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华罗庚中学 2008—2009 学年度第一学期期中调研测试

高 三 数 学 参 考 答 案(理)
2008.11.

第 一 部 分
1.2 6. ?? 2,?1? 2. (??, 2] 7. a ? ?3或a ? 6 3.

? a??1 ?a ? b ? 1 ? 0 ? 2 由? 得? ………………………………………12 1 4 a ? 2 b ? 1 ? 0 ? ? b? ? 2
作平行直线系 z ? 3a ? b 可知 z ? 3a ? b 的取值范围是 (?2, ??) . ………………………………………15 18.(1)f(x)=|x|(x-a) 当 a=0 时,f(x)=x·|x|为奇函数

1 7

4. a ? ?8

5. (??,1)

8. 3

3? 9. 8
14. e ? d ? f

1 10. 2

7 11. ? 2

12.9

2 13. 2

当 a≠0 时,f(x)=(x-a)|x|,∵f(-a)≠f(a)且 f(-a)≠-f(a) ∴f(x)是非奇非偶函数……………………(5 分) (2)当 a=0 时,f(x)=x|x|是奇函数,在 R 上单调递增 ∴当-1≤x≤

15.由 3? | x ?1| >0,得 ?2 ? x ? 4 ,∴A= {x | ?2 ? x ? 4} ……………………………………3 (Ⅰ)当 a =1 时,B= {x |1 ? x ? 5} ,∴ A

B = {x |1 ? x ? 4} …………………………7

1 1 1 1 时,f(-1)≤f(x)≤f( ) ? f(x)∈[-1, ],此时 f(x)max= 2 2 4 4

(Ⅱ)由题意可知:B= {x | ( x ? 5)( x ? a) ? 0}………………………………………………10 ∵A

B ? A ,∴ a ? ?2

………………………………………………14

16. (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c 5

1 ? ?x(x - a) x ∈[0, ] 当 a<0 时, f(x)= ? 2 ………………………………(7 分) ? ?-x(x - a) x ∈[-1,0]
? a 2 a2 1 (x )x ∈[0, ] ? ? 2 4 2 ……………………………………(9 分) 即 f(x)= ? 2 ?-(x - a )2 + a x ∈[-1,0] ? ? 2 4
①若-1≤

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4
17. (Ⅰ)由题意可知: a ? 0 ,且 ax ? bx ? 1 =0 的解为-1,2
2

a a 1 即 a≥-2 时,f(x)的最大值为 f( )或 f( ) 2 2 2

∵f(

a 1 a2 1 1 1 - ( - a)= (a +1- 2)(a +1+ 2) )-f( )= 2 2 4 2 2 4

? ? ? ∴? ? ? ?

a?0 1 ? ?2 a b ? ?1 a

解得: a ? ?

1 1 , b ? ………………………………………6 2 2
b

(Ⅱ)由题意可得 ? 画出可行域

? f (?1) ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ,? ? ,…………10 ? f (2) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0

a 1 1 )<f( ),∴f( )为最大值……………………(12 分) 2 2 2 a 1 ②若 ≤-1 即 a≤-2,f(x)的最大值为 f(-1)或 f( ) 2 2 1 1 1 a 5 ∵f(-1)-f( )=(-1-a)- ( -a)=- 2 2 2 2 4 5 1 当 a≤ ? 时,f(1)≥f( ) 2 2 5 1 当 ? ≤a≤-2 时,f(-1)≤f( )…………………………………………(14 分) 2 2
又∵-2≤a<0,则 f(

A 综上可知: f(x)max O a

? -1- a ? ? =? ?1 - a ? ?4 2

a≤-

5 2

5 - ≤a≤0 2

…………………………………(15 分)

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19. (Ⅰ)∵

cos A ?

11 13 , cos B ? ,且 0 ? A, B ? ? , 14 14

综上所述,存在实数 ?1 ,使得 F ( x) ? m sin x ? sin 20.(Ⅰ) f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? x , f ' ( x) ? 3x 2 ? 4x ? 1

x x ? cos 的最小值为 2 ? 1 . ………16 2 2

5 3 3 3 ∴ sin A ? , sin B ? , 14 14
又 cos C ? ? cos( A ? B) ? sin A sin B ? cos A cos B ? ? 且0 ? C ?? , ∴

1 , 2

令 f '( x) ? 0 得 3x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 故 f ( x ) 的增区间 (??, ] 和 [1, ??) (Ⅱ) f ? (x)= 3x 2 ? 2(a ? b) x ? ab 当 x∈[-1,1]时,恒有| f ? (x)|≤ 故有 ?

