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5 函数的定义域,值域和最值

【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业5 第二节 函数的定义域、值域和最值 1.(2010 年高考山东卷改编)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为________. 答案:(0,+∞) 1 2.已知函数 f(x)= x2-2x-8的定义域为 A,g(x)= 的定义域是 B,若 A∩B 1-|x-m| =?,则实数 m 的取值范围是________. 答案:[-1,3] 1 3.函数 f(x)= (x∈R)的值域是________. 1+x2 1 解析:y=x2+1≥1,所以 ∈(0,1]. 1+x2 答案:(0,1] 1 4.函数 f(x)= 的最大值是________. 1-x?1-x? 1 3 3 解析:1-x(1-x)=x2-x+1=(x- )2+ ≥ . 2 4 4 1 4 因此,有 0< ≤ . 1-x?1-x? 3 4 所以 f(x)的最大值为 . 3 4 答案: 3 ? ?a,a≥b 5.对 a,b∈R,记 max{a,b}=? ,函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最 ?b,a<b ? 小值是________.

?2-x 解析:法一:f(x)=? ?x+1
函数. 1 3 ∴[f(x)]min=f( )= . 2 2

1 x≤ 2 1 x≥ 2

1 1 ,f(x)在(-∞, )和[ ,+∞)上分别为减函数和增 2 2

1 1 3 法二:作函数 f(x)的图象如图,由图知当 x= 时,[f(x)]min=f( )= . 2 2 2 3 答案: 2 2 6.若函数 f(x)= ?a2-1?x2+?a-1?x+ 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 a+1 ________. 2 解析:由题意可知:(a2-1)x2+(a-1)x+ ≥0 对 x∈R 恒成立.当 a2-1=0 时,则 a+1 上述不等式对 x∈R 恒成立.显然 a=-1 不符合题设条件.当 a2-1≠0 时,应有

1

a -1>0, ? ? ? 2 Δ=?a-1?2-4?a2-1? ≤0, ? a + 1 ? 解得 1<a≤9.综上,实数 a 的取值范围为[1,9]. 答案:[1,9] 7.已知 t 为常数,函数 y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=________. 解析:函数最大值只可能在 x=1 或 x=3 时取到,若在 x=1 时取到,|1-2-t|=2,t =1 或-3, t=1,x=3 时,y=2, t=-3,x=3 时,y=6(舍去); 若在 x=3 时取到,|9-6-t|=2,t=1 或 5, t=1,x=1 时,y=2, t=5,x=1 时,y=6(舍去),∴t=1. 答案:1 ax 8.设函数 f(x)= (a>0,且 a≠1),若用[m]表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 1+ax 1 1 [f(x)- ]+[f(-x)- ]的值域为________. 2 2 ax 解析:∵ax>0,∴f(x)= ∈(0,1), 1+ax - a x ax ∵f(x)+f(-x)= - x+ 1+a 1+a x - - ax?1+a x?+a x?1+ax? = - x ?1+a ??1+a x? - - ax+a0+a x+a0 2+ax+a x = -x - =1. x 0= x 1+a +a +a 2+a +a x 1 1 ∴①当 0<f(x)< 时, <f(-x)<1, 2 2 1 1 ∴[f(x)- ]+[f(-x)- ]=-1+0=-1. 2 2 1 1 ②当 f(x)= 时, f(-x)= , 2 2 1 1 ∴[f(x)- ]+[f(-x)- ]=0. 2 2 1 1 ③当 <f(x)<1 时,0<f(-x)< , 2 2 1 1 ∴[f(x)- ]+[f(-x)- ]=0-1=-1. 2 2 综上可知,所求值域为{-1,0}. 答案:{-1,0} 9.求下列函数的值域与最值. (1)y=4- 3+2x-x2;(2)y=2x+ 1-2x; x2+3 3x (3)y= 2 ;(4)y= 2 . x +4 x +2 解:(1)由 3+2x-x2≥0,得函数定义域为[-1,3], 又 t=3+2x-x2=4-(x-1)2. ∴t∈[0,4], t∈[0,2],从而 ymin=2(当 x=1 时); ymax=4(x=-1 或 x=3 时取到).

2

2

故值域为[2,4]. 1 (2)令 t= 1-2x,则 x= (1-t2)(t≥0). 2 1 5 y=g(t)=1-t2+t=-(t- )2+ ,t∈[0,+∞). 2 4 5 3 ∴ymax= (x= 时),无最小值. 4 8 5 故值域为(-∞, ]. 4 3x (3)法一:∵y= 2 , x +4 ∴yx2-3x+4y=0. 当 y=0 时,x=0,显然不是最值; 当 y≠0 时,∵x∈R,∴Δ=(-3)2-4y· 4y≥0. 9 3 3 即 y2≤ ,∴- ≤y≤ , 16 4 4 3 ∴ymin=- (当 x=-2 时), 4 3 3 3 ymax= (当 x=2 时取到),故值域为[- , ]. 4 4 4 3 3 法二:当 x≠0 时,|y|= ≤ . 4 4 |x|+ |x| 3 3 ∴- ≤y≤ (以下同法一). 4 4 x2+3 (4)∵y= 2 ,t= x2+2(t≥ 2), x +2 1 y=g(t)=t+ , t 易证 g(t)在[ 2,+∞)上为增函数. 3 2 ∴t= 2(即 x=0)时,ymin= . 2 3 2 故值域为[ ,+∞). 2 x+3 2- 的定义域为 A,g(x)=lg(x-a-1).(2a-x)(a<1)的定义 x+1

10.设函数 f(x)=

域为 B. (1)求 A; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围. x+3 x-1 解:(1)由 2- ≥0,得 ≥0,∴x≥1 或 x<-1, x+1 x+1 ∴A=(-∞,-1)∪[1,+∞). (2)令(x-a-1)(2a-x)>0 且 a<1, 得 2a<x<a+1, ∴B=(2a,a+1). ∵B?A,∴2a≥1 或 a+1≤-1, 1 ∴a≥ 或 a≤-2,又∵a<1, 2

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1 ∴ ≤a<1 或 a≤-2. 2 11.(探究选做)对定义域分别是 Df,Dg 的函数 y=f(x),y=g(x)规定: f?x?· g?x?,当x∈Df且x∈Dg, ? ? 函数 h(x)=?f?x?,当x∈Df且x?Dg, ? ?g?x?,当x?Df且x∈Dg. 1 (1)若函数 f(x)= ,g(x)=x2,写出函数 h(x)的解析式; x-1 (2)求问题(1)中函数 h(x)的值域. x2 ? ?x-1 x∈?-∞,1?∪?1,+∞? 解:(1)h(x)=? x=1 x2 1 (2)当 x≠1 时,h(x)= =x-1+ +2. x-1 x-1 若 x>1,则 h(x)≥4,其中等号当 x=2 时成立; 若 x<1,则 h(x)≤0,其中等号为 x=0 时成立. ∴函数值域为(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞).

? ?1

.

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