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2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高一(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年浙江省温州市瑞安中学高一 (下) 期末数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的 1. A. =( ) B. C. D.

2.若非零实数 a,b 满足 a>b,则( A. B.

) C. a >b
2 2

D. 2 >2

a

b

3.已知等比数列{an}的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为( A. 15 B. 17 C. 19

) D. 21

4.已知向量 A. B.

,且 C.

∥ ,则 tanα=( D.



5.下列函数中,以

为最小正周期的偶函数是(



A. y=sin2x+cos2x C. y=cos(4x+ )

B. y=sin2xcos2x D. y=sin 2x﹣cos 2x
2 2

6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=﹣5,S9=﹣45,则 a4 的值为( A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 7.△ ABC 中,AB= A. ,AC=1,∠B=30°则△ ABC 的面积等于( B. 或 C. )

) D. ﹣4

D.



8.若 θ∈,cos2θ=﹣ 则 sinθ=( A. B.

) C. D.

9.若 log2x+log2y=3,则 2x+y 的最小值是(



A.

B. 8
2

C. 10 ,则△ ABC 是( )

D. 12

10.在△ ABC 中,若 sinBsinC=cos A. 等腰三角形 C. 等边三角形

B. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

二、填空题:本大题有 6 小题,每题 3 分,共 18 分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 2 11.不等式 x ﹣2x<0 的解集为 . 12.已知等比数列{an}的前 n 项和 ,则{an}的通项公式是 .

13.当函数 y=sinx﹣

cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x= . .



14.已知 tanα=4,tanβ=3,则 tan(α+β)= 15.若 a﹣1≤log x≤a 的解集是,则 a 的值为

16.在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=5,BC=8,则

?

=



三、解答题:本大题有 4 小题,共 42 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1)解不等式 ; 的最小值.

(2)已知 a,b∈(0,+∞) ,且 a+2b=1,求

18.已知向量 x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间.

,设函数 f(x)=a?b,其中

(2)将函数 f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移 个单位得到 g(x)的图象,求 g(x)的解析式. 19.已知函数 f(x)= (Ⅰ)证明数列{ ,若数列{an}(n∈N )满足:a1=1,an+1=f(an) .
*

}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设数列{cn}满足:cn=

,求数列{cn}的前 n 项的和 Sn.

20. 已知二次函数 ( f x) =x +mx+1 (m 为整数) 且关于 x 的方程 ( f x) ﹣2=0 在区间 内有两个不同的实根, (1)求整数 m 的值; (2)若 x∈时,总有 f(x﹣4)≤4x,求 t 的最大值.

2

2014-2015 学年浙江省温州市瑞安中学高一 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的 1. A. =( ) B. C. D.

考点:诱导公式的作用. 专题:计算题. 分析:直接利用诱导公式求出三角函数值即可. 解答: 解:由 = = = .

故选 A. 点评:本题考查诱导公式的应用,一般化负为正,化大角为小角,结合特殊角的三角函数, 求出函数值. 2.若非零实数 a,b 满足 a>b,则( A. B. ) C. a >b
2 2

D. 2 >2

a

b

考点:不等式的基本性质. 专题:不等式的解法及应用. 分析: A.取 a=2,b=﹣1,即可判断出正误; B.取 a=2,b=﹣1,即可判断出正误; C.取 a=1,b=﹣2,即可判断出正误; x D.利用函数 f(x)=2 在 R 上单调递增,即可判断出. 解答: 解:A.取 a=2,b=﹣1,则 B.取 a=2,b=﹣1,则
2 2

不成立;

不成立;

C.取 a=1,b=﹣2,则 a >b 不成立; x a b D.∵函数 f(x)=2 在 R 上单调递增,又 a>b,∴2 >2 ,正确. 故选:D. 点评:本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 3.已知等比数列{an}的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为( )

A. 15

B. 17

C. 19

D. 21

考点:等比数列的性质. 专题:计算题. 4 分析:由已知 q=2,a1+a2+a3+a4=1 可得 a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q ,从而可求等比数列的 前 8 项和 解答: 解:由题意可得,q=2,a1+a2+a3+a4=1 4 由等比数列的通项公式可得,a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q =16 所以,S8=1+16=17 故选:B 点评:本题主要考查了等比数列的性质:an=amq 算.
n ﹣m

,解决本题时利用该性质可以简化基本运

4.已知向量 A. B.

