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创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件文_图文

第2讲

三角恒等变换与解三角形

高考定位

1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其

中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工 具,三角恒等变换是利用三角恒等式 ( 两角和与差、二倍角 的正弦、余弦、正切公式 ) 进行变换,“角 ” 的变换是三角 恒等变换的核心;2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题 是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的 范围问题.

真题感悟
1.(2016· 全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, 2 b,c.已知 a= 5,c=2,cos A=3,则 b=( A. 2 B. 3 C.2
2 2

)

D.3

2 解析 由余弦定理,得 5=b +2 -2×b×2× ,解得 b 3 ? ? 1 =3?b=-3舍去?,故选 D. ? ?

答案 D

2.(2016· 全国Ⅰ卷)已知 θ 是第四象限角, 且 则
? π? tan?θ-4?=________. ? ?

? π? 3 sin?θ+4?= , ? ? 5

解析 由题意,得

? ? ? π? 4 π? π π? cos?θ+4?=5,∴tan?θ-4?=tan?θ+4-2? ? ? ? ? ? ?

? ? π π? π? sin?θ+4-2? -cos?θ+4? 4 ? ? ? ? = ? π π?= ? π? =-3. cos?θ+4-2? sin?θ+4? ? ? ? ?

4 答案 - 3

3.(2016· 全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 4 5 c,若 cos A=5,cos C=13,a=1,则 b=________.

4 5 3 解析 在△ABC 中由 cos A=5,cos C=13,可得 sin A=5, 12 63 sin C= ,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= , 13 65 asin B 21 由正弦定理得 b= sin A =13.

21 答案 13

4.(2016· 浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; 2 (2)若 cos B= ,求 cos C 的值. 3

(1)证明 由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B, 故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+ cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B). 又 A,B∈(0,π),故 0<A-B<π,

所以 B=π-(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π(舍去)或 A=2B,所以 A=2B. 2 5 (2)解 由 cos B= 及 B 是△ABC 一内角得 sin B= , 3 3 1 2 cos 2B=2cos B-1=-9, 1 故 cos A=- ,又 A 是△ABC 一内角, 9 4 5 所以 sin A= ,故 cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+ 9 22 sin Asin B=27.

考点整合
1.三角函数公式 sin α (1)同角关系:sin α+cos α=1,cos α=tan α. kπ (2)诱导公式:对于“ 2 ± α,k∈Z 的三角函数值”与“α 角
2 2

的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变, 符号看象限.

(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β; cos(α± β)=cos αcos β?sin α sin β ; tan α± tan β tan(α± β )= . 1?tan α tan β (4)二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1=1-2sin2α.

2.正、余弦定理、三角形面积公式 a+b+c a b c (1)sin A=sin B=sin C= =2R(R 为 sin A+sin B+sin C △ABC 外接圆的半径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R;a∶b∶c=sin A∶ sin B∶sin C.

(2)a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C; b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab ; 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C. 1 1 1 (3)S△ABC=2absin C=2acsin B=2bcsin A.

热点一 三角恒等变换及应用 [微题型1] 求 值
1 【例 1-1】 (1)(2016· 全国Ⅲ卷)若 tan θ=-3,则 cos 2θ=( ) 4 1 1 4 A.-5 B.-5 C. 5 D.5 ? ?π α? 3π? 5 (2)(2016· 成都模拟)sin(π-α)=- 3 且 α∈?π, 2 ?, 则 sin?2+2?= ? ? ? ? ( ) 6 B.- 6 6 C. 6 6 D. 3 6 A.- 3

(3)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是________.

解析

1 (1)tan θ=- , 3

2 2 2 cos θ - sin θ 1 - tan θ 4 2 2 则 cos 2θ=cos θ-sin θ= 2 = = . cos θ+sin2θ 1+tan2θ 5

5 (2)sin(π-α)=sin α=- 3 , ? 3π? 又 α∈?π, 2 ?, ? ? ∴cos α=- 1-sin α=-
2α 2

? 1-?- ?

2 5?2 ? =- . 3 3?

