 t ? x ? 2 ? 2 cos ? 2 ( t 为参数)与圆 C : ? ( ? 为参数) ? y ? 1 ? 2sin ? 2 t 2

的位置关系是 (A) 相离

(B) 相切

( ) (C) 相交且过圆心 (D)相交但不过圆心

【答案】D 【考查方向】参数方程与直角坐标方程 【易错点】坐标转换 【解题思路】先换成直角坐标系下的方程,用点到直线的距离求解 【解析】 圆 C 的圆心坐标到直线的距离小于半径且不等于半径,所以圆与直线的位置关系是相交但 不过圆心。

? x ? 2 y ? 2, ? 7.在平面直角坐标系中,若不等式组 ?1 ? x ? 2, ( a 为常数)表示的区域面积等于 1 , ?ax ? y ? 1 ? 0 ?

则 a 的值为 (A) ?

( (B)
1 6

)

1 6

(C)

1 2

(D) 1

【答案】B 【考查方向】平面向量的应用 简单线性规划 【易错点】 【解题思路】建立适当的坐标系,利用线性规划理论,根据区域的面积求参数的值 【解析】

1 由题可知,A(2,2a+1),B(1,a+1), C (1, ) ,D(2,0) 2
所以 S ?

2a ? 1 ? a ? 1 ? 2

1 2 ?1 ? 1 ,所以 a ? 1 6

8.如图,已知平面 ? I 平面 ? = l , ? ? ? . A、B 是直线 l 上的两点,
C、D 是平面 ? 内的两点,且 DA ? l , CB ? l ,
DA ? 4, AB ? 6 , CB ? 8 . P 是平面 ? 上的一动点,

且有 ?APD ? ?BPC ,则四棱锥 P ? ABCD 体积的 最大值是 (A) 48 (B) 16 ( ) (D) 144

(C) 24 3

【答案】A 【考查方向】线面垂直,面面垂直,四棱锥的体积,求最大值 【易错点】判断最大值时的情况 【解题思路】先根据已知条件,用参数表示四棱锥的体积,然后找到最大值的情况。 【解析】 由题意知:三角形 PAD,三角形 PBC 是直角三角形,有 ?APD ? ?BPC ,所以三角形

PAD 相似于三角形 PBC,因为 DA=4,CB=8,所以 PB=2OA.作 PM 垂直于 AB 于 M,
2 令 AM=t.则 PM ? 12 ? 4t ? t 即为四棱柱的高,所以

1 V ? ? 36 ? 12 ? 4t ? t 2 ? 12 ?(t ? 2)2 ? 16 ? 12 ? 4 ,所以最小值为 48 3

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

1 9. ( x 2 ? )6 的展开式中 x 3 的系数为 ______ (用数字作答). x
【答案】20 【考查方向】二项式展开式的系数 【易错点】二项式展开后,忽略某几项乘积为 x 2 时的系数 【解题思路】根据二项式展开式,求得 【解析】该二次项展开为

?C
i ?0

6

r 6

6 1 ( x 2 )6?r ( )r ,即 ? C6r x12? 2 r ?r ,展开式中 x 3 的系数,可令 x i ?0

3 ? 12 ? 2r ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ,所以 x 3 的系数为 C6

6? 5? 4 ? 20 ,所以选 20。 3? 2

10.抛物线 y 2 ? ?8 x 的准线与双曲线 C :
_________.
【答案】 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形面积为 8 4

【考查方向】抛物线的准线,双曲线两条渐近线 【易错点】交点坐标求错。 【解题思路】根据题意作出图形,求解面积 【解析】 由题意可知,得到抛物线准线与双曲线的三个交点的坐标分别为:A(-2,0),B(2, 2 2 ), C(2,- 2 2 ),所以所围成的三角形的面积为 S ?