,且 C.

∥ ,则 tanα=( D.



考点:平面向量共线(平行)的坐标表示;同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析:根据题设条件,由 解答: 解:∵向量 且 ∴ ∴tanα= ∥ , , = . ∥ ,知 ,由此能求出 tanα. ,

故选 A. 点评:本题考查平面向量共线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

5.下列函数中,以

为最小正周期的偶函数是(



A. y=sin2x+cos2x C. y=cos(4x+ )

B. y=sin2xcos2x D. y=sin 2x﹣cos 2x
2 2

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据三角函数的奇偶性和周期性分别进行判断即可得到结论. 解答: 解:函数 y=sin2x+cos2x=sin(2x+ )的周期为 =π,且为非奇非偶函数;

函数 y=sin2xcos2x= sin4x 的周期为 函数 y=cos(4x+
2

= =

,且为奇函数; ,且为奇函数; = ,且为偶函数;

)=sin4x 的周期为
2

函数 y=sin 2x﹣cos 2x=﹣cos4x 的周期为

故选:D 点评:本题主要考查函数周期和奇偶性的判断,要求熟练掌握三角函数的图象和性质. 6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=﹣5,S9=﹣45,则 a4 的值为( A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意和等差数列的性质可得 a3 和 a5,再由等差数列的性质可得 a4= 算可得. 解答: 解:由题意和等差数列的性质可得 S5= 解得 a3=﹣1,同理可得 S9=9a5=﹣45,解得 a5=﹣5, 再由等差数列的性质可得 a4= =﹣3 = =5a3=﹣5, ,代值计 ) D. ﹣4

故选:C 点评:本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题. 7.△ ABC 中,AB= A. ,AC=1,∠B=30°则△ ABC 的面积等于( B. 或 C. ) D. 或

考点:余弦定理的应用. 专题:解三角形. 分析:结合正弦定理可得 , 从而可求 sinC 及 C, 利用三角形的内角和公式计算 A,

利用三角形的面积公式 S△ ABC= bcsinA 进行计算可求. 解答: 解:△ ABC 中,c=AB= 由正弦定理 sinC= b<c∴C>B=30° ∴C=60°,或 C=120° 可得 ,b=AC=1.B=30°

当 C=60°时,A=90°,S△ ACB= bcsinA= ×1× 当 C=120°时,A=30°,S△ ABC= ×1× × =

×1=

故选:B. 点评:本题主要考查了三角形的内角和公式,正弦定理及“大边对大角”的定理,还考查了三角 形的面积公式 S△ ABC= bcsinA= acsinB= absinC,在利用正弦定理求解三角形中的角时,在 求出正弦值后,一定不要忘记验证“大边对大角”. 8.若 θ∈,cos2θ=﹣ 则 sinθ=( A. B. ) C. D.

考点:二倍角的余弦. 专题:三角函数的求值. 分析:根据余弦函数的倍角公式即可得到结论. 解答: 解:∵cos2θ=﹣ =1﹣2sin θ, ∴sin θ=
2 2

, ,

∵θ∈,∴sinθ=

故选:B 点评:本题主要考查三角函数求值,根据余弦函数的倍角公式是解决本题的关键. 9.若 log2x+log2y=3,则 2x+y 的最小值是( A. B. 8 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由对数的运算可得 x,y 均为正数且 xy=8,故 2x+y≥2 解答: 解:∵log2x+log2y=3, 3 ∴x,y 均为正数且 log2xy=3,即 xy=2 =8, ∴2x+y≥2 =2 =8, 当且仅当 2x=y 即 x=2 且 y=4 时取等号, ∴2x+y 的最小值为 8 故选:B 点评:本题考查基本不等式,涉及对数的运算,属基础题. 10.在△ ABC 中,若 sinBsinC=cos A. 等腰三角形
2

) C. 10

D. 12

,代值计算可得.