α ?π 3π? 由 cos α=2cos -1, ∈?2, 4 ?, 2 2 ? ?

cos α+1 6 α 得 cos =- =- . 2 2 6 ?π α? 6 α ? ? 所以 sin 2+2 =cos 2=- 6 . ? ? (3)sin α+2cos α=0,∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2,
2 2sin α · cos α - cos α 2tan α-1 2 又∵2sin αcos α-cos α= = 2 , sin2α+cos2α tan α+1

2×(-2)-1 ∴原式= =-1. (-2)2+1

答案 (1)D (2)B (3)-1

探究提高

1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把 “所求角”

用“已知角”表示
(1)当已知角有两个时,“所求角”一般表示为“两个已知角 ” 的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于 “所求角”的和或差 的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

2.求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽
量缩小,避免产生增解.

[微题型2] 求



11 【例 1-2】 (2016· 中山模拟)已知 cos(2α-β)=- ,sin(α-2β) 14 4 3 π π = ,0<β< <α< ,则 α+β=________. 7 4 2

11 π 解析 因为 cos(2α-β)=-14,且4<2α-β<π, 5 3 4 3 π 所以 sin(2α-β)= .因为 sin(α-2β)= ,且- <α-2β 14 7 4 π 1 <2.所以 cos(α-2β)=7,

所以 cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) 11 1 5 3 4 3 1 =-14×7+ 14 × 7 =2. π 3π 又4<α+β< 4 , π 所以 α+β= . 3

π 答案 3

探究提高

解答这类问题的方法一般是正用公式将所求

“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后 根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可,

特别要注意对三角函数值符号的判断.

? π? 2 2? 【训练 1】 (1)已知 sin 2α=3,则 cos α+4?=( ) ? ? 1 1 1 2 A.6 B.3 C.2 D.3 10 (2)已知 α∈R,sin α+2cos α= 2 ,则 tan 2α 等于( 4 3 3 4 A.3 B.4 C.-4 D.-3

)

? π? 1? π?? 解析 (1)法一 cos α+4?= ?1+cos?2α+2?? ? ? 2? ? ?? 1 1 =2(1-sin 2α)=6. ? π? 2 2 ? ? α + 法二 cos 4?= 2 cos α- 2 sin α. ?
2?

?

π? 1 所以 cos α+4?= (cos α-sin α)2 ? ? 2 1 1 1 =2(1-2sin αcos α)=2(1-sin 2α)=6. 10 (2)∵sin α+2cos α= 2 , 5 2 2 ∴sin α+4sin α· cos α+4cos α= . 2
2?

?

用降幂公式化简得 4sin 2α=-3cos 2α, sin 2α 3 ∴tan 2α=cos 2α=-4.故选 C.

答案 (1)A (2)C

热点二 正、余弦定理的应用 [微题型1] 三角形基本量的求解
【例 2-1】 (2016· 四川卷)在△ABC 中,角 A,B,C cos A cos B sin C 所对的边分别是 a,b,c,且 a + b = c . (1)证明:sin Asin B=sin C; 6 (2)若 b +c -a =5bc,求 tan B.
2 2 2

a b c (1)证明 根据正弦定理,可设sin A=sin B=sin C=k(k>0). 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. cos A cos B sin C 代入 a + b = c 中,有 cos A cos B sin C + = ,变形可得: ksin A ksin B ksin C sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在△ABC 中, 由 A+B+C=π, 有 sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以 sin Asin B=sin C.

6 (2)解 由已知,b +c -a =5bc, b2+c2-a2 3 根据余弦定理,有 cos A= 2bc =5.又 0<A<π, 4 2 所以 sin A= 1-cos A=5.
2 2 2

由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 4 4 3 所以5sin B=5cos B+5sin B, sin B 故 tan B=cos B=4.

探究提高

1.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二

次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一

次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则考虑两
个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、 余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原 则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、

统一结构”.

[微题型2] 求解三角形中的最值问题
【例 2-2】 (2016· 郑州模拟)已知 a,b,c 分别为△ABC 的 内角 A,B,C 的对边,且 acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值.

解 (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 易知 sin C≠0,所以 3sin A-cos A=1, 所以
? π? 1 sin?A-6?=2.又 ? ?

π 0<A<π,所以 A=3.

? 2π? 2π 2π (2)法一 由(1)得 B+C= ?C= -B?0<B< 3 ?, 3 3 ? ? 2 4 a b c 由正弦定理得 = = = = , sin A sin B sin C π 3 sin 3 4 4 所以 b= sin B,c= sin C. 3 3

1 1 4 4 π 所以 S△ABC= bcsin A= × sin B× sin C· sin 2 2 3 3 3
?2π ? 4 3? 3 4 3 4 3 1 2 ? = 3 sin B· sin C= 3 · sin B· sin? 3 -B?= 3 ? sin Bcos B+ sin B? 2 ? ? ? 2 ?