1 ?2 2?2 ? 2 2 2

11.已知某几何体的三视图如图,正(主)视图中的弧线是半圆, 根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是 ________ (单位: cm ).
2

【答案】 4 ? 3? 【考查方向】几何体的三视图 【易错点】从三视图还原不成几何体,几何体的体积求错 【解题思路】利用所给的三视图判断出几何体的形状 【解析】 三视图复原几何体是一个圆柱的一半,半径为 1,高为 2, 所以其几何体的面积为圆柱的表面积的一半为 3? 与正方形的面积为 4,所以几何体的表面积为 4 ? 3? 。

2 ? ? x ? ? 2, x ? 1 12. 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ?log ( x 2 ? 1). x ? 1 ? 3

则 f ( f (? 2)) ? ______; f ? x ? 的 最 小 值





【答案】1,0 【考查方向】分段函数,函数的最值 【易错点】利用分段函数求函数最值 【解题思路】第 1 问,将 ? 2 代入函数中,进行计算,第 2 问根据函数取值范围判断 【解析】 将 ? 2 代入到函数中,得到 f (1) ,所以 f ( x) ? 1 ,因为两个分段函数的函数值都是大于 0 的,所以函数的最小值为 0。

13.某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、 晚间隔 12 小时各服一次药,每次一片,每片 200 毫克.假设该患者的肾脏每 12 小时从体 内大约排出这种药在其体内残留量的 50% ,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过
400 毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午 8 点第一次服药,则第二天上午 8 点服完 ..

药时 ,药在其体内的残留量是 _______ 毫克,若该患者坚持长期服用此药 ________ 明显 .. 副作用(此空填“有”或“无”).
【答案】350,无 【考查方向】等比数列 【易错点】等比数列的通项公式求错 【解题思路】先根据题意求出数列 an 的钱几项,找到规律,进而求出 an 的值。 【解析】 设该病人第 n 次服药后,药在体内的残留量为 an 毫克,所以

a1 ? 200, a2 ? 200 ? a1 (1 ? 50%) ? 300 , a3 ? 350
由 an ? 200 ? 0,5an?1 ,? an ? 400 ? 0.5(an?1 ? 400) ,所以 ?an ? 400? 是一个等比数列,所以

an ? 400 ? ?200 ? 0.5n?1 ? 0 ,所以 an ? 400
14.. 设 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 是空间中给定的 5 个不同的点,则使 ? MAk ? 0 成立的点 M 的个数有
k ?1 5

_________ 个.
【答案】1 【考查方向】平面向量坐标运算 【易错点】设向量坐标时考虑不全 【解题思路】先设出平面向量的坐标,然后利用已知条件,求 M 点的坐标

【解析】 设 A1 ( x1 , y1 , z1 ), A2 ( x2 , y2 , z2 ), A3 ( x3 , y3 , z3 ), A4 ( x4 , y4 , z4 ), A5 ( x5 , y5 , z5 )

M (a, b, c) ,因为 ? MAk ? 0
k ?1

5

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? ?a ? 5 ? y ? y ? y ? 1 2 3 ? y4 ? y5 ,因此存在唯一的一个点 M,使结论成立 ?b ? 5 ? z1 ? z2 ? z3 ? z4 ? z5 ? ?c ? 5 ?

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分)

? 1 已知函数 f ( x) ? cos( ? x) cos x ? sin 2 x ? , x ? R . 2 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间. 6 3

【答案】见解析 【考查方向】三角形函数的图象与性质;三角形的恒等变换 【易错点】恒等变换时候错误 【解题思路】先利用恒等变换换成三角函数一般形式,然后利用函数单调性求单调区间 【解析】 解:(Ⅰ)由已知 f ( x) ? cos(

?
2

? x) cos x ?sin 2 x ?

1 1 ? cos 2 x 1 ? sin x cos x ? ? 2 2 2
【6 分】

【3 分】

1 1 2 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 4
当 2x ? (Ⅱ)

?
4

? 2k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
8

,k?z

时, f max ( x) ?

2 2

【7 分】

当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k ? ?

?
2

时, f ( x) 递增

【9 分】

3? ? ? ? ? x ? k? ? , 令 k ? 0 ,且注意到 x ? [? , ] 8 8 6 3 ? ? 【13 分】 ?函数 f ( x) 的递增区间为 [? , ] 6 8
即 k? ?