1 或x ? 1 3
5分

C?

2? . 3

1 3

……………………………………………………………4

(Ⅱ)由

AB CB CA AB CB CA ? ? ? ? 知 sin C sin A sin B 3 5 3 3 3 2 14 14 5 3 AB , CA ? AB , 7 7
……………………………………………………………6

3 . 2

6分

CB ?

又 | CA ? CB |? 19 , 即 CA ? CB ? 2CA ? CB ? 19
2 2 2 2

3 5 3 5 1 ( AB) 2 ? ( AB) 2 ? 2 ? AB ? AB ? (? ) ? 19 , 7 7 7 7 2 解得 AB ? 7 . ……………………………………………………………9 x x x x 2 (III)令 sin ? cos ? t , t ? [1, 2] ,则 sin x ? 2sin cos ? t ? 1 , 2 2 2 2

3 3 3 3 ≤ f ? (1)≤ , ? ≤ f ? (-1)≤ , 2 2 2 2 3 3 及 ? ≤ f ? (0)≤ , 2 2 3 ? 3 3 ? 2(a ? b) ? ab ≤ , ① ?? 2 ≤ 2 ? 3 ? 3 3 ? 2(a ? b) ? ab ≤ , ② 即?? ≤ 2 2 ? 3 ?? 3 ≤ ab ≤ . ③ ? 2 ? 2
① + ②,得 ?

8分

………………………9 分

F ( x)? g ( t ) ? m t? ? t m , ? t [ 1, . 2 ]
2

9 3 ≤ ab ≤ ? ,……… 10 分 2 2 3 f ( x) ? x 3 ? x . 2

又由③,得 ab = ?

3 ,将上式代回①和②,得 a ? b ? 0 故 2

11 分 12 分

1 2 1 1 ) ? ? m 的图像是开口向下,对称轴为 t ? ? ①当 m ? 0 时, g (t ) ? mt ? t ? m ? m(t ? 的抛物线. 2m 4m 2m
2

(Ⅲ)假设 OA ⊥ OB ,即 OA ? OB = (s, f (s)) ? (t , f (t )) ? st ? f (s) f (t ) ? 0 故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1
2 2

[st-(s+t)a+a ][st-(s+t)b+b ]=-1,……………13 分

1 1? 2 ? 若t ? ? ,即 1 ? 2 ? m ? 0 ,则 g (t ) 的最小值为 g (1) ? 1 ,不存在 m 满足条件. 2m 2 1 1? 2 ? 若t ? ? ,即 m ? 1 ? 2 ,则 g (t ) 的最小值为 g ( 2) ? m ? 2 . 2m 2
由m? 2 ?

由 s,t 为 f ? (x)=0 的两根可得,s+t= 从而有 ab(a-b) =9.………14 分
2 2 这样 (a ? b) ? (a ? b) ? 4ab ?
2

2 1 (a+b), st= ab , (0<a<b) 3 3

9 ? 4ab ? 2 36 ? 12 ab

即 a ? b ≥2 3 ,这与 a ? b <2 3 矛盾. 故 OA 与 OB 不可能垂直.
2

2 ?1 ,得 m ? ?1 .………………………………………………………11
………………………18 分
2

② 当 m ? 0 时 , g (t ) ? mt ? t ? m 是 [1, 2] 上 的 增 函 数 , g (t ) 的 最 小 值 为 g (1) ? 1 , 不 存 在 m 满 足 条
2

件.
2

………………………………………………………13

(另解:将 a ? b ? 2 3 代入[st-(s+t)a+a ][st-(s+t)b+b ]=-1,解得 a ?

3?

g (t ) ? mt ? t ? m ? m(t ? ③当 m ? 0 时,

1 2 1 1 ) ? ? m 的图像是开口向上, ? 0 的抛物线, 对称轴为 t ? ? 2m 4m 2m

6 6 ,b ? 3 ? ,此时 OA 2 2

故在区间 [1, 2] 上是增函数,所以 h(m) ? g (1) ? 1 ,不存在 m 满足条件………………………15

与 OB 垂直亦可得满分)

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4. (Ⅰ)设 M1 (a1 , b1 ) ,依题意 ?