,则△ ABC 是(



B. 直角三角形

C. 等边三角形 考点:三角形的形状判断. 专题:计算题. 分析:利用 cos
2

D. 等腰直角三角形

=

可得

,再利用两角和差的余弦可求. ,即 sinBsinC=1﹣cosCcosB,亦即 cos(C﹣B)=1,

解答: 解:由题意

∵C,B∈(0,π) ,∴C=B, 故选 A. 点评:本题主要考查两角和差的余弦公式的运用,考查三角函数与解三角形的结合.属于基 础题. 二、填空题:本大题有 6 小题,每题 3 分,共 18 分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 2 11.不等式 x ﹣2x<0 的解集为 {x|0<x<2} . 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:把原不等式的左边分解因式,再求出不等式的解集来. 2 解答: 解:不等式 x ﹣2x<0 可化为 x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2; ∴不等式的解集为{x|0<x<2}. 故答案为:{x|0<x<2}. 点评:本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,解题时应按照解不等式的一般步骤进 行解答即可,是基础题. 12.已知等比数列{an}的前 n 项和 ,则{an}的通项公式是 .

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过 Sn=3 ﹣1 与 Sn+1=3 ﹣1 作差可知 an+1=2?3 n 解答: 解:∵Sn=3 ﹣1, n+1 ∴Sn+11=3 ﹣1, (n+1)﹣1 n+1 n ∴an+1=(3 ﹣1)﹣(3 ﹣1)=2?3 , 又∵a1=S1=3﹣1=2 满足上式, ∴数列{an}的通项公式 故答案为: . ,
n n+1
(n+1)﹣1

,进而可得结论.

点评:本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.

13.当函数 y=sinx﹣

cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=



考点:三角函数的最值;两角和与差的正弦函数. 专题:计算题;压轴题. 分析:利用辅助角公式将 y=sinx﹣ ﹣ cosx 化为 y=2sin(x﹣ ) (0≤x<2π) ,即可求得 y=sinx

cosx(0≤x<2π)取得最大值时 x 的值. cosx=2( sinx﹣ cosx)=2sin(x﹣ ) .

解答: 解:∵y=sinx﹣ ∵0≤x<2π, ∴﹣ ≤x﹣ < , =

∴ymax=2,此时 x﹣ ∴x= . .



故答案为:

点评:本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数,着重考查辅助角公式的应用与正 弦函数的性质,将 y=sinx﹣ 于中档题. cosx(0≤x<2π)化为 y=2sin(x﹣ ) (0≤x<2π)是关键,属

14.已知 tanα=4,tanβ=3,则 tan(α+β)= ﹣



考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 分析:直接利用两角和的正切公式求得 tan(a+β)的值. 解答: 解:∵tanα=4,tanβ=3,则 tan(α+β)= 故答案为: . = =﹣ ,

点评:本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题. 15.若 a﹣1≤log x≤a 的解集是,则 a 的值为 2 .

考点:其他不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用.

分析: 根据 a﹣1≤log

x≤a 的解集是,函数 y=

在 R 上是减函数,可得

+



由此解得 a 的值. 解答: 解:因为 a﹣1≤log x≤a 的解集是,函数 y= 在 R 上是减函数,
+



,解得 a=2,

故答案为 2. 点评:本题主要考查对数函数的单调性、对数不等式的解法,属于中档题.

16.在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=5,BC=8,则

?

= 9 .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: 利用几何图形得出 2 4
2 2

=



=

,平方相减即可

=
2

2

2

, ,求解 ? 数量积.

=

2

解答: 解:∵在△ ABC 中,M 是 BC 的中点, ∴2 = = , ,

∴∵AM=5,BC=8, ∴4 ∴ ? =4×25﹣64=36, =9,

故答案为:9

点评:本题考察了平面向量的加减运算及几何意义,数量积,几何图形转化向量,属于中档 题,灵活计算即可. 三、解答题:本大题有 4 小题,共 42 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1)解不等式 ; 的最小值.