π? 3 3 2 3 ? 3 ? ? 2 B - =sin 2B- 3 cos 2B+ 3 = 3 sin 6?+ 3 . ?

π π 7π 易知-6<2B-6< 6 , π π π 故当 2B- = ,即 B= 时,S△ABC 取得最大值, 6 2 3 2 3 3 最大值为 3 + 3 = 3. π π 2 2 2 法二 由(1)知 A= , 又 a=2, 由余弦定理得 2 =b +c -2bccos , 3 3

即 b2+c2-bc=4?bc+4=b2+c2≥2bc?bc≤4,当且仅当 b=c=2 时,等号成立. 1 1 3 3 所以 S△ABC=2bcsin A=2× 2 bc≤ 4 ×4= 3,即当 b=c=2 时, S△ABC 取得最大值,最大值为 3.

探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法: (1)将待求的量转化为某一角的三角函数,借助于三角函数的值

域求最值.(2)将待求的量转化为边的形式,借助于基本不等式求
最值.

[微题型3] 解三角形与三角函数的综合问题
【例 2-3】 (2016· 成都诊断)已知向量 m=(2sin ωx, cos2ωx -sin2ωx),n=( 3cos ωx,1),其中 ω>0,x∈R.若函数 f(x)=m· n 的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)在△ABC 中, 若 f(B)=-2, BC= 3, sin B= 3sin A, →· → 的值. 求BA BC



(1)f(x)=m· n=2 3sin ωxcos ωx+cos2ωx-sin2ωx
? π? ? 2ωx=2sin 2ωx+6?. ? ?

= 3sin 2ωx+cos

2π ∵f(x)的最小正周期为π ,∴T=2|ω|=π. ∵ω>0,∴ω=1. (2)设△ABC 中角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. ∵f(B)=-2,
? π? ∴2sin?2B+6?=-2, ? ?



? π? sin?2B+6?=-1,解得 ? ?

2π B= 3 (B∈(0,π)).

∵BC= 3,∴a= 3,∵sin B= 3sin A, ∴b= 3a,∴b=3. 3 由正弦定理,有sin A= 1 2π,解得 sin A=2. sin 3 π π π ∵0<A<3,∴A=6.∴C=6,∴c=a= 3. 2π 3 → → ∴BA· BC=cacos B= 3× 3×cos =- . 3 2 3

探究提高

解三角形与三角函数的综合题,其中,解决与三角

恒等变换有关的问题,优先考虑角与角之间的关系;解决与三 角形有关的问题,优先考虑正弦、余弦定理.

【训练 2】 (2016· 衡水大联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=ccos B+3asin(A+B). b (1)若a= 3,求角 C; (2)在(1)的条件下,若△ABC 的面积为 3,求 c 的值.
解 (1)∵a=ccos B+3asin(A+B),

a b c 又 = = ,∴sin A=sin Ccos B+3sin Asin C, sin A sin B sin C 即 sin(B+C)=sin Ccos B+3sin Asin C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=sin Ccos B+3sin Asin C.

sin B 故 sin Bcos C=3sin Asin C,∴3sin A=tan C, sin B b 3 b 又∵a= 3,∴tan C=3sin A=3a= 3 , π 又∵0<C<π,∴C=6. 1 π b (2)∵S△ABC=2absin C= 3,由(1)知a= 3,C=6,
3 2 ∴ 4 a = 3,∴a=2,b= 3a=2 3, 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C, 3 即 c =4+12-2×2×2 3× =4,∴c=2. 2
2

1.对于三角函数的求值,需关注:
(1) 寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练 准确地应用公式; (2) 注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常 规技巧的运用; (3) 对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻 找解题的突破口,对于很难入手的问题,可利用分析法.

2.三角形中判断边、角关系的具体方法:

(1) 通过正弦定理实施边角转换; (2) 通过余弦定理实施边
角转换; (3) 通过三角变换找出角之间的关系; (4) 通过三 角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论; (5)若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角 形,先解条件多的三角形,再逐步求出其他三角形的边和

角,其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出未知量,
从几个三角形中列出方程(组)求解.

3.解答与三角形面积有关的问题时,如已知某一内角的 1 大小或三角函数值,就选择 S=2absin C 来求面积, 再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.


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