16.(本小题满分 13 分) 在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中,主持人准备了 A,B 两个问题,规

定:被抽签抽到的答题同学,答对问题 A 可获得 100 分,答对问题 B 可获得 200 分,答 题结果相互独立互不影响,先回答哪个问题由答题同学自主决定;但只有第一个问题答 对才能答第二个问题,否则终止答题.答题终止后,获得的总分决定获奖的等次.若甲是 被抽到的答题同学,且假设甲答对 A,B 问题的概率分别为
1 1 , . 2 4

(Ⅰ)记甲先回答问题 A 再回答问题 B 得分为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高?请说明理由.
【答案】见解析 【考查方向】随机变量的期望与方差,随机变量的分布列 【易错点】求期望错误,分布列考虑问题不全 【解题思路】根据所有可能情况列举出来求解,写出当随机变量取不同值时的情况。 【解析】 (Ⅰ) ? 的可能取值为 0,100.300 . 【2 分】

1 1 1 =( )0 ? (1 ? ) ? , ? P(? ? 0) 2 2 2 1 1 3 P(? ? 100) = ? (1 ? ) ? , 2 4 8 1 1 1 P(? ? 300) = ? ? 2 4 8
分布列为:

【5 分】

?
P

0

100

300

1 2
【7 分】

3 8

1 8

E? ?

600 ? 75 . 8

(Ⅱ)设先回答问题 B ,再回答问题 A 得分为随机变量? ,则? 的可能取值为 0, 200.300 .

1 3 =(1 ? ) ? , ? P(? ? 0) 4 4 1 1 1 P(? ? 2 0) 0 = ? (? 1 ? ), 4 2 8 1 1 1 P(? ? 3 0) 0 =? ? , 4 2 8
分布列为:

【10 分】

?
P

0

200

300

3 4

1 8

1 8

E? ?

500 ? 62.5 . 8

【12 分】

E? ? E?
?应先回答 A 所得分的期望值较高.
【13 分】

17.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,等边 PAD 所在的平面与正方形 ABCD 所在的平面互相垂直,
O 为 AD 的中点, E 为 DC 的中点,且 AD ? 2.

(Ⅰ)求证: PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 P ? EB ? A 的余弦值; (Ⅲ)在线段 AB 上是否存在点 M ,使线段 PM 与 PAD 所在平面成 30? 角.若存在, 求出 AM 的长,若不存在,请说明理由.
【答案】见解析 【考查方向】直线与平面平行的判定 直线与直线垂直、二面角 的平面角的三角函数值 【易错点】找不到二面角,辅助线作不出来 【解题思路】利用面面垂直证明线面垂直,利用余弦定理表示出平面角的值,根据题意表示出 M 的 位置,并判断其是否存在 【解析】 解:(Ⅰ)

PAD 是等边三角形, O 为 AD 的中点,

? PO ? AD

平面 PAD ? 平面 ABCD , AD 是交线, PO ? 平面 PAD

? PO ? 平面 ABCD . 【4 分】
(Ⅱ)取 BC 的中点 F , 底面 ABCD 是正方形,? OF ? AD ,? PO,OF , AD 两两垂直.

分别以 OA、OF、OP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 P(0,0, 3), B(1, 2,0), C(?1, 2,0), D(?1,0,0), A(1,0,0), E (?1,1,0) 【5 分】

PA ? (1,0, ? 3) , AE ? (?2,1,0,) , EP ? (1, ?1, 3) , EB ? (2,1, 0, )
设平面 PBE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,? ?

? ?n ? PE ? 0 ? ?n ? EB ? 0

,? ?

? ?( x, y, z ) ? (1, ?1, 3) ? 0 ? ?( x, y, z ) ? (2,1, 0) ? 0

?x ? 1 ? ? ?x ? y ? z ? 0 ,? ? y ? ?2 ,? n ? (1, ?2, ? 3) ?? ? ?2 x ? y ? 0 ? ?z ? ? 3
平面 EBA 的法向量即为平面 ABCD 的法向量 OP ? (0,0, 3,) . 由图形可知所求二面角为锐角,? cos ? n, OP ??|

n ? OP 6 |? 4 | n || OP |

【9 分】

(Ⅲ)方法 1:设在线段 AB 上存在点 M (1, x,0) , (0 ? x ? 2) , 使线段 PM 与 PAD 所在平面成 30 角, 平面 PAD 的法向量为 (0, 2,0) , PM ? (1, x, ? 3) ,
0

? sin 300 ?|

2x 2 4? x
2

|?

x 4? x
2

?

