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湖北省八市2013届高三3月联考数学理试题(word版)


湖北省八市2013年高三年级三月调考

数学(理科)试题
本试卷共4页,全卷满分150分,考试时间120分钟。 ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答 在试题卷上无效。 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 开始 5 1.复数 的共轭复数是 2i ? 1 输入N A. 2i ? 1 B. ?1 ? 2i C. 2i ? 1 D. 1 ? 2i k=1,p=1 2.已知命题 p : ?x ? R,2x ? 0 ,那么命题 ? p 为 A. ?x ? R,2x ≤ 0 B. ?x ? R,2x ? 0 C. ?x ? R, 2 x ? 0 D. ?x ? R,2x ≤ 0 是 3.执行右边的框图,若输入的 N 是 6 ,则输出 p 的值是 k<N 否 A.120 B.720 输出p C.1440 D.5040 ?( x ? y ? 3)( x ? y) ≥ 0, 结束 4.不等式组 ? 表示的平面区域是 0≤ x≤4 ? 第 3 题图 A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形 x ?x 5.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e ? a ? e 的导函数是 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是奇函数,则 a 的值为
y

p=p?k

k=k+1

y=x3 C. D. ?1 1 2 2 6.如图,设 D 是图中边长为 2 的正方形区域, E 是函数 y ? x3 x -1 的图象与 x 轴及 x ? ?1 围成的阴影区域.向 D 中随机投一点, O 1 则该点落入 E 中的概率为 1 1 1 1 A. B. C. D. -1 16 4 2 8 7.下列结论正确的是 第 6 题图 a 1 ①“ a ? ”是“对任意的正数 x ,均有 x ? ≥1 ”的充分非必要条件 x 4 2 ②随机变量 ? 服从正态分布 N (2, 2 ) ,则 D (? ) ? 2 ③线性回归直线至少经过样本点中的一个 ④若 10 名工人某天生产同一零件, 生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设 其平均数为 a ,中位数为 b ,众数为 c ,则有 c ? b ? a A.③④ B.①② C. ①③④ D.①④ 8. 《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道 1 题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是 7 较小的两份之和,则最小 1 份为

A. 1

B. ?

1

1

第 1 页 共 8 页

10 5 11 C. D. 3 3 6 x ? 1( x ≤ 0) ? 9.已知函数 f ( x) ? ? ,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是 ?log 2 x( x ? 0)
A.

5 6

B.

A.4

B.3

C. 2

D.1

2 10.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 A, B 在抛物线上,且 ?AFB ? π ,弦 AB 中点 M 在准 3 | MM ? | 的最大值为 线 l 上的射影为 M ?, 则
| AB |

4 3 3 2 3 B. C. D. 3 3 3 3 二、填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答 题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) (一)必做题(11—14 题) 11.在 (1 ? 3x)n 的展开式中,各项系数的和等于 64,那么此 3
A. 展开式中含 x 项的系数 ▲
2

.

4 正视图

2 侧视图

12.如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位:cm),则该三棱锥的外接球的表面积为 ___▲___ cm 2 .

俯视图

第 12 题图

π 13. 函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C ,如下结论中正确的是 3 (写出所有正确结论的编号) ..
12 π 5π ③ 函数 f ( x) 在区间 ( ? , ) 内是增函数; 12 12 π ④ 由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可 3 以得到图象 C . 14.如图表中数阵为“森德拉姆素数筛” ,其特点是 每行每列都成等差数列,记第 i 行第 j 列的数为
① 图象 C 关于直线 x ?





11

π 对称;

② 图象 C 关于点 (

2π 3
4 7

, 对称; 0)
7 ???

2 3 4 5

3 5

5 9

6

11 13 ???

7 10 13 16 19 ??? 9 13 17 21 25 ???

6 11 16 21 26 31 ??? 7 13 19 25 31 37 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

aij (i, j ? N * ) ,则
(Ⅰ) a99 ? ▲ ; ▲ 次. (Ⅱ)表中数 82 共出现

第 14 题图

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计 分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲)如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l D 的垂线 AD ,垂足为 D ,则 ?DAC ? ▲ . E C 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)设直线 l1 的参数方程为

?x ? 1 ? t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴非负半 ? ? y ? a ? 3t 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 另 一 直 线 l2 的 方 程 为

A

O

B

第 15 题图 第 2 页 共 8 页

? sin ? ? 3? cos? ? 4 ? 0 , 若 直 线 l1 与 l2 间 的 距 离 为 10 , 则 实 数 a 的 值 为
▲ . 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角且向量 ?? ? C C C 3 m ? (1, cos ) 与n ? ( 3sin ? cos , ) 共线。 2 2 2 2 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cos C ? c ? 2b ,试判断 ? ABC 的 形状.