(2)已知 a,b∈(0,+∞) ,且 a+2b=1,求

考点:基本不等式. 专题:不等式. 分析:(1)利用解分式不等式的步骤解出即可; (2)将 a+2b=1 代入得: ,利用基本不等式的性质解出即可. 解答: 解: (1) <1? (2) ∵a>0,b>0, ∴ 取等号当且仅当 . , 或 x<0,解集为(﹣∞,0)∪(1,+∞) , ,

点评:本题考查了解分式不等式问题,考查基本不等式的性质,是一道基础题. 18.已知向量 x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. ,设函数 f(x)=a?b,其中

(2)将函数 f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移 个单位得到 g(x)的图象,求 g(x)的解析式. 考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象变换. 分析:(1)先根据向量的数量积,然后利用两角和与差的正弦函数公式得到 f(x) ,然后找 出正弦函数的单调增区间,解出 x 的范围即可得到 f(x)的单调增区间; (2)横坐标扩大到

原来的两倍,得 求 g(x)的解析式. 解答: 解: (1)∵

,向右平移

个单位,得

,从而可

, (3 分) (1 分)

增区间: ,k∈Z (2)横坐标扩大到原来的两倍,得 向右平移 个单位,得 ,

(2 分) , (2 分)

所以:g(x)=2sinx. (2 分) 点评:考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式进行化简求值,会进行平面向量的数量 积运算,会求复合函数的单调区间.考查学生熟悉正弦函数的图象与性质. ,若数列{an}(n∈N )满足:a1=1,an+1=f(an) .
*

19.已知函数 f(x)= (Ⅰ)证明数列{

}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设数列{cn}满足:cn=

,求数列{cn}的前 n 项的和 Sn.

考点:数列的求和;数列的函数特性;等差关系的确定. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)f(x)= ?an+1=f(an)= = ,于是可得 ﹣ =1,又 a1=1,

从而可证数列{

}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; = =n?2 ,利用错位相减法即可求得数列{cn}的前 n 项的和 Sn.
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,cn=

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= ∴an+1=f(an)= = .







=1,又 a1=1, }是首项为 1,1 为公差的等差数列,

∴数列{

∴an= . (Ⅱ)∵cn=
2

=

=n?2 ,
n

n

∴Sn=1×2+2×2 +…+n?2 ,① 2 3 n n+1 2Sn=1×2 +2×2 +…+(n﹣1)×2 +n?2 ,② ②﹣①得: 2 3 n n+1 Sn=﹣2﹣2 ﹣2 ﹣…﹣2 +n?2 =﹣ =(n﹣1)2
n+1

+n?2 +2.

n+1

点评:本题考查数列的求和,着重考查等差关系的确定与错位相减法求和,判定数列{ 等差数列是关键,也是难点,考查转化与运算能力,属于中档题.
2

}是

20. 已知二次函数 ( f x) =x +mx+1 (m 为整数) 且关于 x 的方程 ( f x) ﹣2=0 在区间 内有两个不同的实根, (1)求整数 m 的值; (2)若 x∈时,总有 f(x﹣4)≤4x,求 t 的最大值. 考点:二次函数的性质;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)根据二次函数的图象与性质以及对应方程根的情况,列出不等式组,求出 m 的 值; (2)由(1)中 m 的值求出一元二次不等式 f(x﹣4)≤4x 的解集,得出对应 t 的最大值. 解答: 解: (1)∵f(x)﹣2=x +mx﹣1=0 在区间
2

内有两个不同的实根,



,解得

即 m=2;…(8 分)

(2)∵m=2,∴f(x﹣4)﹣4x=x ﹣10x+9≤0, 解得 1≤x≤9; ∴当 x∈时,总有 f(x﹣4)≤4x, 此时 t 的最大值为 9.…(12 分) . 点评:本题考查了一元二次方程与二次函数以及对应的一元二次不等式的应用问题,是基础 题目.

2


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