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【精选】初中数学竞赛精品标准教程及练习02:倍数、约数-数学

数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 初 中数学竞赛精品标准教程及练习(2) 倍数 约数 一、内容提要 1 两个整数 A 和 B(B≠0),如果 B 能整除 A(记作 B|A),那么 A 叫做 B 的倍数,B 叫 做 A 的约数。例如 3|15,15 是 3 的倍数,3 是 15 的约数。 2 因为 0 除以非 0 的任何数都得 0,所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数,非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数,7 是 0 的约数。 3 整数 A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都 是 A 的倍数,例如 5 的倍数有±5,±10,……。 4 整数 A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1 和 ±A。例如 6 的约数是±1,±2,±3,±6。 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6 公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数(例如 15 与 28 互质)。 7 在有余数的除法中, 被除数=除数×商数+余数 若用字母表示可记作: A=BQ+R,当 A,B,Q,R 都是整数且 B≠0 时,A-R 能被 B 整除 例如 23=3×7+2 则 23-2 能被 3 整除。 二、例题 例 1 写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以 应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32 。 解:列表如下 正 正约数 个 正 正约数 个 正 个 正约数 整 数 整 数 整 数 数 计 数 计 数 计 4 2 1,2 2 3 1,3 2 1 ,2 , 2 ×3 3 ,6 2 2 2 2 6 1,2,4 3 1,3,3 1 ,2 ,3 , 2 3 3 2 ×3 4,6,12 3 9 1,2, 1,3, 1 ,2 ,3 , 2 4 33 32,33 4 22×32 4,8 4 ,6 ,9 , 12,18,36 2 1,2, 1,3,3 , 24 4, 5 34 33,34 5 8,16 其规律是:设 A=ambn (a,b 是质数,m,n 是正整数) 那么合数 A 的正约数的个是(m+1)(n+1) 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 例如求 360 的正约数的个数 解:分解质因数:360=23×32×5, 360 的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个) 例 2 用分解质因数的方法求 24,90 最大公约数和最小公倍数 解:∵24=23×3,90=2×32×5 ∴最大公约数是 2×3, 记作(24,90)=6 最小公倍数是 23×32×5=360, 记作[24,90]=360 例 3 己知 32,44 除以正整数 N 有相同的余数 2,求 N 解:∵32-2,44-2 都能被 N 整除,∴N 是 30,42 的公约数 ∵(30,42)=6,而 6 的正约数有 1,2,3,6 经检验 1 和 2 不合题意,∴N=6,3 例 4 一个数被 10 余 9,被 9 除余 8,被 8 除余 7,求适合条件的最小正整数 分析:依题意如果所求的数加上 1,则能同时被 10,9,8 整除,所以所求的数是 10,9,8 的最小公 倍数减去 1。 解: ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是 359 三、练习 2 1, 12 的正约数有_________,16 的所有约数是_________________ 2, 分解质因数 300=_________,300 的正约数的个数是_________ 3, 用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。 4, 一个三位数能被 7,9,11 整除,这个三位数是_________ 5, 能同时被 3,5,11 整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6, 己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2,则 A=________ 7, 写出能被 2 整除,且有约数 5,又是 3 的倍数的所有两位数。答____ 8, 一个长方形的房间长 1.35 丈,宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长 可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合? 9, 一条长阶梯,如果每步跨 2 阶,那么最后剩 1 阶,如果每步跨 3 阶,那么最后剩 2 阶,如果 每步跨 4 阶,那么最后剩 3 阶,如果每步跨 5 阶,那么最后剩 4 阶,如果每步跨 6 阶,那么 最后剩 5 阶,只有每步跨 7 阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶? 练习参考答案:1. 1,2,3,4,6,12; 18 3. 5. 2×5; ±1,±2,±3,±6,±9,±18 22×53 2. 4. 6. 7. 22×3×52; 693 A=3 [3,5,11]=165,1155;990 即求 14-2 与 23-2 的公约数 30,60,90 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 8. 9. (135,105)=15,正约数有 1,3,5,15 119。∵[2,3,4,5,6]=60,60×2-1=119 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形

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