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高中数学复习专题讲座(第14讲)构建数学模型解数列综合题和应用性问题


题目 高中数学复习专题讲座 构建数学模型解数列综合题和应用性问题 高考要求 纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不 仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相 关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄 率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题 这就要求同学们 除熟练运用有关概念式外, 还要善于观察题设的特征, 联想有关数学知识和 方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度 重难点归纳 1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好 的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、 归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他 相关知识来解决问题 2 纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关 (1)事理关 需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读 能力 (2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式 子表达数学关系 (3)事理关 在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力, 认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化 构建出 数学模型后, 要正确得到问题的解, 还需要比较扎实的基础知识和较强的数 理能力
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典型题例示范讲解 例 1 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环境建设, 并 以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上
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1 , 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业 5 1 的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 4
年减少
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(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万 元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入? 命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础 知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度, 属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型 知识依托 本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建 模、数列求和、不等式的解法等知识点
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错解分析 (1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和,易与“通项” 混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差 技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的 灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧 解 (1)第 1 年投入为 800 万元,
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1 )万元,? 5 1 - 第 n 年投入为 800×(1- )n 1 万元, 5
第 2 年投入为 800×(1- 所以,n 年内的总投入为 an=800+800×(1-
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1 1 - )+?+800×(1- )n 1 5 5

=

?
k ?1

n

800×(1-

1 k-1 4 ) =4000×[1-( )n] 5 5

第 1 年旅游业收入为 400 万元, 第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 第 n 年旅游业收入 400×(1+

1 ),?, 4
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1 n-1 ) 万元 4

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所以,n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400×(1+

1 1 - )+?+400×(1+ )k 1 4 4

=

?
k ?1

n

400×(

5 k-1 5 ) =1600×[( )n-1] 4 4

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0, 即 1600×[( 令 x=(

5 n 4 ) -1]-4000×[1-( )n]>0, 4 5
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4 n ) ,代入上式得 5x2-7x+2>0 5 2 解此不等式,得 x< ,或 x>1(舍去) 5 4 2 即( )n< ,由此得 n≥5 5 5
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∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入 例 2 已知 Sn=1+
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1 1 1 设 ? +?+ ,(n∈N*), f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数 m 2 3 n

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的取值范围,使得对于一切大于 1 的自然数 n,不等式 f(n)>[logm(m-1)]2-
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11 [log(m-1)m]2 恒成立 20
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命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需 较强的综合分析问题、解决问题的能力 知识依托 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙 错解分析 本题学生很容易求 f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式 难以处理 技巧与方法 解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数,此时 不等式的恒成立就转化为
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函数 f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- 解
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11 [log(m-1)m]2 20

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1 1 1 (n∈N*) ? +?+ 2 3 n 1 1 1 ? f (n ) ? S 2 n ?1 ? S n ?1 ? ? ??? n?2 n?3 2n ? 1 1 1 1 1 1 2 又f ( n ? 1) ? f ( n ) ? ? ? ? ? ? 2 n ? 2 2n ? 3 n ? 2 2n ? 2 2 n ? 3 2 n ? 4 1 1 1 1 ?( ? )?( ? )?0 2n ? 2 2n ? 4 2n ? 3 2n ? 4
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∵Sn=1+

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∴f(n+1)>f(n) ∴f(n)是关于 n 的增函数 ∴f(n) min=f(2)=

1 1 9 ? ? 2 ? 2 2 ? 3 20

∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式

11 [log(m-1)m]2 恒成立 20 9 11 只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 成立即可 20 20
f(n)>[logm(m-1)]2-

?m ? 0, m ? 1 由? 得 m>1 且 m≠2 ?m ? 1 ? 0, m ? 1 ? 1
此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0

11 ?9 ? ?t? 于是 ? 20 20 ?t ? 0 ?

解得 0<t<1

由此得 0<[logm(m-1)]2<1
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解得 m> 例3

1? 5 且 m≠2 2

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已知二次函数 y=f(x)在 x=

t2 t?2 处取得最小值- (t>0),f(1)=0 4 2

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(1)求 y=f(x)的表达式; (2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n ∈N*),试用 t 表示 an 和 bn; (3) 设 圆 Cn 的 方 程 为 (x - an)2+(y - bn)2=rn2 , 圆 Cn 与 Cn+1 外 切 (n=1,2,3,?);{rn}是各项都是正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和, 求 rn、Sn
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(1)设 f(x)=a(x-

t ? 2 2 t2 ) - ,由 f(1)=0 得 a=1 4 2
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∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1 (2)将 f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得 (x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1, 上式对任意的 x∈R 都成立, 取 x=1 和 x=t+1 分别代入上式得
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?an ? bn ? 1 ? 且 t≠0, ? ?(t ? 1)an ? bn ? (t ? 1) n?1 ?
解得 an= [(t+1)n+1-1] n= ,b

