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线面垂直(教师版)


直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 已知 m, n 为两条不同的直线, α, β 为两个不同的平面, 则下列命题中正确的是( A.m∥n,m⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β 解析:易知 A 选项正确;对于 B 选项,m,n 也可能异面;对于 C 选项,n 也可能在 α 内;对于 D 选项,α,β 也可能相交,故选 A. 答案:A 2.(2012· 湖南师大附中一模)若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面, 则下列命题中为真命题的是( ) )

A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β C.若 α⊥γ,α⊥β,则 β∥γ D.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β 解析:由线面垂直以及面面垂直的性质可知 D 正确. 答案:D 3.(2012· 宿州第一次教学质量检测)已知 α,β 表示两个不同的平面,a,b 表示两条不 同的直线,则下列命题正确的是( A.若 a⊥α,α⊥β,则 a∥β B.若 a∥α,a∥β,则 α∥β C.若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b D.若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α 解析:由线面垂直的性质定理可知 C 正确. 答案:C 4.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行; ②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行; ③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面; ④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面. 其中为真命题的是( )
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)

A.①和② C.③和④

B.②和③ D.②和④

解析:①只有这两条直线相交时命题才成立;③只有当其中一个平面内的直线垂直于 这两个平面的交线时这条直线才垂直另外一个平面,故只有②和④为真命题. 答案:D 5.(2012· 西安模拟)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( A.30° C.60° B.45° D.90° )

解析:如上图,取 BC 中点 E,连结 DE、AE、AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易 得 AE⊥平面 BB1C1C,故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 1,则 AE= 3 1 ,DE= , 2 2 3 2 AE tan∠ADE= = = 3, DE 1 2 ∴∠ADE=60° . 答案:C 6.如下图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,现在沿 DE,DF 及 EF 把△ADE,△CDF 和△BEF 折起,使 A,B,C 三点重合,重合后的点记作 P,那么在 四面体 P-DEF 中必有( )

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A.DP⊥平面 PEF C.PM⊥平面 DEF 解析:在正方形中,DA⊥EA,DC⊥FC,

B.DM⊥平面 PEF D.PF⊥平面 DEF

∴在折叠后的四面体 P-DEF 中有 DP⊥EP,DP⊥FP, 又 EP∩FP=P, ∴DP⊥平面 PEF. 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012· 扬州模拟)已知直线 l,m,n,平面 α,m?α,n?α,则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分 也不必要”之一) 解析:若 l⊥α,则 l 垂直于平面 α 内的任意直线,故 l⊥m 且 l⊥n,但若 l⊥m 且 l⊥n, 不能得出 l⊥α. 答案:充分不必要 8.(2012· 盐城第一次调研)已知 l,m,n 是三条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平 面,下列命题: ①若 l∥m,n⊥m,则 n⊥l; ②若 l∥m,m?α,则 l∥α; ③若 l?α,m?β,α∥β,则 l∥m; ④若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ. 其中真命题是__________.(写出所有真命题的序号). 解析:①是真命题;②中需有 l?α,故②是假命题;③中 l 与 m 还可能异面;④是真命 题. 答案:①④

9.(2012· 合肥一中及其联谊学校第一次全省大联考)如上图所示,α-l-β 为 60° 的二面 角,等腰直角三角形 MPN 的直角顶点 P 在 l 上,M∈α,N∈β,且 MP 和 NP 与 l 所成的角 相等,则 MN 与 β 所成的角为__________.

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解析:如上图所示,作 MQ⊥l 于点 Q,连接 NQ,作 MR⊥NQ 于点 R,∵∠MPQ=∠ NPQ 且 PM=PN,∴△PQN≌△PQM.∴∠PQM=∠PQN=90° ,∴∠MQN= 60° 且平面 MQN⊥平面 β,∴∠MNQ 为直线 MN 与平面 β 所成的角,由 MQ=NQ 且∠MQN=60° , ∴∠MNQ=60° ,即 MN 与平面 β 所成的角为 60° . 答案:60° 三、解答题(共 55 分)

10.(15 分)(2012· 济南模拟)如上图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 是 梯形,AD∥BC,AC⊥CD,E 是 AA1 上的一点. (1)求证:CD⊥平面 AEC; (2)若平面 CBE 交 DD1 于点 F,求证:EF∥AD. 证明:(1)因为 ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱,所以 AA1⊥平面 ABCD. 因为 CD?平面 ABCD,所以 AA1⊥CD,即 AE⊥CD. 因为 AC⊥CD,AE?平面 AEC,AC?平面 AEC,AE∩AC=A,所以 CD⊥平面 AEC. (2)因为 AD∥BC,AD?平面 ADD1A1, BC?平面 ADD1A1,所以 BC∥平面 ADD1A1. 因为 BC?平面 BCE,平面 BCE∩平面 ADD1A1=EF, 所以 EF∥BC.因为 AD∥BC,所以 EF∥AD.

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11.(20 分)如上图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,过 BD1 的平面分别交棱 AA1、CC1 于 E、F 两点. (1)求证:A1E=CF; (2)若 E、F 分别是棱 AA1、CC1 的中点,求证:平面 EBFD1⊥平面 BB1D1D.

证明:(1)由题知,如上图平面 EBFD1 与平面 BCC1B1 交于 BF、与平面 ADD1A1 交于 ED1.又平面 BCC1B1∥平面 ADD1A1, ∴D1E∥BF,同理 BE∥D1F, ∴四边形 EBFD1 为平行四边形, ∴D1E=BF, ∵A1D1=CB,D1E=BF,∠D1A1E=∠BCF=90° , ∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF, ∴A1E=CF. (2)AE=A1E=FC=FC1,AB=BC, ∴Rt△EAB≌Rt△FCB, ∴BE=BF,又四边形 EBFD1 是平行四边形, ∴故四边形 EBFD1 为菱形. 连接 EF、BD1、A1C1, ∵四边形 EBFD1 为菱形, ∴EF⊥BD1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,
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有 B1D1⊥A1C1,B1D1⊥A1A, ∴B1D1⊥平面 A1ACC1. 又 EF?平面 A1ACC1, ∴EF⊥B1D1. 又 B1D1∩BD1=D1, ∴EF⊥平面 BB1D1D. 又 EF?平面 EBFD1, 故平面 EBFD1⊥平面 BB1D1D. ——探究提升——

12.(20 分)如上图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,PD⊥平面 ABCD, PD=AD=2,∠BAD=60° ,E,F 分别为 BC,PA 的中点. (1)求证:ED⊥平面 PAD; (2)求三棱锥 P-DEF 的体积; (3)求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值.

解:(1)如上图所示,连接 BD,由已知得 BD=2.在正三角形 BCD 中,BE=EC,∴DE ⊥BC.又 AD∥BC.∴DE⊥AD.又 PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥DE.又 AD∩PD=D,∴DE⊥平 面 PAD. 1 1 1 1 1 (2)∵S△PDF= · S = × ×22=1,且 DE= 3,∴VP-DEF=VE-PDF= · S · DE= 2 △PDA 2 2 3 △PDF 3
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×1× 3=

3 . 3

(3)由(1)知 DE⊥平面 PAD,DE?平面 PDE,∴平面 PAD⊥平面 PDE.又 BC⊥DE,BC ⊥PD,PD∩DE=D,∴BC⊥平面 PDE.又∵BC?平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 PDE,∴ ∠DPE 就是平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角,∴cos∠DPE= 2 2 7 = . 7 7

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