1 2 3 ,解得 x ? ,适合 3 2
2 3 0 时,与 PAD 所在平 PM 面成 30 角. 【13 分】 3

?在线段 AB 上存在点 M ,当线段 AM ?
方法 2:由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD ,

BA ? AD , BA ? PO , PO AD ? O

? BA ? 平面 POD .
设在线段 AB 上存在点 M 使线段 PM 与 PAD 所在平面成 30 角,
0

连结 PM ,由线面成角定义知: ?MPA 即为 PM 与 PAD 所在平面所成的角,

AM ? PA ? tan 300 ?

2 3 2 3 0 ,当线段 AM ? 时,与 PAD 所在平 PM 面成 30 角. 3 3

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ln x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
1 (Ⅱ)设 g ( x) ? x2 ? x ? t ,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [ , e] 上(这里 e ? 2.718 )恰有两个 e

不同的零点,求实数 t 的取值范围.
【答案】见解析

【考查方向】利用导数求最值和极值;利用导数研究函数的单调性;导数的概念和几何意义 【易错点】求导错误,函数性质理解错误 【解题思路】先根据导数的性质求切线的斜率,利用导数的性质研究函数的单调性,求函数的最值 【解析】 解:(Ⅰ)函数定义域为 (0, ??) 【1 分】 【2 分】 【5 分】

f '( x) ? 2 x ?

1 ,? f '(1) ? 1 x

又 f (1) ? 1 ,?所求切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 0

(Ⅱ)函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ln x ? x ? t 在 [ , e] 上恰有两个不同的零点, 等价于 ? ln x ? x ? t ? 0 在 [ , e] 上恰有两个不同的实根, 等价于 t ? x ? ln x 在 [ , e] 上恰有两个不同的实根, 令 k ( x) ? x ? ln x, 则 k '( x) ? 1 ?

1 e

1 e

【8 分】

1 e

1 x ?1 ? x x

1 1 ?当 x ? ( ,1) 时, k '( x) ? 0 ,? k ( x) 在 ( ,1) 递减; e e
当 x ? (1, e] 时, k '( x) ? 0 ,? k ( x) 在 (1, e] 递增. 故 kmin ( x) ? k (1) ? 1 ,又 k ( ) ?

1 e

1 ? 1, k (e) ? e ? 1 . e

【11 分】

1 1 1 k ( ) ? k (e) ? 2 ? e ? ? 0 ,? k ( ) ? k (e) ,? k (1) ? t ? k ( 1 ) e e e e
即 t ? (1,1 ? ]

1 e

【13 分】

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 3 3 ,且点 (1, ) 在椭圆 E 上. ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
1 (Ⅱ)直线 l 与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ) . 2 求 AOB ( O 为坐标原点)面积的最大值.
【答案】见解析 【考查方向】圆锥曲线 椭圆的性质与特征 【易错点】计算能力 【解题思路】利用离心率求椭圆的方程,先表示出三角形 AOB 的面积,然后求最大值 【解析】

解:(Ⅰ)由已知

e2 ? 1 ?

1 3 ? ,? a 2 ? 4 2 a 4

【2 分】

点 (1,

3 ) 在椭圆上,? 12 ? 3 2 ? 1 ,解得 a ? 2, b ? 1 . 2 a 4b
x2 ? y2 ? 1 4
【4 分】

?所求椭圆方程为

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 当直线 AB 的斜率 k ? 0 时,

1 AB 的垂直平分线过点 (0, ) , ? AB 的斜率 k 存在. 2

? x1 ? ? x2 ,

y1 ? y2

? SV AOB ? ? 2 | x || y |?| x || y |?| x | 1 ?