1 t

t ?1 [1-(t+1 ] n) t

(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2, 又由(2)知 an+bn=1,故圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上, 又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切,故有 rn+rn+1= 2 |an+1-an|= 2 (t+1)n+1 ? 设{rn}的公比为 q,则

?rn ? rn q ? 2(t ? 1) n?1    ① ? ? n?2 ?rn?1 ? rn?1q ? 2(t ? 1)   ② ?
②÷①得 q=

rn ?1 2 (t ? 1) n?1 =t+1,代入①得 rn= t?2 rn
2 2

∴Sn=π (r1 +r2 +?+rn )=
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2

?r1 (q 2 n ? 1) 2?(t ? 1) 4 2n [(t+1) -1] ? 2 3 q ?1 t (t ? 2)
2

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学生巩固练习 1 已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,?,n,?时,
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其抛物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2, n,?,则 lim (d1+d2+?+dn) ?,d
n ??

的值是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限 的两个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比 数列,则△OP1P2 的面积是_________ 3 从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升, 然后再用水加满, 再倒出 b 升, 再用水加满;这样倒了 n 次,则容器中有纯酒精_________升 4 据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 “2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7 3%, ”如果“十·五”期 间(2001 年~2005 年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到 “十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元 5 已知数列{an}满足条件 a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q(q> 0)的等比数列,设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,?) (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围;
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(2)求 bn 和 lim
n??

1 ,其中 Sn=b1+b2+?+bn; Sn

(3)设 r=219

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2

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-1,q=

log2 bn ?1 1 ,求数列{ }的最大项和最小项的值 log2 bn 2

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6 某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖 金分配方案如下 首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小, 由
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1 到 n 排序, 1 位职工得奖金 第

b 元, 然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工, n
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按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金 (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和 b 表示 ak(不必证明); (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,?,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意 义;
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(3)发展基金与 n 和 b 有关, 记为 Pn(b),对常数 b, n 变化时, lim Pn(b) 当 求
n ??
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7 据有关资料, 1995 年我国工业废弃垃圾达到 7 4×108 吨, 占地 562 4 平方公里,若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资,则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石 20 吨,设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资,计划以后每年递增 20%的回收量,试问 (1)2001 年回收废旧物资多少吨?
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(2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)? (3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地? 8 已知点的序列 An(xn,0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 An-2An-1 的中点,? (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加 以证明;
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(3)求 lim xn
n ??

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参考答案: 1 解析 当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1
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由|x1-x2|=

1 ? ,得 dn= , n(n ? 1) a

∴d1+d2+?+dn ?

1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ??? ? ? 1? 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 ? lim(d1 ? d 2 ? ? ? d n ) ? lim(1 ? ) ?1 n ?? n ?? n ?1
答案 A 2 解析 由 1,x1,x2,4 依次成等差数列得 2x1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3 又由 1,y1,y2,8 依次成等比数列,得 y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4,
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∴P1(2,2),P2(3,4)

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∴ OP ? (2,2), OP2 =(3,4) 1

∴ OP OP2 ? 6 ? 8 ? 14, OP ? 2 2 ,| OP2 |? 5, 1 1

???????? OP OP2 14 7 2 2 ? cos POP2 ? ???? 1 ???? ? ? ,? sin POP2 ? 1 1 10 10 | OP || OP2 | 5 ? 2 2 1
? S?OP1P2 ?
答案 3
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1 ???? ???? 1 2 | OP || OP2 | sin POP2 ? ? 2 2 ? 5 ? ?1 1 1 2 2 10
b )升, a

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1
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解析

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第一次容器中有纯酒精 a-b 即 a(1-

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b a(1 ? ) b a b ,即 a(1- b )2 升, 第二次有纯酒精 a(1- )- a a a b 故第 n 次有纯酒精 a(1- )n 升 a b 答案 a(1- )n a
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4 解析 从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项, 以 7 3%为公比的等比数列,∴a5=95933(1+7 3%)4≈120000(亿元) 答案 120000 - 5 解 (1)由题意得 rqn 1+rqn>rqn+1
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由题设 r>0,q>0,故从上式可得 因 q>0,故 0<q<

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q2-q-1<0,解得

1? 5 1? 5 <q< , 2 2

1? 5 ; 2
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(2)∵

an?1an? 2 an?2 b a ? a2 n?2 a2 n?1q ? a2 n q ? ? q,? n?1 ? 2 n?1 ? ?q?0 an an?1 an bn a2 n?1 ? a2 n a2 n?1 ? a2 n

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b1=1+r≠0,所以{bn}是首项为 1+r, 公比为 q 的等比数列, 从而 bn=(1+r)qn-1 当 q=1 时,Sn=n(1+r), lim

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1 1 ? lim ? 0; n ?? S n ?? n(1 ? r ) n

当0 ? q ? 1时, Sn ?