18. (本题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .且 a2 ,a5 ,a14 分别是 等比数列 {bn } 的 b2 ,b3 ,b4 . (Ⅰ)求数列 {an} 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 设数列 {cn } 对任意自然数 n 均有 的值.

c1 c2 c 求 ? ? ? ? n ? an ?1 成立, c1 ? c2 ? ? ? c2013 bn b1 b2

19. (本题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD ? AC1B1D1 中, 1 已知上下两底面为正方形,且边长均为 1;侧棱 AA ? 2 , 1
A1

D1 B1

C1

E 为 BC 中点, F 为 CD 中点, G 为 BB1 上一个动点.
(Ⅰ)确定 G 点的位置,使得 D1E ? 平面AFG ; (Ⅱ)当 D1E ? 平面AFG 时,求二面角 G ? AF ? E 的平 面角余弦值.
A D F G E C B

第 19 题图

20. (本题满分 12 分)如图是在竖直平面内的一个“通道游戏” .图中竖直线段和斜线段都 表示通道, 并且在交点处相遇, 若竖直线段有一条的为第一层, 有二条的为第二层, ?, 依次类推.现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动,若在通道的分叉处,小弹子 以相同的概率落入每个通道.记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道(从左至右)的概 率为 P (n, m) ,某研究性学习小组经探究发现小弹子落 入口 入第 n 层的第 m 个通道的次数服从二项分布,请你解 决下列问题. (Ⅰ)试求 P(2,1), P(3, 2) 及 P(4, 2) 的值,并猜想 P (n, m) 的表达式; (不必证明) (Ⅱ)设小弹子落入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为 ?4 ? m(1≤ m ≤ 3) ,试求 ? 的分布列 ? ,其中 ? ? ? ?m ? 3(4 ≤ m ≤ 6) 及数学期望.
第1层 第2层 第3层 第4层

第 20 题图

第 3 页 共 8 页

21. (本题满分 13 分)已知△ ABC 的两个顶点 A, B 的坐标分别是 (0, ?1), (0,1) ,且 AC ,BC 所在直线的斜率之积等于 m(m ? 0) . (Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种圆锥曲线; (Ⅱ)当 m ? ? 时,过点 F (1, 0) 的直线 l 交曲线 E 于 M , N 两点,设点 N 关于 x 轴的对 定点,若不是,请说明理由.

1 2 称点为 Q ( M 、Q 不重合) 试问:直线 MQ 与 x 轴的交点是否是定点?若是,求出

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx (m ? R ) . (Ⅰ)当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极大值,求实数 m 的值; (Ⅱ)已知结论:若函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx (m ? R ) 在区间 ( a, b) 内存在导数,则存在

x0 ? (a, b) , 使 得 f ?( x0 ) ?
g ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,(其中 x2 ? x1 ? ?1 ) ,则对任意 x ? ( x1 , x2 ) , x1 ? x2 都有 f ( x) ? g ( x) ; (Ⅲ)已知正数 ?1 , ?2 满足 ?1 ? ?2 ? 1 ,求证:对任意的实数 x1 , x2 ,若 x2 ? x1 ? ?1 时,都 有 f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) .

f (b )? f a ) ( . 试用这个结论证明:若函数 b?a

2013 年湖北省八市高三三月联考

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.B 二、填空题: (每小题 5 分,5 小题共 25 分) 必考题:11.135 12. 29π 13.①②③ 14.(Ⅰ) 82 (Ⅱ) 5 选考题:15.30? 16.9 或-11 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) ?? ? 17. (Ⅰ)∵ m 与 n 共线 ∴

3 C C C ? cos ( 3 sin ? cos ) 2 2 2 2
? 3 1 π 1 sin C ? (1 ? cos C ) ? sin(C ? ) ? 2 2 6 2 π 得 sin(C ? ) ? 1 6
??????????3 分 ??????????4 分

∴C=

(Ⅱ)方法 1:由已知 a ? c ? 2b
2 2

? 3

???????????6 分 (1)
2

根据余弦定理可得: c ? a ? b ? ab

(2)

????????8 分

第 4 页 共 8 页

(1)(2)联立解得: b(b ? a) ? 0 、

???????????????10 分

π b ? 0,?b ? a, 又. C= ,所以△ ABC 为等边三角形, ??????12 分 3
方法 2: 由正弦定理得:

2sin A cos C ? sin C ? 2sin B ? 2sin( A ? C) 2sin A cos C ? sin C ? 2sin A cos C ? 2cos Asin C
∴ cos A ? 又. C=