1 2

x12 1 2 1 x2 ? 4 ? x2 ? x1 (4 ? x12 ) ? ? ?1 4 2 2 2
【6 分】

" ? " 当且仅当 x12 ? 4 ? x12 , ? x1 ? ? 2 时, (SV AOB )max ? 1
当直线 AB 的斜率 k ? 0 时, 设 l AB : y ? kx ? m (m ? 0) .

? y ? kx ? m ? 2 2 2 消去 y 得: (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ? ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
由 ? ? 0 . 4k 2 ? 1 ? m2 ① 【8 分】

? x1 ? x2 ? ?
?

8km 4m 2 ? 4 x ? x2 4km , x x ? , ? 1 ?? , 1 2 2 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

y1 ? y2 x ?x m ?4km m ,? AB 的中点为 ( ?k 1 2 ?m? , ) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 2 2 1 ? 4k m 1 ? 2 2 ? ?1 ,化简得 1 ? 4k 2 ? ?6m 由直线的垂直关系有 k ? 1 ? 4k ② ?4km 1 ? 4k 2
2

由①②得 ?6m ? m ,

??6 ? m ? 0
|m|

【10 分】 ,

又 O(0,0) 到直线 y ? kx ? m 的距离为 d ?

1? k 2

1 ? 4k 2 ? m 2 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k ? 4 ? (1 ? 4k 2 )2
2 2

【12 分】

SV AOB ?

?6m ? m2 1 1 1 1 ? 4k 2 ? m 2 |m| ? 2 | m |? ?(m ? 3) 2 ? 9 | AB | d ? 1? k 2 ? 4 ? ? 2 2 2 2 36m 3 2 2 (1 ? 4k ) 1? k

Q ?6 ? m ? 0 ,? m ? ?3 时, ( SV AOB ) max ? ? 3 ? 1.
由 m ? ?3 ,? 1 ? 4k 2 ? 18 ,解得 k ? ?
17 时, (SV AOB )max ? 1 ; 2

1 3

17 ; 2

即k ? ?

综上: (SV AOB )max ? 1 ; 【14 分】

20.(本小题满分 14 分)
2 ? m ,其中 m ? R , n ? N * . 在数列 {an } 中, a1 ? 0 , an?1 ? an

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列?证明你的结论; (Ⅲ)当 m ?
1 时,证明:存在 k ? N * ,使得 ak ? 2016 . 4

【答案】见解析 【考查方向】等差数列;利用不等式证明数列不等式 【易错点】想不到利用不等式叠加的性质计算 【解题思路】根据数列的定义,证明存在够成功公差不为 0 的等差数列,将不等式逐一相加,可证 明结论。 【解析】 解:(Ⅰ) a2 ? 1 , a3 ? 2 , a4 ? 5 . 【3 分】 (Ⅱ)
2

a2 , a3 , a4 成等差数列,? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ,
2

即 a2 ? m ? a2 ? a3 ? m ? a3 ,
2 2 ? a2 ) ? (a3 ? a2 ) ? 0 ,即 ? a3 ? a2 ?? a3 ? a2 ? 1? ? 0 . ? (a3

a3 ? a2 ? 0 ,? a3 ? a2 ? 1 ? 0 .
将 a2 ? m , a3 ? m ? m 代入上式, 经检验,此时 a2 , a3 , a4 的公差不为 0.
2

解得 m ? ?1 ? 2 .

【7 分】

?存在 m ? ?1 ? 2 ,使 a2 , a3 , a4 构成公差不为 0 的等差数列. 【8 分】

1 1 1 2 an?1 ? an ? an ? m ? an ? (an ? )2 ? (m ? ) ? m ? , 2 4 4 1 1 又 m ? ,? 令 d ? m ? ? 0 . 【10 分】 4 4
(Ⅲ) 由 an ? an?1 ? d ,

an?1 ? an?2 ? d ,
……

a2 ? a1 ? d ,
将上述不等式相加,得 an ? a1 ? (n ? 1)d ,即 an ? (n ? 1)d . 取正整数 k ? 【12 分】 【14 分】

2016 2016 ? 1 ,就有 ak ? (k ? 1)d ? d ? ( ) ? 2016 . d d


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