第二部分(加试部分)
1. 圆 C: x2 ? y2 ? 9 直线 l : x ? 4 y ? 9 ? 0 圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d ? ∴直线 l 与圆 C 相交 ………………………………………………………3 ………………………………………………………6

? a1 ? ?1 1 ? ? a ? ? a1 ? a ? b ,可表示为: ? ? ? ? ?? ? , ? b1 ? ?0 2 ? ? b ? ?b1 ? 2b

由于平面区域 F0 是由三个点 O (0, 0) , A0 (2,0) , B0 (0, 2) 组成, 故平面区域 F 1 (0,0) , A 1 是由三个点 O 1 (2,0) , B 1 (2, 4) 组成,其面积是 S1 ? 4 .………4 (Ⅱ) M n?1 (an?1 , bn?1 ) ,依题意 ?

9 ?3 17
………………………………………………………10

? an ?1 ? an ? bn , ?bn ?1 ? 2bn

? 2 ? 2 2.(1)矩阵 A= ? ? 2 ?? ? 2

2? ? 2 ? 2? ? 2 ?

可表示为: ? ………………………………………………………2

? an ?1 ? ?1 1 ? ? an ? ? an ? ?1 1 ? ?a ? ,设 A ? ? ,则 ? ? ? An ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 2 ? ?b ? ? bn?1 ? ?0 2? ? bn ? ? bn ?

可求矩阵 A 的特征值是 ?1 ? 1, ?2 ? 2 , 分属于这两个特征值的特征向量是 e1 ? ? ? , e2 ? ? ? ,

设椭圆 C 上点 P ( x, y ) ,变换后 P '( x ', y ')

?1 ? ?0?

?1? ?1?

? 2 ? 2 则? ? 2 ?? ? 2
? ?x ? ? 即? ?y ? ? ?
2

?x ? ?x '? ? 2 ? ?x ? ?x '? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ,故 ? ? ? A?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? y '? 2 ?? ? ? ? ? y? ? y '? ?
2 ( x '? y ') 2 2 ( x '? y ') 2
2

2 2 2 2

?

2 ? ?x '? ?? ? 2 ?? ?, 2 ?? ? ?? ? 2 ? ? y '?

又 ? ? ? 2e1 ,故 An ? ? ? 2 ? Ane1 ? 2e1 ? ? ? ,

? 2? ?0?

? 2? ?0?

? 2? ?0?

及 ? ? ? ?2e1 ? 2e2 ,故 An ? ? ? ?2 ? Ane1 ? 2 ? An e2 ? ?2e1 ? 2 ? 2n e2 ? ?

?0? ? 2?

?0? ? 2?

? 2n?1 ? 2 ? , n ?1 ? ? 2 ?

又矩阵 A 所对应的变换是线性变换,即在矩阵 A 作用下,将直线 A0 B0 变换为 A1B1 ,又将直线 A1B1 变换为

A2 B2 ,……,将直线 An?1Bn?1 变换为 An B1 ,……
1 1 1 ( x '? y ') 2 ? ( x '? y ') 2 ? ( x '2 ? y '2 ) ? 3 2 2 2
………………………………………………………6 所以区域 Fn 是由三点 On (0,0) , An (2,0) , Bn (2n?1 ? 2,2n?1 ) 组成的三角形, 其面积 Sn ? 2n?1 . ………………………………………………………10

代入 x ? y ? xy ? 3 中,得

x2 y 2 ? ?1 ∴C ': 2 6

(2)椭圆 C ' 的焦点坐标为(0,±2) , ∴椭圆 C 的焦点坐标为 F1( ? 2, 2 ) ,F2( 2, ? 2 ) ………………………………………………………10 3.以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立极坐标系 …………………………………………………2 圆 C 的方程为 ? ? 2cos ? ………………………………………………………5

设 C ( ?0 ,? ) , P( ? ,? ) ,则有 ?0 ? 2cos ? , ?0 ? ? 1 ∴ 2 ? cos ? ? 1 ,即 ? cos ? ?

1 2

………………………………………………………10

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