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湛江第一中学2015-2016学年度高二第一学期数学期末考试(理)

湛江第一中学 2015——2016 学年度第一学期期末考试

高二级理科数学试题
考试时间:120 分钟
只有一项是符合题目要求的。 1.已知命题 p:{1}∈{1,2,3} ,q:{3} ? {1,2,3},则在命题:①p∧q;②p∨q;③ ? p; ④ ? q 中,真命题的个数是. A.1 B.2 C.3 D.4

满分 150 分

命题人:黄京城

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,

2.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则 k 的值为 A.8 B.7 C.6 D.5 a+b?2 a2+b2 ? 2 ? ≤ 2 ,则 p 是 q 成立的

3.设 a,b∈R,已知命题 p:a2+b2≤2ab;命题 q:? A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? 1 4.已知点 F? ?4,0?,直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线 段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
3

5.已知数列{an}满足 1+log3an=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9, 则 log1(a5+a7+a9)的值 1 A. 5 1 B.- 5 C.5 D.-5

6.如图,在正四棱锥 SABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为 侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成角为 A.30° C.60° B.45° D.75°

a b 7.不等式 x2+x< + 对任意 a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数 x 的取值范围是 b a A.(-2,0) C.(-2,1) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)

8.已知双曲线 x2-y2=4 左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离为 2,则 a+b 的值为 A.2 B.-2 C.4 D.-4

x2 y2 → → 9.椭圆 + =1 上有两个动点 P、Q,E(3,0),EP⊥EQ,则EP·QP的最小值为 36 9 A.6 B.3- 3 C.9 D.12-6 3

x+y-4≥0 ? ? 10. 已知二元一次不等式组?x-y-2≤0 所表示的平面区域为 M.若 M 与圆(x-4)2+(y-1)2 ? ?x-3y+4≥0 =a(a>0)至少有两个公共点,则实数 a 的取值范围是 1 ? A.? ?2,5? B.(1,5) 1 ? C.? ?2,5? D.(1,5]

11.已知圆锥曲线 mx2+4y2=4m 的离心率 e 为方程 2x2-5x+2=0 的根,则满足条件的圆 锥曲线的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

x2 y2 12.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)分别交于 O, a b A,B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p 的值为 A.1 3 B. 2 C.2 D.3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°,距塔 68 海里的 M 处,下 午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为________海里/小时. x2 y2 14.已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的 a b |PF1|2 任意一点.若 =8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是________. |PF2|
2 15.请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a1 +a2 2=1,那么 a1+a2≤ 2.

证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒 有 f(x)≥0,所以Δ ≤0,从而得 4(a1+a2)2-8≤0,所以 a1+a2≤ 2.
2 2 根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 a2 1+a2+…+an=1 时,你能得到的结论为

________(不必证明). 16. 过抛物线 x2=4y 的焦点 F 作直线 AB, CD 与抛物线交于 A, B, C, D 四点, 且 AB⊥CD, → → → → 则FA·FB+FC·FD的最大值等于

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, cos 2C+2 2cos C+2=0. (1)求角 C 的大小; (2)若 b= 2a,△ABC 的面积为 2 sin Asin B,求 sin A 及 c 的值. 2

1 18.(本小题满分 12 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=1- ,其中 n∈N*. 4an 2 (1)设 bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式; 2an-1 4an (2)设 cn= ,数列{cncn+2}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<3. n+1

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点, 1 PA=PD=2,BC= AD=1,CD= 3. 2 (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 MQBC 为 30°,求线段 PM 与 线段 MC 的比值 t.

1 1 21.(本小题满分 12 分)已知正数数列{xn}满足 x1= ,xn+1= ,n∈N*. 2 1+xn (1)求 x2,x4,x6。 (2)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论.

x2 y2 3 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2,且过点 P(1, ). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点. ①当直线 l 的倾斜角为 45° 时,求|MN|的长; ②求△MF1N 面积的最大值,并求出当△MF1N 的面积取最大值时直线 l 的方程.


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