????????8 分 ???????????10 分

1 π , ∴在△ ABC 中 ∠ A ? 2 3

π , 所以 △ ABC 为等边三角形, ???????????12 分 3 π 方法 3:由(Ⅰ)知 C= ,又由题设得: a ? c ? 2b , 3 在 ?ABC 中根据射影定理得: a ? c ? 2(a cos C ? c cos A) ? a ? 2c cos A

????????8 分

1 ? ? cos A ? ,? A ? ???????????10 分 2 3 π 又. C= , 所以 △ ABC 为等边三角形, ???????????12 分 3
18.(Ⅰ)∵a2=1+d ,a5=1+4d ,a14=1+13d,且 a2、a5、a14 成等比数列 ∴ (1 ? 4d )2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 又∵ b2 ? a2 ? 3,

即d ? 2

???????????2 分 ???????????4 分

b3 ? a5 ? 9 .
???????????6 分 ①

∴ q ? 3, b1 ? 1, bn ? 3n ?1 (Ⅱ)∵

c1 c2 c ? ? ? ? n ? an ?1 bn b1 b2 c ∴ 1 ? a2 即 c1 ? b1a2 ? 3 b1 c c c 又 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? an (n ≥ 2) bn ?1 b1 b2 c ①-②: n ? an ?1 ? an ? 2 bn

② ???????????8 分

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ≥ 2) ∴

(n ? 1 ) ? 3 cn ? ? n?1 ( ?2 ? 3 n ≥ 2 )
? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ? 33 ? ? ? 32012 )
? 3? 2? 3(1 ? 32012 ) ? 32013 1? 3

???????????10分

则 c1 ? c2 ? c3 ? ? ?c2013 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ?2 ? 32013?1

???????????12 分

19.方法一:
第 5 页 共 8 页

(Ⅰ)如图,分别以 DA, DC, DD1 所在直线为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,
z D1 A1 B1 C1

则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D1 (0,0,1)

1 1 易得 E ( ,1, 0), F (0, , 0) ??????2 分 2 2 由题意得 D1E ? AF , D1E ? AG ,设 G(1,1, t ) ???? ? 1 ??? ? ???? 1 又 D1 E ? ( ,1, ?1), AF ? (?1, , 0), AG ? (0,1, t ), 2 2 ???? ??? ? ? ???? ???? ? 1 则由 D1E ? AF ? 0, D1E ? AG ? 0 得 t ? , 2
∴ BG ?

1 2

,得 G 为 BB1 的四等分点.?????????6 分
A x

D

F G B C E

y

(Ⅱ)易知平面 AFE 的一个法向量为 m ? (0,0,1) ,设平面 AFG 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

?

1 ? ??? ? ? ?? x ? 2 y ? 0 ? AF ? n ? 0 ? ? ? 则 ? ???? ? ,得 ? ,取 x ? ?1 ,得 n ? (?1, ?2, 4) , ?????10 分 ? AG ? n ? 0 ? y?1 z ?0 ? ? ? 2
∴ cos ? m, n ??

? ?

4 21 4 21 ,∴二面角 G ? AF ? E 的平面角余弦值为 .12 分 21 21 1? 21

4

?

方法二: (Ⅰ) D1E 在平面 ABCD 内的射影为 DE , , ∵ 且四边形 ABCD 为正方形,E , F 为中点, ∴ D1E ? AF 同理, D1E 在平面 ABB1 A 内的射影为 A B ,则 AG ? A1B 1 1

1 ,得 G 为 BB1 的四等分点. ???????6 分 2 (Ⅱ)∵ BG ? 平面 AEF ,过 B 点作 BH ? AF ,垂足为 H ; 连结 HG ,则 ?GHB 为二面角 G ? AF ? E 的平面角;??????????8 分 AD BH 2 ? 由 ?DAF ? ?HBA ,得 ,解得 BH ? AF AB 5 1 BG 5 ∴在 Rt ?GHB 中, tan ?GHB ? , ? 2 ? 2 HB 4 5
由△ A AB ~△ ABG , ∴ BG ? 1

4 21 4 21 ;∴二面角 G ? AF ? E 的平面角余弦值为 . ?12 分 21 21 20. ( Ⅰ ) 因 为 小 弹 子 落 入 第 n 层 的 第 m 个 通 道 的 次 数 服 从 二 项 分 布 , 则 :
∴ cos ?GHB ?

1 1 , P(2,1) ? C10 ( ) 0( ) 1 2 2 1 1 1 P(3,2) ? C2 ( )1 ( )1 2 2 3 11 1 P(4,2) ? C3 ( )2 ? 2 2 8
第 6 页 共 8 页

???????????1 分 ???????????3 分 ???????????4 分

P ( n, m ) ?

m Cn ??1 1 2 n ?1 (Ⅱ)依题: ? ? 1, 2,3 .