(1 ? r )(1 ? q n ) 1 1? q 1? q , lim ? lim ? ; n n ?? S n?? (1 ? r )(1 ? q ) 1? r 1? q n
lim 1 1? q ? lim ? 0, n n ?? S n?? (1 ? r )(1 ? q ) n

(1 ? r )(1 ? q n ) 当q ? 1时, Sn ? , 1? q
?1 ? q , 1 ? 所以lim ? ?1 ? r n ?? S n ?0, ?

(0 ? q ? 1) (q ? 1)

(3)由(2), 有bn ? (1 ? r)qn?1
log2 bn?1 log2 [(1 ? r )q n ] log2 (1 ? r ) ? n log2 q 1 ? ? ?1? . n?1 log2 bn n ? 20.2 log2 [(1 ? r )q ] log2 (1 ? r )( n ? 1) log2 q

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记C n ?

log2 bn?1 ,从上式可知, log2 bn
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当 n-20

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2>0,即 n≥21(n∈N*)时,Cn 随 n 的增大而减小,

故 1<Cn≤C21=1+ 当 n-20
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1 1 =2 ?1? 21 ? 20.2 0.8

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2<0,即 n≤20(n∈N*)时,Cn 也随 n 的增大而减小,

故 1>Cn≥C20=1+

1 1 =-4 ?1? 20 ? 20.2 0.2
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综合①②两式知,对任意的自然数 n 有 C20≤Cn≤C21, 故{Cn}的最大项 C21=2 25,最小项 C20=-4
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(1)第 1 位职工的奖金 a1=

b , n

1 1 (1- )b, n n 1 1 第 3 位职工的奖金 a3= (1- )2b,?, n n 1 1 - 第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k 1b; n n 1 1 - (2)ak-ak+1= 2 (1- )k 1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或 n n
第 2 位职工的奖金 a2= “不吃大锅饭”的原则 (3)设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余数,
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1 1 1 )b,f2(b)=(1- )2b,?,fk(b)=(1- )kb n n n 1 得 Pn(b)=fn(b)=(1- )nb, n b 故 lim Pn (b) ? n?? e
则 f1(b)=(1-
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7 解 设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量,n 表示前 n 年废旧物资回 S 收总量,则数列{an}是以 10 为首项,1+20%为公比的等比数列 (1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)
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(2)S6=

10[(1 ? 20%) 6 ? 1] 1.6 6 ? 1 ? 10 ? =99.2992≈99.3(万吨) (1 ? 20%) ? 1 0.2
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∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 20×99 3≈1986(万吨) (3)由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万 吨),
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∴从 1996 年到 2001 年共节约

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562.4 ? 397.2 ? 104 ≈3 平方公里 7.4 ? 108
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xn?1 ? xn?2 ; 2 x ? x1 1 1 (2)a1 ? x2 ? x1 ? a, a2 ? x3 ? x2 ? 2 ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a, 2 2 2 x ? x2 1 1 1 1 a2 ? x4 ? x3 ? 3 ? x3 ? ? ( x3 ? x2 ) ? ? (? a) ? a 2 2 2 2 4
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(1)当 n≥3 时,xn=

由此推测 an=(- 证法一
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1 n-1 ) a(n∈N) 2

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因为 a1=a>0,且

an ? xn?1 ? xn ?
所以 an=(- 证法二
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xn ? xn?1 x ?x 1 1 ? xn ? n?1 n ? ( xn ? xn?1 ) ? ? an?1 (n≥2) 2 2 2 2
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1 n-1 ) a 2

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用数学归纳法证明

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1 0 ) a,公式成立; 2 1 - (ⅱ)假设当 n=k 时,公式成立,即 ak=(- )k 1a 成立 2
(ⅰ)当 n=1 时,a1=x2-x1=a=(- 那么当 n=k+1 时, ak+1=xk+2-xk+1=

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xk ?1 ? xk 1 1 ? xk ?1 ? ? ( xk ?1 ? xk ) ? ? ak 2 2 2 1 1 1 ? ? (? ) k ?1 a ? (? )(k ?1 )?1 a公式仍成立 . 2 2 2 1 据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意 n∈N,公式 an=(- )n-1a 成立 2

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(3)当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+?+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+?+a1, 由(2)知{an}是公比为-

a1 2 1 ? a 的等比数列,所以 lim xn ? 1 n?? 2 1 ? (? ) 3 2

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课前后备注

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