???????????6 分

由(Ⅰ)知, p (? ? 1) ? p (6,3) ? p (6, 4) ? 2C5 ( ) ( ) ?
2 2 3

1 2

1 2

20 5 ? 32 8

所以 ? 的分布列如下表:

10 5 1 1 1 p(? ? 2) ? p(6, 2) ? p(6,5) ? 2C5 ( )( ) 4 ? ? 2 2 32 16 1 1 2 1 p(? ? 3) ? p(6,1) ? p(6, 6) ? 2C50 ( ) 0 ( )5 ? ? 2 2 32 16

????????9 分

?
P

1

2

3

20 32

10 32

2 32
????????11 分

20 10 2 23 ???????????12 分 ? 2 ? ? 3? ? 32 32 32 16 y ?1 y ?1 21. .(Ⅰ)由题知: ? ?m x x 2 2 化简得: ?mx ? y ? 1( x ? 0) ???????????2 分 当 m ? ?1 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去 (0,1),(0, ?1) 两点; 当 m ? ?1 时 轨迹 E 表示以 (0, 0) 为圆心半径是1的圆,且除去 (0,1),(0, ?1) 两点; 当 ?1 ? m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去 (0,1),(0, ?1) 两点; 当 m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去 (0,1), (0, ?1) 两点; ???????????6 分 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x2 , ? y2 ) ( x1 ? x2 ? 0) 依题直线 l 的斜率存在且不为零,则可设 l : x ? ty ? 1 ,
故 E? ? 1 ?

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 整理得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0 代入 2 ?2t ?1 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 , ????????????9 分 t ?2 t ?2
又因为 M 、Q 不重合,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2

y1 ? y2 ( x ? x1 ) 令 y ? 0 , x1 ? x2 y ( x ? x1 ) ty ( y ? y ) 2ty1 y2 得 x ? x1 ? 1 2 ? ty1 ? 1 ? 1 2 1 ? ?1 ? 2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 故直线 MQ 过定点 (2,0) . ???????????13 分

Q MQ 的方程为 y ? y1 ?

解二:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x2 , ? y2 ) ( x1 ? x2 ? 0) 依题直线 l 的斜率存在且不为零,可设 l : y ? k ( x ? 1)

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 整理得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 代入 2 2k 2 ? 2 4k 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , ???????????9 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y ?y Q MQ 的方程为 y ? y1 ? 1 2 ( x ? x1 ) 令 y ? 0 , x1 ? x2
第 7 页 共 8 页

得 x ? x1 ?

y1 ( x2 ? x1 ) k ( x1 ? 1)( x2 ? x1 ) 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? ? ?2 y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ? 2) x1 ? x2 ? 2 ???????????13 分 ?直线 MQ 过定点 (2,0)
1 ?m x ?1

22.(Ⅰ)由题设,函数的定义域为 (?1, ??) ,且 f ?( x) ?

1? x 1 所以 f ?(1) ? 0 ,得 m ? ? ,此时. f ?( x ) ? 2( x ? 1) 2 当 x ? (?1,1) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上单调递增;

当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递减. 1 ??????????4 分 ? 函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,故 m ? ? 2 (Ⅱ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 则 h?( x) ? f ?( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) , x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 ? x2
??????????7 分

因为函数 f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 上可导,则根据结论可知:存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使得 f ?( x0 ) ? 又 f ?( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

x0 ? x 1 1 1 ? ? ? m ,? h?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? x ?1 x ? 1 x0 ? 1 ( x ? 1)( x0 ? 1)

?当 x ? ( x1 , x0 ) 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 单调递增,? h( x) ? h( x1 ) ? 0 ;
当 x ? ( x0 , x2 ) 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 单调递减,?h( x) ? h( x2 ) ? 0 ; 故对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) (Ⅲ) Q ?1 ? ?2 ? 1 ,且 ?1 ? 0 , ?2 ? 0 , x2 ? x1 ? ?1
? ?1 x1 ? ?2 x2 ? x1 ? x1 (?1 ? 1) ? ?2 x2 ? ?2 ( x2 ? x1 ) ? 0 ? ?1 x1 ? ?2 x2 ? x1

.

??????????9 分

同理? ?1 x1 ? ?2 x2 ? x2 ??1 x1 ? ?2 x2 ? ( x1 , x2 ) ,

??????????12 分

? 由(Ⅱ)知对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? (?1 x1 ? ?2 x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) . x1 ? x2
??????????14 分

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